Правильный семиугольник (с красными сторонами), его более длинные диагонали (зеленые) и более короткие диагонали (синие). У каждого из четырнадцати
одинаковых семиугольных треугольников есть одна зеленая сторона, одна синяя сторона и одна красная сторона.
Семиугольная треугольник является тупым неравносторонним треугольника , чьи вершины совпадают с первой, второй и четвертой вершинах правильного семиугольника (с произвольной начальной вершины). Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной и соседними более короткими и длинными диагоналями правильного семиугольника. Все семиугольные треугольники подобны (имеет одинаковую форму), и поэтому они все вместе известны как в семиугольном треугольнике. Его углы имеют размеры, и это единственный треугольник с углами в соотношении 1: 2: 4. У семиугольного треугольника есть несколько замечательных свойств.
Ключевые моменты [ править ]
Центр семиугольного треугольника из девяти точек также является его первой точкой Брокара . [1] : Предложения. 12
Вторая точка Брокара лежит на окружности из девяти точек. [2] : с. 19
Центр описанной окружности и точки Ферма семиугольного треугольника образуют равносторонний треугольник . [1] : Thm. 22
Расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H определяется как [2] : p. 19
где R - радиус описанной окружности . Квадрат расстояния от центра I до ортоцентра равен [2] : p. 19
где r - внутренний радиус .
Две касательные от ортоцентра к описанной окружности взаимно перпендикулярны . [2] : с. 19
Отношения расстояний [ править ]
Стороны семиугольного треугольника a < b < c совпадают соответственно со стороной правильного семиугольника, меньшей диагонали и большей диагонали. Они удовлетворяют [3] : Лемма 1
(последний [2] : стр. 13 является оптическим уравнением ) и, следовательно,
и [3] : Coro. 2
Таким образом, b / c , c / a и a / b удовлетворяют кубическому уравнению
Однако для решений этого уравнения не существует никаких алгебраических выражений с чисто действительными членами, потому что это пример casus unducibilis .
Примерное соотношение сторон:
У нас также есть [4] [5]
удовлетворяют кубическому уравнению
У нас также есть [4]
удовлетворяют кубическому уравнению
У нас также есть [4]
удовлетворяют кубическому уравнению
У нас также есть [2] : с. 14
и [2] : с. 15
У нас также есть [4]
Нет других ( m, n ), m, n > 0, m, n <2000 таких, что [ необходима цитата ]
Высота [ править ]
Высоты h a , h b и h c удовлетворяют условию
- [2] : с. 13
а также
- [2] : с. 14
Высота от боковой б (напротив угла B ) составляет половину внутренний угол биссектриса из A : [2] : р. 19
Здесь угол A - это наименьший угол, а B - второй наименьший угол .
Биссектрисы внутреннего угла [ править ]
У нас есть следующие свойства биссектрис внутренних углов и углов A, B и C соответственно: [2] : p. 16
Circumradius, inradius и exradius [ править ]
Площадь треугольника [6]
где R - радиус описанной окружности треугольника .
Имеем [2] : с. 12
У нас также есть [7]
Отношение г / Р от inradius к описанной окружности является положительным решением кубического уравнения [6]
Кроме того, [2] : с. 15
У нас также есть [7]
В общем, для всех целых n ,
где
а также
У нас также есть [7]
У нас также есть [4]
В exradius г , соответствующий сторону равен радиус девяти точек окружности от семиугольного треугольника. [2] : с. 15
Ортический треугольник [ править ]
Семиугольная треугольника orthic треугольник с вершинами в подножиях высот , является похож на семиугольный треугольник с отношением подобия 1: 2. Гептагональный треугольник - единственный тупой треугольник, который похож на свой ортогональный ( равносторонний треугольник является единственным острым). [2] : стр. 12–13.
Тригонометрические свойства [ править ]
Различные тригонометрические тождества, связанные с семиугольным треугольником, включают следующие: [2] : стр. 13–14 [6]
- [4] : Предложение 10
Кубическое уравнение
есть решения [2] : с. 14 и которые представляют собой квадраты синусов углов треугольника.
Положительное решение кубического уравнения
равно, что в два раза больше косинуса одного из углов треугольника. [8] : с. 186–187
Sin (2π / 7), sin (4π / 7) и sin (8π / 7) являются корнями [4]
У нас также есть: [7]
Для целого n пусть
Для n = 0, ..., 20,
Для n = 0, -1,, ..- 20,
Для целого n пусть
Для n = 0, 1,, .. 10,
Для целого n пусть
Для n = 0, 1,, .. 10,
У нас также есть [7] [9]
У нас также есть [4]
У нас также есть [4]
У нас также есть [10]
У нас также есть тождества типа Рамануджана, [7] [11]
У нас также есть [10]
Ссылки [ править ]
- ^ a b Пол Ю, «Гептагональные треугольники и их спутники», Forum Geometricorum 9, 2009, 125–148. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200912.pdf
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q Леон Банкофф и Джек Гарфанкел, «Гептагональный треугольник», Mathematics Magazine 46 (1), январь 1973 г., 7–19.
- ^ a b Абдилкадир Алтынтас, «Некоторые коллинеарности в семиугольном треугольнике», Forum Geometricorum 16, 2016, 249–256. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
- ^ Б с д е е г ч я Ван Кай. «Гептагональный треугольник и тригонометрические тождества», Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
- ^ Ван, Кай.
https://www.researchgate.net/publication/335392159_On_cubic_equations_with_zero_sums_of_cubic_roots_of_roots
- ^ a b c Вайсштейн, Эрик В. "Гептагональный треугольник". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html
- ^ a b c d e f Ван, Кай. https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle
- ↑ Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Угловая секция, семиугольник и трехугольник» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. DOI : 10.2307 / 2323624 . Архивировано из оригинального (PDF) 19 декабря 2015 года. CS1 maint: discouraged parameter (link)
- ^ Виктор Х. Молл, Элементарное тригонометрическое уравнение, https://arxiv.org/abs/0709.3755 , 2007
- ^ а б Ван, Кай.
https://www.researchgate.net/publication/336813631_Topics_of_Ramanujan_type_identities_for_PI7
- ^ Роман Витула и Дамиан Слота, Новые формулы типа Рамануджана и квазифибоначчи числа порядка 7, Журнал целочисленных последовательностей, Vol. 10 (2007).