Прогнозы на основе трех объективных скоростей напряжения при сдвиге
В механике сплошных сред существует множество объективных скоростей напряжений, и все они, как можно показать, представляют собой особые формы производных Ли . Вот некоторые из широко используемых объективных показателей стресса:
На следующем рисунке показаны характеристики различных объективных скоростей в простом испытании на сдвиг, когда модель материала является гипоэластичной с постоянными модулями упругости . Отношение напряжения сдвига к смещению отображается как функция времени. Те же модули используются для трех объективных значений напряжения. Очевидно, что для скорости напряжения Заремба-Яумана наблюдаются паразитные колебания. [3] Это происходит не потому, что один коэффициент лучше другого, а потому, что использование одних и тех же констант с разными объективными коэффициентами является неправильным использованием моделей материала. [4] По этой причине в последнее время появилась тенденция вообще избегать объективных показателей стресса там, где это возможно. [ необходима цитата ]
Необъективность производной по времени от напряжения Коши
С - пространственная величина, и преобразование следует правилам тензорных преобразований ,объективно. Тем не мение,
Следовательно, скорость напряжения не является объективной, если скорость вращения не равна нулю, т. Е. постоянно.
Рисунок 1. Недеформированный и деформированный материальный элемент и элементарный куб, вырезанный из деформированного элемента.
Для физического понимания вышеизложенного рассмотрим ситуацию, показанную на рисунке 1. На рисунке компоненты тензора напряжений Коши (или истинного) обозначены символами . Этот тензор, который описывает силы, действующие на небольшой элемент материала, который, как предполагается, будет вырезан из материала, который в настоящее время деформирован, не является объективным при больших деформациях, поскольку он изменяется в зависимости от вращений твердого тела материала. Материальные точки должны характеризоваться своими исходными лагранжевыми координатами.. Следовательно, необходимо ввести так называемую объективную норму напряжений, или соответствующее приращение . Объективность необходима длябыть функционально связанной с деформацией элемента. Это означает, что должен быть инвариантным относительно преобразований координат, особенно вращений твердого тела, и должен характеризовать состояние того же самого элемента материала при его деформации.
Объективный уровень стресса может быть получен двумя способами:
путем тензорных преобразований координат [5], что является стандартным способом в учебниках конечных элементов [6]
вариационно, от плотности энергии деформации в материале, выраженной в терминах тензора деформации (что объективно по определению) [7] [8]
В то время как первый способ поучителен и обеспечивает полезное геометрическое понимание, второй способ математически короче и имеет дополнительное преимущество в виде автоматического обеспечения сохранения энергии, т. Е. Гарантии того, что работа второго порядка тензора приращения напряжения на тензоре приращения деформации будет правильной. (требование рабочей сопряженности).
Скорость напряжения Трусделла для напряжения Коши
Связь между напряжением Коши и вторым ПК-напряжением называется преобразованием Пиолы . Это преобразование можно записать в терминах возврата или продвижение вперед в виде
Скорость Трусделла для напряжения Коши - это преобразование Пиолы материальной производной по времени от 2-го ПК-напряжения. Таким образом, мы определяем
В развернутом виде это означает, что
где напряжение Кирхгофа а производная Ли напряжения Кирхгофа равна
Это выражение можно упростить до хорошо известного выражения для скорости Трусделла напряжения Коши
Коэффициент Трусделла для напряжения Коши
где - градиент скорости: .
Доказательство:
Начнем с
Раскладывая производную в квадратные скобки, получаем
или же,
Сейчас,
Следовательно,
или же,
где градиент скорости .
Кроме того, скорость изменения громкости определяется выражением
где - тензор скорости деформации.
Следовательно,
или же,
Можно показать, что оценка Трусделла объективна.
Коэффициент Трусделла для стресса Кирхгофа
Скорость Трусделла для напряжения Кирхгофа можно получить, отметив, что
и определение
В развернутом виде это означает, что
Следовательно, производная Ли отсовпадает со скоростью Трусделла для напряжения Кирхгофа .
