Плотная упаковка равных сфер

Иллюстрация плотной упаковки одинаковых сфер как в ГПУ (слева), так и в ГЦК (справа) решетках

В геометрии , плотная упаковка равных сфер является плотным расположением конгруэнтных сфер в бесконечном, регулярное расположение (или решетка ). Карл Фридрих Гаусс доказал, что наивысшая средняя плотность, то есть наибольшая доля пространства, занимаемого сферами, которая может быть достигнута решетчатой упаковкой, равна

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {2}}}} \ приблизительно 0,74048}$.

Такая же плотность упаковки может быть также достигнута за счет чередования стопок одних и тех же плотноупакованных плоскостей сфер, включая структуры, апериодические в направлении стопки. Гипотеза Кеплера утверждает, что это наивысшая плотность, которая может быть достигнута любым расположением сфер, регулярным или неправильным. Эта гипотеза была доказана Т.С. Хейлзом . ^{[1] [2]} Наибольшая плотность известна только в случае 1, 2, 3, 8 и 24 измерений. ^[3]

Многие кристаллические структуры основаны на плотной упаковке одного типа атомов или на плотной упаковке больших ионов с меньшими ионами, заполняющими промежутки между ними. Кубическая и гексагональная конфигурации очень близки друг к другу по энергии, и может быть трудно предсказать, какая форма будет предпочтительнее, исходя из первых принципов.

Решетки FCC и HCP [ править ]

Расположение ГЦК в 4-х осевом направлении

fcc		hcp
Расположение ГЦК может быть ориентировано в двух разных плоскостях: квадратной или треугольной. Их можно увидеть в кубооктаэдре с 12 вершинами, представляющими положения 12 соседних сфер вокруг одной центральной сферы. Расположение ГПУ можно увидеть в треугольной ориентации, но чередуются два положения сфер в треугольном расположении ортобикуполов .

Есть две простые регулярные решетки, которые достигают этой наивысшей средней плотности. Их называют гранецентрированными кубическими ( ГЦК ) (также называемыми кубическими плотноупакованными ) и гексагональными плотноупакованными ( ГПУ ) из-за их симметрии . Оба основаны на листах сфер, расположенных в вершинах треугольной плитки; они различаются тем, как листы уложены друг на друга. ГЦК-решетка также известна математикам как решетка, порожденная корневой системой A ₃ . ^[4]

Проблема с пушечным ядром [ править ]

Пушечные ядра навалены на треугольное (переднее) и прямоугольное (заднее) основание, обе ГЦК- решетки.

Проблема плотной упаковки сфер была впервые математически проанализирована Томасом Харриотом около 1587 года после того, как сэр Уолтер Рэли во время своей экспедиции в Америку задал ему вопрос о складировании ядер на кораблях . ^[5] Пушечные ядра обычно складывались в прямоугольную или треугольную деревянную раму, образуя трех- или четырехстороннюю пирамиду. Обе конструкции создают гранецентрированную кубическую решетку с разной ориентацией относительно земли. Гексагональная плотная упаковка приведет к шестигранной пирамиде с шестиугольным основанием.

Задача о пушечном ядре спрашивает, какие плоские квадратные конструкции пушечных ядер можно сложить в квадратную пирамиду. Эдуард Лукас сформулировал проблему как диофантово уравнение или и предположил, что единственными решениями являются и . Вот количество слоев в пирамидальном расположении стопки и количество пушечных ядер вдоль края в плоском квадратном устройстве.${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} n ^ {2} = M ^ {2}}$${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}}$${\displaystyle N=1,M=1,}$${\displaystyle N=24,M=70}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

Расположение и интервалы [ править ]

И в схемах ГЦК, и в ГПУ каждая сфера имеет двенадцать соседей. Для каждой сферы есть один зазор, окруженный шестью сферами ( октаэдрические ), и два меньших зазора, окруженных четырьмя сферами (тетраэдрические). Расстояния до центров этих промежутков от центров окружающих сфер √ ³ / ₂ для тетраэдрических и √ 2 для октаэдрической, когда радиус сферы равен 1.

По сравнению с опорным слоем с позиционированием, еще два позиционирование В и С, возможны. Любая последовательность A, B и C без немедленного повторения одной и той же возможна и дает одинаково плотную упаковку для сфер заданного радиуса.

Самые регулярные - это

• fcc = ABC ABC ABC ... (каждый третий слой одинаковый)
• hcp = AB AB AB AB ... (все остальные слои такие же).

Существует бесчисленное множество неупорядоченных расположений плоскостей (например, ABCACBABABAC ...), которые иногда собирательно называют «упаковками Барлоу» в честь кристаллографа Уильяма Барлоу ^[6].

В плотной упаковке расстояние между центрами сфер в плоскости xy представляет собой простую сотовую мозаику с шагом (расстоянием между центрами сфер) в один диаметр сферы. Расстояние между центрами сфер, спроецированных на ось z (вертикальную), составляет:

${\displaystyle {\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.816\,496\,58d,}$

где d - диаметр сферы; это следует из тетраэдрического расположения плотноупакованных сфер.

Координационное число ГПУ и ГЦК 12 и их атомные упаковочные факторы (НПФ) равны числу упомянутого выше, 0,74.

Генерация решетки [ править ]

При формировании любой решетки упаковки сфер в первую очередь следует обратить внимание на то, что всякий раз, когда две сферы соприкасаются, прямая линия может быть проведена от центра одной сферы к центру другой, пересекая точку контакта. Расстояние между центрами по кратчайшему пути, а именно эта прямая линия, поэтому будет r ₁  +  r _2, где r ₁ - радиус первой сферы, а r ₂ - радиус второй. В плотной упаковке все сферы имеют общий радиус r . Следовательно, два центра просто будут находиться на расстоянии 2 r .

