Частичный волновой анализ

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Частичный волновой анализ»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Частичный волновой анализ в контексте квантовой механики относится к методике решения задач рассеяния путем разложения каждой волны на составляющие ее компоненты углового момента и решения с использованием граничных условий .

Предварительная теория рассеяния [ править ]

Следующее описание следует каноническому пути введения элементарной теории рассеяния. Устойчивый пучок частиц рассеивает сферически-симметричный потенциал , который является короткодействующим, так что на больших расстояниях частицы ведут себя как свободные частицы. В принципе, любая частица должна описываться волновым пакетом, но вместо этого мы описываем рассеяние плоской волны, бегущей вдоль оси z , потому что волновые пакеты расширяются в терминах плоских волн, и это математически проще. Поскольку луч включен на время, большее, чем время взаимодействия частиц с рассеивающим потенциалом, предполагается установившееся состояние. Это означает, что стационарное уравнение Шредингера для волновой функции${\ Displaystyle V (г)}$${\ displaystyle r \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ ехр (ikz)}$${\ Displaystyle \ Пси (\ mathbf {r})}$ представляющий пучок частиц, следует решить:

${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (r) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}) = E \ Psi ( \ mathbf {r})}$

Делаем следующий анзац :

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = \ Psi _ {0} (\ mathbf {r}) + \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r})}$

где - приходящая плоская волна, а - рассеянная часть, возмущающая исходную волновую функцию. Эта асимптотическая форма представляет интерес, потому что наблюдения вблизи центра рассеяния (например, атомного ядра) в большинстве случаев невозможны, а обнаружение частиц происходит вдали от начала координат. На больших расстояниях частицы должны вести себя как свободные частицы и, следовательно, должны быть решением свободного уравнения Шредингера. Это предполагает, что она должна иметь форму, аналогичную плоской волне, без каких-либо физически бессмысленных частей. Поэтому мы исследуем расширение плоской волны :${\ Displaystyle \ Psi _ {0} (\ mathbf {r}) \ propto \ exp (ikz)}$${\ Displaystyle \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ Psi _ {\ mathrm {s}} (\ mathbf {r})}$

${\displaystyle e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta )}$.

Сферическая функция Бесселя асимптотически ведет себя как${\displaystyle j_{\ell }(kr)}$

${\displaystyle j_{\ell }(kr)\to {\frac {1}{2ikr}}\left(\exp(i(kr-l\pi /2))-\exp(-i(kr-l\pi /2))\right).}$

Это соответствует уходящей и входящей сферической волне. Для функции рассеянной волны ожидаются только уходящие части. Поэтому мы ожидаем на больших расстояниях и полагаем асимптотику рассеянной волны равной${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )\propto \exp(ikr)/r}$

${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )\to f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}}$

где - так называемая амплитуда рассеяния , которая в данном случае зависит только от угла места и энергии. В заключение, это дает следующее асимптотическое выражение для всей волновой функции:${\displaystyle f(\theta ,k)}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\to \Psi ^{(+)}(\mathbf {r} )=\exp(ikz)+f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}}$.

Частичное волновое расширение [ править ]

В случае сферически-симметричного потенциала волновая функция рассеяния может быть разложена по сферическим гармоникам, которые сводятся к полиномам Лежандра из-за азимутальной симметрии (нет зависимости от ):${\displaystyle V(\mathbf {r} )=V(r)}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {u_{\ell }(r)}{r}}P_{\ell }(\cos \theta )}$.

В стандартной задаче рассеяния предполагается, что входящий луч принимает форму плоской волны с волновым числом k , которую можно разложить на парциальные волны с помощью разложения плоских волн по сферическим функциям Бесселя и полиномам Лежандра :

${\displaystyle \psi _{\text{in}}(\mathbf {r} )=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta )}$

Здесь мы приняли сферическую систему координат, в которой ось z совмещена с направлением луча. Радиальная часть этой волновой функции состоит исключительно из сферической функции Бесселя, которую можно переписать как сумму двух сферических функций Ганкеля :

${\displaystyle j_{\ell }(kr)={\frac {1}{2}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2)}(kr)\right)}$

Это имеет физический смысл: h _ℓ ⁽²⁾ асимптотически (т.е. при больших r ) ведет себя как i ^{- ( ℓ +1)} e ^ikr / ( kr ) и, таким образом, является уходящей волной, тогда как h _ℓ ⁽¹⁾ асимптотически ведет себя как i ^{ℓ +1} e ^−ikr / ( kr ) и, таким образом, является набегающей волной. Падающая волна не зависит от рассеяния, в то время как исходящие волны изменяется на коэффициент известного как парциальной волны S-матричного элемента S _л :

${\displaystyle {\frac {u_{\ell }(r)}{r}}{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {i^{\ell }k}{\sqrt {2\pi }}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)\right)}$

где u _ℓ ( r ) / r - радиальная составляющая реальной волновой функции. В фазовый сдвиг рассеяния & delta ; _ℓ определяется как половина фазы S _л :

${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}}$

Если поток не теряется, то | S _ℓ | = 1 и, следовательно, фазовый сдвиг действителен. Обычно это так, если потенциал не имеет мнимой поглощающей составляющей, которая часто используется в феноменологических моделях для моделирования потерь из-за других каналов реакции.

Следовательно, полная волновая функция асимптотически равна

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}}P_{\ell }(\cos \theta )}$

Вычитая ψ _из, получаем асимптотическую исходящую волновую функцию:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {S_{\ell }-1}{2}}h_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \theta )}$

Используя асимптотику сферических функций Ганкеля, получаем:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )}$

Поскольку амплитуда рассеяния f ( θ , k ) определяется как:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta ,k)}$

Следует, что

${\displaystyle f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}P_{\ell }(\cos \theta )}$

и, таким образом, дифференциальное сечение определяется выражением

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta ,k)|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}}$

Это работает для любого краткосрочного взаимодействия. Для длительного варьировались взаимодействия (например, кулоновское взаимодействие), суммирование по л не сходится. Общий подход к таким задачам состоит в рассмотрении кулоновского взаимодействия отдельно от короткодействующего, поскольку кулоновская проблема может быть решена точно в терминах кулоновских функций , которые берут на себя роль функций Ганкеля в этой проблеме.

Ссылки [ править ]

• Гриффитс, JD (1995). Введение в квантовую механику . Пирсон Прентис Холл. ISBN 0-13-111892-7.

Внешние ссылки [ править ]

• Частичный волновой анализ для чайников
• Частичный волновой анализ рассеяния.