Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В геометрии многогранник Ханнера - это выпуклый многогранник, рекурсивно построенный декартовым произведением и полярно-двойственными операциями. Многогранники Ханнера названы в честь Улофа Ханнера , который ввел их в 1956 г. [1]

Строительство [ править ]

Многогранники Ханнера рекурсивно строятся по следующим правилам: [2]

  • Отрезок - это одномерный многогранник Ханнера.
  • Декартово произведение любых двух многогранников Ханнера - это еще один многогранник Ханнера, размерность которого является суммой размерностей двух данных многогранников.
  • Двойственный многогранник Ханнера - это другой многогранник Ханнера той же размерности.

Это в точности те многогранники, которые можно построить, используя только эти правила: то есть каждый многогранник Ханнера может быть сформирован из отрезков прямых с помощью последовательности произведения и двойных операций. [2]

Альтернативно и эквивалентно полярной двойственной операции, многогранники Ханнера могут быть построены декартовыми произведениями и прямыми суммами , двойственными декартовым произведениям. Эта операция прямого суммирования объединяет два многогранника, помещая их в два линейно независимых подпространства большего пространства и затем конструируя выпуклую оболочку их объединения. [3] [4]

Примеры [ править ]

Трехмерный куб и его двойственный октаэдр , два трехмерных многогранника Ханнера
Диаграмма Шлегеля в октаэдрической призмы

Куб является многогранник Ханнера, и может быть выполнен в виде декартово произведение трех отрезков. Его двойственный, октаэдр , также является многогранником Ханнера, прямой суммой трех отрезков прямых. В трехмерном пространстве все многогранники Ханнера комбинаторно эквивалентны одному из этих двух типов многогранников. [5] В более высоких измерениях гиперкубы и кросс-многогранники , аналоги куба и октаэдра, снова являются многогранниками Ханнера. Однако возможны и другие примеры. Например, октаэдрическая призма , четырехмерная призма с октаэдром в качестве основания, также является многогранником Ханнера, как и его двойственная кубическая бипирамида.

Свойства [ править ]

Координатное представление [ править ]

Каждому многограннику Ханнера можно задать координаты вершины 0, 1 или −1. [6] Более точно, если P и Q являются многогранниками Ханнера с координатами в этой форме, то координаты вершин декартова произведения P и Q формируются путем конкатенации координат вершины в P с координатами вершины в Q . Координаты вершин прямой суммы P и Q формируются либо путем конкатенации координат вершины в P с вектором нулей, либо путем конкатенации вектора нулей с координатами вершины в Q.

Поскольку полярный двойственный многогранник Ханнера является другим многогранником Ханнера, многогранники Ханнера обладают тем свойством, что и они, и их двойники имеют координаты в {0,1, −1}. [6]

Количество лиц [ править ]

Каждый многогранник Ханнера центрально симметричен и имеет ровно 3 d непустых грани (включая сам многогранник как грань, но не включая пустое множество). Например, куб имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратов и 1 куб (сам) в виде граней; 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3 3 . Многогранники HANNER образуют важный класс примеров 3 Kalai в д гипотезу , что все центрально - симметричные многогранники имеют , по меньшей мере , 3 d граней непустых. [3]

Пары противоположных граней и вершин [ править ]

В многограннике Ханнера каждые две противоположные грани не пересекаются и вместе включают все вершины многогранника, так что выпуклая оболочка двух граней является всем многогранником. [6] [7] Как простое следствие этого факта, все грани многогранника Ханнера имеют одинаковое количество вершин друг у друга (половину числа вершин всего многогранника). Однако не все грани изоморфны друг другу. Например, в октаэдрической призме две грани являются октаэдрами, а другие восемь граней - треугольными призмами . Двойственно в каждом многограннике Ханнера каждые две противоположные вершины касаются непересекающихся наборов граней и вместе касаются всех граней многогранника.

Том Малера [ править ]

Объем Малера многогранника Ханнера (произведение его объема на объем его полярного двойника) такой же, как для куба или кросс-многогранника. Если гипотеза Малера верна, эти многогранники являются минимизаторами объема Малера среди всех центрально-симметричных выпуклых тел . [8]

Свойство Helly [ править ]

Переводится из гиперкуба (или аффинного преобразования него, A параллелоэдра ) образует семейство Хелло : каждый набор сдвигов , которые имеют непустые попарные пересечения имеют непустое пересечение. Более того, это единственные выпуклые тела с таким свойством. [9] Для любой другой центрально - симметричное выпуклый многогранник К , Ханнера (1956) определено Я ( К ) , чтобы быть наименьшее число сдвигов K , которые не образуют семейство Хелли (они попарно пересекаются , но имеют пустое пересечение). Он показал, что я ( К) либо три, либо четыре, и дал многогранники Ханнера в качестве примеров многогранников, для которых это четыре. Позднее Хансен и Лима (1981) показали, что это свойство можно использовать для характеристики многогранников Ханнера: они (с точностью до аффинного преобразования) в точности те многогранники, для которых I ( K )> 3. [10]

Комбинаторное перечисление [ править ]

Количество комбинаторных типов многогранников Ханнера размерности d равно количеству простых последовательно-параллельных графов с d непомеченными ребрами. [4] Для d = 1, 2, 3, ... это:

1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, ... (последовательность A058387 в OEIS ).