Следуя тому же процессу, что и для напряжения Коши выше, мы можем показать, что
Коэффициент Трусделла для стресса Кирхгофа
Коэффициент Грина-Нагди для напряжения Коши
Это особая форма производной Ли (или скорости Трусделла для напряжения Коши). Напомним, что скорость Трусделла для напряжения Коши определяется выражением
Из теоремы о полярном разложении имеем
где - тензор ортогонального вращения () а также симметричный, положительно определенный, правый отрезок.
Если предположить, что мы получили . Кроме того, поскольку нет растяжки и у нас есть . Обратите внимание, что это не означает, что в фактическом теле нет растяжения - это упрощение сделано только для целей определения объективной скорости напряжения. Следовательно,
Можно показать , что это выражение может быть упрощено с широко используемой формой Грин-Нагдите скорости
Коэффициент Грина-Нагди для напряжения Коши
где .
Доказательство:
Расширение производной
или же,
Сейчас,
Следовательно,
Если определить угловую скорость как
мы получаем обычно используемую форму Green-Нагдите скорости
Скорость Грина – Нагди напряжения Кирхгофа также имеет вид, поскольку растяжение не принимается во внимание, т. Е.
Скорость Зарембы-Яумана напряжения Коши
Скорость Зарембы-Яумана для напряжения Коши является дальнейшей специализацией производной Ли (скорости Трусделла). Эта ставка имеет вид
Скорость Зарембы-Яумана напряжения Коши
где - тензор спина.
Скорость Зарембы-Яуманна широко используется в вычислениях в первую очередь по двум причинам.
это относительно легко реализовать.
это приводит к симметричным касательным модулям.
Напомним, что тензор спина (скошенная часть градиента скорости) может быть выражена как
Таким образом, для движения чистого твердого тела
В качестве альтернативы мы можем рассмотреть случай пропорциональной нагрузки, когда основные направления деформации остаются постоянными. Примером такой ситуации является осевое нагружение цилиндрического стержня. В этой ситуации, поскольку
у нас есть
Также,
напряжения Коши
Следовательно,
Это еще раз дает
В общем, если приблизить
скорость Грина – Нагди становится скоростью Заремба-Яуманна для напряжения Коши
Прочие объективные показатели стресса
Может существовать бесконечное множество уровней объективного напряжения. Один из них - уровень стресса Олдройда.
В более простой форме ставка Олдройда определяется как
Если предполагается, что текущая конфигурация является эталонной конфигурацией, то операции возврата и продвижения вперед могут выполняться с использованием а также соответственно. Тогда производная Ли от напряжения Коши называется скоростью конвективного напряжения.
В более простой форме скорость конвекции определяется выражением
Объективные скорости напряжений при конечной неупругости деформации
Многие материалы претерпевают неупругие деформации, вызванные пластичностью и повреждениями. Такое материальное поведение нельзя описать с точки зрения потенциала. Также часто бывает, что не существует памяти о начальном исходном состоянии, особенно когда речь идет о больших деформациях. [9] В таких случаях определяющее отношение обычно определяется в инкрементальной форме, чтобы упростить расчет напряжений и деформаций. [10]
где - приращение смещения точек континуума. Производная по времени
- тензор скорости деформации (также называемый скоростной деформацией) и- скорость материальной точки или скорость смещения. Для конечных деформаций можно использовать меры из семейства Сета – Хилла (также называемые тензорами Дойла – Эриксена):
где это правильная растяжка. Второе приближение этих тензоров есть
Рассмотрим материальный элемент единичного начального объема, начиная с начального состояния при начальном (или истинном) напряжении Коши. и разреши - напряжение Коши в окончательной конфигурации. Позволятьбыть работой, совершаемой (на единицу начального объема) внутренними силами во время постепенной деформации из этого начального состояния. Тогда вариация соответствует изменению выполненной работы из-за изменения смещения . Изменение смещения должно удовлетворять граничным условиям смещения.
