H-объект

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «H-объект»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , в частности , гомотопическая алгебра , Н-объекта ^[1] является категорическое обобщение из H-пространства , которое может быть определено в любой категории с продуктом и исходного объекта . Это полезные конструкции, потому что они помогают экспортировать некоторые идеи из алгебраической топологии и теории гомотопий в другие области, такие как коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия .${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ times}$ ${\displaystyle *}$

Определение

В категории с продуктом и исходным объектом , Н-объект представляет собой объект вместе с операцией умножения называется вместе с двухсторонней идентичностью. Если обозначить , то из структуры H-объекта следует наличие отображений${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle *}$${\displaystyle X\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle u_{X}:X\to *}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:*\to X\\\mu &:X\times X\to X\end{aligned}}}$

которые имеют коммутационные соотношения

${\displaystyle \mu (\varepsilon \circ u_{X},id_{X})=\mu (id_{X},\varepsilon \circ u_{X})=id_{X}}$

Примеры

Магмы

Все магмы с юнитами тайно являются H-объектами категории .${\displaystyle {\textbf {Set}}}$

H-пространства

Другой пример Н-объектов являются H-пространства в гомотопической категории из топологических пространств .${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$

H-объекты в гомотопической алгебре

В гомотопической алгебре один класс H-объектов рассматривал Квиллен ^[1] при построении когомологий Андре – Квиллена для коммутативных колец. В этом разделе пусть все алгебры коммутативны, ассоциативны и унитальны. Если мы позволим быть коммутативным кольцом, и пусть будет подкатегорией таких алгебр над (означающими -алгебрами) , и пусть будет ассоциативной надкатегорией объектов в , то H-объект в этой категории является алгеброй вида где - - модуль . В этих алгебрах есть операции сложения и умножения${\displaystyle A}$${\displaystyle A\backslash R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A\backslash R)/B}$${\displaystyle A\backslash R}$${\displaystyle (A\backslash R)/B}$${\displaystyle B\oplus M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(b\oplus m)+(b'\oplus m')&=(b+b')\oplus (m+m')\\(b\oplus m)\cdot (b'\oplus m')&=(bb')\oplus (bm'+b'm)\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что приведенная выше карта умножения дает структуру H-объекта . Обратите внимание, что в дополнение у нас есть две другие структурные карты, заданные формулой${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{B\oplus M}(b\oplus m)&=b\\\varepsilon (b)&=b\oplus 0\end{aligned}}}$

давая полную структуру H-объекта. Интересно, что эти объекты обладают следующим свойством:

${\displaystyle {\text{Hom}}_{(A\backslash R)/B}(Y,B\oplus M)\cong {\text{Der}}_{A}(Y,M)}$

дающий изоморфизм между -дифференцированием в и морфизмами из в H-объект . Фактически, это означает, что это абелев групповой объект в категории, поскольку он дает контравариантный функтор со значениями в абелевых группах.${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B\oplus M}$${\displaystyle B\oplus M}$${\displaystyle (A\backslash R)/B}$

Смотрите также

• Когомологии Андре – Квиллена
• Котангенс комплекс
• H-пространство

использованная литература