Квантовый логический вентиль

В квантовых вычислениях и, в частности , в модели вычислений с квантовой схемой , квантовый логический вентиль (или просто квантовый вентиль ) представляет собой базовую квантовую схему, работающую на небольшом количестве кубитов . Они являются строительными блоками квантовых схем, как классические логические элементы для обычных цифровых схем.

В отличие от многих классических логических вентилей, квантовые логические вентили обратимы . Можно выполнять классические вычисления, используя только обратимые вентили. Например, обратимый вентиль Тоффоли может реализовать все логические функции, часто за счет необходимости использовать вспомогательные биты . У вентиля Тоффоли есть прямой квантовый эквивалент, показывающий, что квантовые схемы могут выполнять все операции, выполняемые классическими схемами.

Квантовые вентили являются унитарными операторами и описываются как унитарные матрицы относительно некоторого базиса . Обычно мы используем вычислительную основу , которая, если мы не сравниваем ее с чем-либо, просто означает, что для квантовой системы d -уровня (такой как кубит , квантовый регистр или кутриты и кудиты ^{[1] : 22–23} ) мы пометили ортогональные базисные векторы или используйте двоичную запись .${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\dots ,|d-1\rangle }$

Нынешняя нотация для квантовых вентилей была разработана многими основателями квантовой информатики, включая Адриано Баренко, Чарльза Беннета , Ричарда Клива , Дэвида П. Ди Винченцо , Нормана Марголуса , Питера Шора , Тихо Слеатора, Джона А. Смолина и Харальда Вайнфуртера . ^[3] на основе обозначений, введенных Ричардом Фейнманом . ^[2]

Квантовые логические элементы представлены унитарными матрицами . Вентиль, действующий на кубиты , представлен унитарной матрицей, а множество всех таких вентилей с групповой операцией матричного умножения ^[a] есть группа симметрии U(2 ⁿ ) . Квантовые состояния , на которые действуют вентили, представляют собой единичные векторы в комплексных измерениях с комплексной евклидовой нормой ( 2-нормой ). ^{[4] : 66  [5] : 56, 65} Базисные векторы (иногда называемые${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ собственные состояния ) — это возможные результаты при измерении , а квантовое состояние — это линейная комбинация этих результатов. Наиболее распространенные квантовые вентили работают с векторными пространствами из одного или двух кубитов, точно так же, как обычные классические логические вентили работают с одним или двумя битами .

Несмотря на то, что квантовые логические вентили принадлежат к группе непрерывной симметрии , реальное аппаратное обеспечение является неточным и, следовательно, ограниченным в точности. Применение вентилей обычно вносит ошибки, а точность квантовых состояний со временем снижается. Если используется коррекция ошибок , количество используемых вентилей дополнительно ограничивается конечным набором. ^{[4] : гл. 10  [1] : гл. 14} Далее в этой статье это иногда игнорируется, поскольку основное внимание уделяется математическим свойствам квантовых вентилей.

Общие квантовые логические элементы по имени (включая аббревиатуру), форме (формам) схемы и соответствующим унитарным матрицам.

Квантовый полный сумматор , данный Фейнманом в 1986 году. ^[2] Он состоит только из вентилей Тоффоли и CNOT . Вентиль , окруженный пунктирным квадратом на этом рисунке, можно опустить, если не требуется невычисление для восстановления выхода B.

Отдельные состояния кубита , которые не запутаны и не имеют глобальной фазы , могут быть представлены в виде точек на поверхности сферы Блоха , записанных как Вращения вокруг осей x, y, z сферы Блоха представлены оператором вращения gates .${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle +e^{i\varphi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle .}$

Квантовая схема вентиля квадратного корня из НЕ

Принципиальная схема управляемых ворот Паули (слева направо): CNOT (или управляемый - X ), управляемый - Y и управляемый- Z .

Схематическое изображение управляемого U - образного затвора

Схематическое изображение ворот Адамара

Схематическое изображение SWAP-ворота

Схематическое изображение ворот √ SWAP

Схематическое изображение ворот Тоффоли

Схематическое изображение ворот Фредкина

Оба CNOT и являются универсальными двухкубитными вентилями и могут трансформироваться друг в друга.${\displaystyle {\sqrt {\mbox{SWAP}}}}$

Два затвора Y и X последовательно. Порядок, в котором они появляются на проводе, меняется на противоположный при их умножении.

Двое ворот и параллельно эквивалентны воротам${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\otimes X}$

Пример. Преобразование Адамара для 3- кубитного регистра .${\displaystyle |\psi \rangle }$

Пример приведен в тексте. Ворота Адамара действуют только на 1 кубит, но представляют собой запутанное квантовое состояние, охватывающее 2 кубита. В нашем примере${\displaystyle H}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Пример: унитарная инверсия произведения Адамара-CNOT. Трое ворот и являются их собственными унитарными инверсиями.${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathrm {CNOT} }$

Схематическое представление измерения. Две линии справа представляют собой классический бит, а единственная линия слева представляет кубит.

Для одного кубита у нас есть единичная сфера с квантовым состоянием таким, что . Состояние можно переписать как , или и . Примечание: – вероятность измерения и – вероятность измерения .${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle }$${\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}$${\displaystyle |\cos \theta |^{2}+|\sin \theta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |a|^{2}=\cos ^{2}\theta }$${\displaystyle |b|^{2}=\sin ^{2}\theta }$
${\displaystyle |a|^{2}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |b|^{2}}$${\displaystyle |1\rangle }$

Вентиль Адамара - CNOT , который при получении входных данных создает состояние Белла .${\displaystyle |00\rangle }$

Состояние Белла в тексте — это где и . Поэтому его можно описать комплексной плоскостью , натянутой на базисные векторы и , как на рисунке. Единичная сфера (в ) , представляющая возможное пространство значений системы из 2 кубитов, пересекает плоскость и лежит на поверхности единичных сфер. Потому что есть равная вероятность измерения этого состояния до или , и потому что есть нулевая вероятность измерения его до или .${\displaystyle |\Psi \rangle =a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }$${\displaystyle a=d={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle b=c=0}$ ${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |a|^{2}=|d|^{2}=1/2}$${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle b=c=0}$${\displaystyle |01\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$

Влияние унитарного преобразования F на регистр A, находящийся в суперпозиции состояний и попарно запутанный с регистром B. Здесь n равно 3 (каждый регистр имеет 3 кубита).${\displaystyle 2^{n}}$

Сгенерированная схема, когда . Символы , и обозначают исключающее ИЛИ , И и НЕ соответственно, и исходят из логического представления Pauli- X с нулем или более управляющими кубитами при применении к состояниям, которые находятся в вычислительной базе.${\displaystyle x_{\text{length}}=4}$
${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \land }$${\displaystyle \neg }$