Позволять - объективный тензор напряжений в исходной конфигурации. Определите приращение напряжения относительно начальной конфигурации как. В качестве альтернативы, если представляет собой несимметричное первое напряжение Пиолы – Кирхгофа, относящееся к исходной конфигурации, приращение напряжения может быть выражено как .
Вариация проделанной работы
Тогда вариация в проделанной работе может быть выражена как
где мера конечной деформации энергия, сопряженная с мерой напряжения . Расширенный,
Объективность тензора напряжений обеспечивается его преобразованием как тензора второго порядка при поворотах координат (что приводит к независимости главных напряжений от поворотов координат) и правильностью как выражение энергии второго порядка.
Из симметрии напряжения Коши имеем
Для небольших изменений деформации, используя приближение
и расширения
мы получаем уравнение
Наложение вариационного условия, согласно которому результирующее уравнение должно быть справедливым для любого градиента деформации , имеем [7]
Мы также можем записать приведенное выше уравнение в виде
Производные по времени
Напряжение Коши и первое напряжение Пиолы-Кирхгофа связаны соотношением (см. Меры напряжения )
Для небольших инкрементных деформаций
Следовательно,
Подстановка ,
Для небольших нагрузок относительно начального напряжения , приведенное выше сводится к
Из уравнений (1) и (3) имеем
Напомним, что является приращением меры тензора напряжений . Определение уровня стресса
и отмечая, что
мы можем записать уравнение (4) в виде
Принимая предел в , и отмечая, что на этом пределе получается следующее выражение для объективной скорости напряжения, связанной с мерой деформации :
Здесь = материальная скорость напряжения Коши (т. е. скорость в лагранжевых координатах начального напряженного состояния).
Нормы стресса, сопряженного с работой
Скорость, для которой не существует допустимого тензора конечных деформаций связаны согласно формуле. (6) является энергетически несовместимым, т. Е. Его использование нарушает энергетический баланс (т. Е. Первый закон термодинамики).
Оценка уравнения. (6) для общего и для , получаем общее выражение для объективной скорости напряжений: [7] [8]
где - объективная скорость напряжения, связанная с грин-лагранжевой деформацией ().
В частности,
дает коэффициент напряжения Трусделла
дает коэффициент Зарембы-Яумана для стресса Кирхгофа
дает коэффициент стресса Био
(Обратите внимание, что m = 2 приводит к формуле Энгессера для критической нагрузки при продольном изгибе, а m = -2 приводит к формуле Харингкса, которая может давать критические нагрузки, отличающиеся более чем на 100%).
Нормы стресса, не связанного с работой
Другие скорости, используемые в большинстве коммерческих кодов, которые не являются рабочими сопряженными с каким-либо тензором конечной деформации: [8]
Заремба-Jaumann или corotational, скорость Коши стресса : Она отличается от Заремба-Jaumann скорости Кирхгофа напряжения, пропуская скорость относительного изменения объема материала. Отсутствие рабочего сопряжения обычно не является серьезной проблемой, поскольку этот член пренебрежимо мал для многих материалов и равен нулю для несжимаемых материалов (но при вдавливании многослойной плиты с пенопластом этот показатель может давать ошибку> 30% в сила вдавливания).
в Коттер-Ривлин скорость соответствует но опять не хватает объемного члена.
скорость Зеленый-Нагди : Этот объективный стресс не работа-сопряженная с любого конечного тензора деформации, а не только из-за недостающего объемного термина , но и потому , что материал скорость вращения не в точности равна тензора спина. В подавляющем большинстве приложений ошибки в вычислении энергии, вызванные этими различиями, незначительны. Однако следует отметить, что большая ошибка энергии уже была продемонстрирована для случая с деформациями сдвига и вращениями, превышающими примерно 0,25. [12]
скорость Oldroyd .