Более явная биекция между многогранниками Ханнера размерности d и кографами с d вершинами дана Рейснером (1991) . Для этой биекции предполагается, что многогранники Ханнера представлены геометрически с использованием координат в {0,1, −1}, а не как классы комбинаторной эквивалентности; в частности, существуют две различные геометрические формы многогранника Ханнера даже в двух измерениях: квадрат с координатами вершин (± 1, ± 1) и ромб с координатами вершин (0, ± 1) и (± 1,0). Для d -мерного многогранника с координатами вершин в {0,1, −1} Рейснер определяет ассоциированный граф, у которого dвершины соответствуют единичным векторам пространства, содержащего многогранник, два вектора которого соединены ребром, если их сумма лежит вне многогранника. Он отмечает, что графы многогранников Ханнера являются кографами, которые он характеризует двумя способами: графы без индуцированного пути длины три и графы, индуцированные подграфы которых все либо несвязны, либо являются дополнениями к несвязным графам. И наоборот, каждый кограф можно представить таким образом многогранником Ханнера. [6]

Пробелы Ханнера [ править ]

Многогранники Ханнера - это единичные шары семейства конечномерных банаховых пространств, называемых пространствами Ханнера . [7] HANNER пространство пространства , которые могут быть построены из одномерных пространств и комбинаций. [1]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Ханнер, Олоф (1956), "Пересечения переводов выпуклых тел", Mathematica Scandinavica , 4 : 65–87, MR  0082696.
  2. ^ a b Freij, Ragnar (2012), Темы алгоритмической, перечислительной и геометрической комбинаторики (PDF) , Ph.D. кандидатская диссертация, Отделение математических наук, Технологический институт Чалмерса .
  3. ^ Б Калай, Гир (1989), "Число граней центрально-симметричных многогранников", графов и комбинаторика , 5 (1): 389-391, DOI : 10.1007 / BF01788696 , МР 1554357  CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  4. ^ a b Саньял, Раман; Вернер, Аксель; Зиглер, Гюнтер М. (2009), «О гипотезах Калаи относительно центрально-симметричных многогранников», Дискретная и вычислительная геометрия , 41 (2): 183–198, arXiv : 0708.3661 , doi : 10.1007 / s00454-008-9104-8 , MR 2471868 /
  5. ^ Козачок, Марина (2012), «Совершенные prismatoids и гипотеза относительно с номерами торцовых центрально - симметричных многогранников», Ярославль Международная конференция «дискретная геометрия» , посвященная столетию ADAlexandrov (Ярославль, август 13-18, 2012) (PDF) , Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Международная лаборатория Б.Н. Делоне, С. 46–49. [ постоянная мертвая ссылка ] .
  6. ^ a b c d Рейснер, С. (1991), "Некоторые банаховы пространства, связанные с графами и CL-пространствами с 1-безусловным базисом", Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 43 (1): 137–148, DOI : 10,1112 / jlms / s2-43.1.137 , МР 1099093 .
  7. ^ а б Мартини, H .; Свейнпол, KJ; де Вет, П. Олофф (2009), «Поглощающие углы, минимальные деревья Штейнера и противоположность», Журнал теории оптимизации и приложений , 143 (1): 149–157, arXiv : 1108.5046 , doi : 10.1007 / s10957-009- 9552-1 , Руководство по ремонту 2545946 .
  8. ^ Kim, Jaegil (2014), "Минимальный объем продукта около многогранников Ханнера", Журнал функционального анализа , 266 (4): 2360–2402, arXiv : 1212.2544 , doi : 10.1016 / j.jfa.2013.08.008 , MR 3150164 .
  9. ^ С.-Надь, Бела (1954), "Ein Satz über Parallelverschiebungen konvexer Körper" , Acta Universitatis Szegediensis , 15 : 169-177, MR 0065942 , архивируются с оригинала на 2016-03-04 , извлекаться 2013-05-19 .
  10. ^ Хансен, Аллан Б .; Лима, Ȧsvald (1981), "Структура конечномерных банаховых пространств со свойством пересечения 3.2.", Acta Mathematica , 146 (1-2): 1-23, DOI : 10.1007 / BF02392457 , МР 0594626 .