Гипоэластичный материал

В механике сплошной среды , A гипоупругая материал ^[1] является эластичным материалом , который имеет конститутивную модель не зависящий от конечных деформаций мер , кроме как в случае линеаризованном. Модели гипоупругих материалов отличаются от моделей гиперупругих материалов (или стандартных моделей упругости) тем, что, за исключением особых обстоятельств, они не могут быть получены из функции плотности энергии деформации .

Обзор [ править ]

Гипоупругий материал можно строго определить как материал, моделируемый с помощью определяющего уравнения, удовлетворяющего следующим двум критериям: ^[2]

1. Напряжение Коши во времени зависит только от порядка, в котором тело занимало свои прошлые конфигурации, но не от скорости прохождения этих прошлых конфигураций. В качестве особого случая этот критерий включает эластичный материал Коши , для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle t}$

2. Существует тензорная функция , в которой - материальная скорость тензора напряжений Коши, а - тензор градиента пространственной скорости . ${\ displaystyle G}$ ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,$ ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\boldsymbol {L}}$

Если для определения гипоупругости используются только эти два исходных критерия, то гиперэластичность будет включена как особый случай, что побудит некоторых разработчиков конститутивного моделирования добавить третий критерий, который конкретно требует, чтобы гипоупругая модель не была гиперупругой (т. Е. Гипоупругость подразумевает, что напряжение есть не выводится из энергетического потенциала). Если принять этот третий критерий, то из этого следует, что гипоупругий материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагружения, которые начинаются и заканчиваются одним и тем же градиентом деформации, но не начинаются и заканчиваются при одной и той же внутренней энергии.

Обратите внимание , что второй критерий требует , что функция существует . Как поясняется ниже, в конкретных формулировках гипоупругих моделей обычно используется так называемая объективная скорость напряжения, так что функция существует только неявно. $G$ $G$

Модели из гипоэластичного материала часто имеют вид

{\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\mathsf {M}}:{\boldsymbol {d}}

где - объективная скорость напряжения Кирхгофа ( ), - тензор скорости деформации и - так называемый тензор упругой касательной жесткости, который изменяется в зависимости от самого напряжения и рассматривается как тензор свойств материала. В случае гиперупругости касательная жесткость обычно также должна зависеть от градиента деформации , чтобы должным образом учесть искажение и вращение направлений волокон анизотропного материала. ^[3] ${\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}$ ${\boldsymbol {\tau }}:=J{\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {d}}:=\left[{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]$ ${\mathsf {M}}$

Гипоэластичность и объективные показатели напряжения [ править ]

Во многих практических задачах механики твердого тела достаточно характеризовать деформацию материала малым (или линеаризованным) тензором деформации

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})

где - компоненты перемещений точек континуума, нижние индексы относятся к декартовым координатам , а нижние индексы, которым предшествует запятая, обозначают частные производные (например, ). Но есть также много проблем, где необходимо учитывать конечность деформации. Они бывают двух видов: $u_{i}$ $x_{i}$ $(i=1,2,3)$ $u_{i,j}=\partial u_{i}/\partial x_{j}$

большие нелинейные упругие деформации, обладающие потенциальной энергией (проявляемые, например, резиной), в которых компоненты тензора напряжений получаются как частные производные по компонентам тензора конечных деформаций; и $W({\boldsymbol {F}})$ $W$
неупругие деформации, не обладающие потенциалом, в которых зависимость напряжения от деформации определяется пошагово.

В первом случае уместна формулировка полной деформации, описанная в статье по теории конечных деформаций . В последнем случае необходима инкрементальная (или скоростная) формулировка, которая должна использоваться при каждой загрузке или временном шаге компьютерной программы конечных элементов с использованием обновленной лагранжевой процедуры. Отсутствие потенциала вызывает сложные вопросы из-за свободы выбора конечной меры деформации и характеристики скорости напряжения.

Для достаточно малого шага (или приращения) нагружения можно использовать тензор скорости деформации (или деформации скорости)

d_{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})

или увеличить

\Delta \varepsilon _{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t

представляющий линеаризованный прирост деформации от начального (напряженного и деформированного) состояния на ступеньке Здесь верхняя точка представляет материальную производную по времени ( после данной материальной частицы), обозначает небольшое приращение по шагу, = время и = скорость материальной точки или скорость смещения. $\partial /\partial t$ $\Delta$ $t$ $v_{i}={\dot {u}}_{i}$

Однако было бы нецелесообразно использовать производную по времени от напряжения Коши (или истинного) напряжения . Это напряжение, которое описывает силы, действующие на небольшой элемент материала, который, как предполагается, вырезается из материала, который в настоящее время деформируется, не является объективным, поскольку он изменяется в зависимости от вращения твердого тела материала. Материальные точки должны быть охарактеризованы своими начальными координатами (называемыми лагранжевыми), поскольку различные частицы материала содержатся в вырезанном элементе (в одном и том же месте) до и после возрастающей деформации. $\sigma _{ij}$ $X_{i}$

Следовательно, необходимо ввести так называемую объективную норму напряжения или соответствующее приращение . Объективность необходима для того, чтобы функционально относиться к деформации элемента. Это означает, что он должен быть инвариантным относительно преобразований координат (в частности, вращений) и должен характеризовать состояние того же материального элемента при его деформации. ${\hat {\sigma }}_{ij}$ $\Delta \sigma _{ij}={\hat {\sigma }}_{ij}\Delta t$ ${\hat {\sigma }}_{ij}$ ${\hat {\sigma }}_{ij}$

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

^ Трусделл (1963).
^ Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные полевые теории механики (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ISBN. 3-540-02779-3.
^ Brannon, RM (1998). «Предостережения относительно сопряженных мер напряжения и деформации для безразличной анизотропной упругости каркаса». Acta Mechanica . 129 . С. 107–116.

Библиография [ править ]

Трусделл, Клиффорд (1963), «Замечания о гипоэластичности», Журнал исследований Национального бюро стандартов, раздел B , 67B (3): 141–143.

[1] Трусделл (1963).

[2] Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные полевые теории механики (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ISBN. 3-540-02779-3.

[3] Brannon, RM (1998). «Предостережения относительно сопряженных мер напряжения и деформации для безразличной анизотропной упругости каркаса». Acta Mechanica . 129 . С. 107–116.

[1]