Простая решетка ГПУ [ править ]

Чтобы сформировать ABAB -... гексагональную плотную упаковку сфер, координатные точки решетки будут центрами сфер. Предположим, цель состоит в том, чтобы заполнить коробку сферами согласно hcp. Коробка будет помещена в координатное пространство x - y - z .

Сначала сформируйте ряд сфер. Все центры будут лежать на прямой линии. Их координата x будет изменяться на 2 r, поскольку расстояние между центрами соприкасающихся сфер равно 2 r . У координаты и г-координата будут таким же. Для простоты скажем, что шары представляют собой первый ряд, а их координаты y и z равны просто r , так что их поверхности лежат на нулевых плоскостях. Координаты центров первого ряда будут иметь вид (2 r ,  r ,  r ), (4 r ,  r ,  r ), (6 r  ,г ,  г ), (8 р  , г ,  г ), ....

Теперь сформируйте следующий ряд сфер. Опять же , центры будут все лежит на одной прямом с х -координатами разностей 2 г , но будут смещением расстояния г в й -направлении так , что центр каждого шара в этой строке совпадет с й координатой где две сферы соприкасаются в первом ряду. Это позволяет сферам нового ряда перемещаться ближе к первому ряду, пока все сферы в новом ряду не коснутся двух сфер первого ряда. Поскольку новые сферы касаются двух сфер, их центры образуют равносторонний треугольник с центрами этих двух соседей. Все стороны имеют длину 2 r , поэтому высота или y-разница координат между рядами √ 3 р . Таким образом, эта строка будет иметь такие координаты:

${\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}$

Первая сфера этого ряда касается только одной сферы в исходном ряду, но ее положение совпадает с положением остальной части ряда.

Следующая строка следует этой схеме сдвига координаты x на r и координаты y на √ 3 . Добавляйте строки до тех пор, пока не достигнете максимальных границ поля x и y .

В шаблоне наложения ABAB -... плоскости сфер с нечетными номерами будут иметь точно такие же координаты, за исключением разницы шага в координатах z, а плоскости сфер с четными номерами будут иметь одинаковые координаты x и y . Оба типа плоскостей формируются с использованием упомянутого выше шаблона, но начальное место для первой сферы первого ряда будет другим.

Используя плоскость, описанную выше как плоскость № 1, плоскость A, поместите сферу поверх этой плоскости так, чтобы она касалась трех сфер в плоскости A. Все три сферы уже касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник, и, поскольку все они касаются новой сферы, четыре центра образуют правильный тетраэдр . ^[7] Все стороны равны 2 r, потому что все стороны образованы двумя соприкасающимися сферами. Высота которой или разница координат z между двумя "плоскостями" равна√ 6 р 2/3. Это, в сочетании со смещениями в координатах x и y, дает центры первой строки в плоскости B:

${\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

Координаты второй строки следуют шаблону, описанному выше, и составляют:

${\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

Разница по сравнению со следующим самолетом, самолетом А, снова √ 6 р 2/3в г -направлении и сдвиг в х и у , чтобы они соответствовали х - и у -координаты первой плоскости A. ^[8]

В общем случае координаты центров сфер можно записать как:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}(k{\bmod {2}})\right]\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}$

где i , j и k - индексы, начинающиеся с 0, для координат x , y и z .

Индексы Миллера [ править ]

Кристаллографические особенности ГПУ-систем, такие как векторы и семейства атомных плоскостей, могут быть описаны с использованием обозначения индекса Миллера с четырьмя значениями ( hkil ), в котором третий индекс i обозначает удобный, но вырожденный компонент, равный - h  -  k . Ч , я и к направлению индекса разделены на 120 °, и, таким образом , не ортогональны; л компонент является взаимно перпендикулярны к ч , I и K индекса направления.

Заполнение оставшегося места [ править ]

ГЦК- и ГПУ-упаковки - это самые плотные известные упаковки из равных сфер с наивысшей симметрией (наименьшие повторяющиеся единицы). Известны более плотные упаковки сфер , но они включают неравную упаковку сфер . Плотность упаковки 1, полностью заполняющая пространство, требует несферической формы, такой как соты .

Замена каждой точки контакта между двумя сферами ребром, соединяющим центры соприкасающихся сфер, дает тетраэдры и октаэдры с равной длиной ребра. Расположение ГЦК дает четырехгранно-октаэдрические соты . Компоновка ГПУ образует спиральные четырехгранно-октаэдрические соты . Если вместо этого каждая сфера дополнена точками в пространстве, которые находятся ближе к ней, чем к любой другой сфере, образуются двойники этих сот: ромбические додекаэдрические соты для ГЦК и трапеции-ромбические додекаэдрические соты для ГПУ.

Сферические пузырьки появляются в мыльной воде в виде ГЦК или ГПУ, когда вода в промежутках между пузырьками стекает. Этот образец также приближается к ромбическим додекаэдрическим сотам или трапециевидным додекаэдрическим сотам . Однако такие пены с ГЦК или ГПУ с очень малым содержанием жидкости нестабильны, поскольку не удовлетворяют законам Плато . Пены Кельвина и пена Weaire-Фелэно являются более стабильными, имеющей меньшей межфазной энергией в пределе очень малого содержания жидкости. ^[9]

См. Также [ править ]

• Кубическая кристаллическая система
• Постоянная Эрмита
• Случайная близкая упаковка
• Упаковка сфер
• Набивка цилиндрической сферы

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с упаковкой сфер наивысшей плотности .

• П. Кришна и Д. Пандей, Международный союз кристаллографии "Плотно упакованные структуры", Университетский колледж Кардифф Пресс. Кардифф, Уэльс. PDF