Объективные ставки и производные Ли
Нормы объективных напряжений можно также рассматривать как производные Ли различных типов тензора напряжений (т. Е. Связанных ковариантных, контравариантных и смешанных компонентов напряжения Коши) и их линейных комбинаций. [13] Производная Ли не включает понятие работы-сопряженности.
Модули тангенциальной жесткости и их преобразования для достижения стабильности энергии
Отношение касательного напряжения к деформации обычно имеет вид
где тангенциальные модули (компоненты тензора 4-го порядка), связанные с тензором деформаций . Они разные для разного выбора, и связаны следующим образом:
Из того факта, что уравнение. (7) должно выполняться для любого градиента скорости, следует, что: [7]
где - тангенциальные модули, связанные с деформацией Грина – Лагранжа (), взятый за образец, = текущее напряжение Коши, и = Дельта Кронекера (или единичный тензор).
Уравнение (8) можно использовать для преобразования одной объективной скорости напряжения в другую. С, преобразование [7] [8]
может дополнительно исправить отсутствие термина (обратите внимание, что термин не позволяет менять индексы местами с участием , что означает, что его отсутствие нарушает основную симметрию тензора тангенциальных модулей ).
Большая деформация часто возникает, когда поведение материала становится нелинейным из-за пластичности или повреждения. Тогда основной причиной зависимости тангенциальных модулей от напряжения является физическое поведение материала. Какая формула (8) означает, что нелинейная зависимостьнапряжение должно быть разным для разных объективных показателей напряжения. Однако ни один из них не является принципиально предпочтительным, за исключением случаев, когда существует одна степень напряжения, одна, для которого модули можно считать постоянными.
^ ME Гуртин, Э. Фрид и Л. Ананд (2010). «Механика и термодинамика сплошных сред». Издательство Кембриджского университета (см. Стр. 151, 242).
↑ Zaremba, "Sur une forme perfectionée de la théorie de la relax" , Bull. Int. Акад. Sci. Кракови , 1903 год.
^ Диенов, J. (1979). «Об анализе скорости вращения и напряжений в деформируемых телах». Acta Mechanica . 32 . п. 217.
^Браннон, Р.М. (1998). «Предостережения относительно сопряженных мер напряжения и деформации для безразличной анизотропной упругости каркаса». Acta Mechanica . 129 . С. 107–116.
^ HD Hibbitt, PV Marçal и JR Rice (1970). «Формулировка методом конечных элементов для задач большой деформации и большого смещения». Междунар. J. of Solids Structures , 6, 1069–1086.
^ Т. Belytschko, WK Liu и B. Moran (2000). Нелинейные конечные элементы для сплошных сред и структур. J. Wiley & Sons, Чичестер, Великобритания
^ а б в г д З.П. Бажант (1971). «Корреляционное исследование формулировок инкрементной деформации и устойчивости сплошных тел». Журнал прикладной механики ASME , 38 (4), 919–928.
^ а б в г З.П. Бажант и Л. Седолин (1991). Устойчивость конструкций. Теории упругости, неупругости, разрушения и повреждения. Oxford Univ. Press, New York (2-е изд. Dover Publ., New York 2003; 3-е изд., World Scientific 2010).
^ Теория конечных деформаций
^ Викиверситет: нелинейные конечные элементы / обновленный лагранжев подход
^ Теория бесконечно малых деформаций
^ ZP Bažant и J. Vorel (2013). Ошибка энергосбережения из-за использования коэффициента объективного напряжения Грина – Нагди в коммерческих кодах конечных элементов и ее компенсация ». Журнал прикладной механики ASME , 80 (4).
^ JE Marsden и TJR Hughes (1983). Математические основы упругости. Прентис Холл, Энглвудские скалы. Нью-Джерси (стр. 100).