Кривые напряжение – деформация для различных моделей гиперупругих материалов.
Гиперупругая или зеленый упругая материал [1] представляет собой тип конститутивной модели для идеально упругого материала , для которого напряжения-деформация отношений происходят от функции плотности энергии деформации . Гиперупругий материал - это частный случай эластичного материала Коши .
Для многих материалов линейные упругие модели неточно описывают наблюдаемое поведение материала. Наиболее распространенным примером такого рода материала резины, чье напряжение - деформация отношения могут быть определены как нелинейно упругой, изотропной , несжимаемой и вообще не зависит от скорости деформации . Гиперупругость позволяет моделировать поведение таких материалов при напряжении и деформации. [2] Поведение ненаполненных вулканизированных эластомеров часто близко соответствует идеалу гиперупругости. Наполненные эластомеры и биологические ткани [3] [4] также часто моделируются с помощью гиперупругой идеализации.
Рональд Ривлин и Мелвин Муни разработали первые гиперупругие модели, твердые тела Неогука и Муни – Ривлина . С тех пор было разработано много других гиперупругих моделей. Другие широко используемые модели гиперупругого материала включают модель Огдена и модель Арруда – Бойса .
СОДЕРЖАНИЕ
1 Модели гиперупругих материалов
1.1 Модель Сен-Венана – Кирхгофа
1.2 Классификация моделей гиперупругих материалов
2 Отношения напряжения и деформации
2.1 Сжимаемые гиперупругие материалы
2.1.1 Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа
2.1.2 Второе напряжение Пиолы – Кирхгофа
2.1.3 Напряжение Коши
2.2 Несжимаемые гиперупругие материалы
3 Выражения для напряжения Коши
3.1 Сжимаемые изотропные гиперупругие материалы
3.2 Несжимаемые изотропные гиперупругие материалы
4 Постоянство с линейной эластичностью
4.1 Условия согласованности изотропных гиперупругих моделей
4.2 Условия консистенции резиновых материалов на несжимаемой основе я 1 {\ displaystyle I_ {1}}
5 ссылки
6 См. Также
Модели гиперупругих материалов [ править ]
Модель Сен-Венана – Кирхгофа [ править ]
Простейшей моделью гиперупругого материала является модель Сен-Венана – Кирхгофа, которая является просто расширением геометрически линейной модели упругого материала до геометрически нелинейного режима. Эта модель имеет общий вид и изотропный вид соответственно.
где - второе напряжение Пиолы – Кирхгофа, - тензор жесткости четвертого порядка и - лагранжева деформация Грина, определяемая формулой
и - константы Ламе , - единичный тензор второго порядка.
Функция плотности энергии деформации для модели Сен-Венана – Кирхгофа имеет вид
а второе напряжение Пиолы – Кирхгофа может быть получено из соотношения
Классификация моделей гиперупругих материалов [ править ]
Модели гиперупругих материалов можно разделить на:
1) феноменологические описания наблюдаемого поведения
Гриб
Муни – Ривлин
Огден
Полиномиальный
Сен-Венан-Кирхгоф
Ага
Марлоу
2) механистические модели, основанные на аргументах о базовой структуре материала.
Модель Арруда – Бойса
Неогукейский
3) гибриды феноменологической и механистической моделей
Гент
Ван дер Ваальс
Как правило, гиперупругая модель должна удовлетворять критерию устойчивости Друкера . Некоторые гиперупругие модели удовлетворяют гипотезе Валаниса-Ланделя, согласно которой функция энергии деформации может быть разделена на сумму отдельных функций главных участков :
Отношения напряжения и деформации [ править ]
Сжимаемые гиперупругие материалы [ править ]
Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа [ править ]
Если - функция плотности энергии деформации, 1-й тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа может быть рассчитан для гиперупругого материала как
где - градиент деформации . В терминах лагранжевой деформации Грина ( )
В терминах правого тензора деформации Коши – Грина ( )
Второе напряжение Пиолы – Кирхгофа [ править ]
Если - второй тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа, то
В терминах лагранжевой деформации Грина
В терминах правого тензора деформации Коши – Грина
Вышеупомянутое соотношение также известно как формула Дойля-Эриксена в конфигурации материала.
Напряжение Коши [ править ]
Точно так же напряжение Коши определяется выражением
В терминах лагранжевой деформации Грина
В терминах правого тензора деформации Коши – Грина
Приведенные выше выражения действительны даже для анизотропных сред (в этом случае подразумевается, что потенциальная функция неявно зависит от эталонных направленных величин, таких как начальная ориентация волокон). В частном случае изотропии напряжение Коши может быть выражено через левый тензор деформации Коши-Грина следующим образом: [5]
Несжимаемые гиперупругие материалы [ править ]
Для несжимаемого материала . Таким образом, ограничение несжимаемости равно . Для обеспечения несжимаемости гиперупругого материала функцию энергии деформации можно записать в виде:
где гидростатическое давление действует как множитель Лагранжа для обеспечения ограничения несжимаемости. Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа теперь становится
Этот тензор напряжений впоследствии может быть преобразован в любой из других обычных тензоров напряжений, например, тензор напряжений Коши, который определяется выражением
Выражения для напряжения Коши [ править ]
Сжимаемые изотропные гиперупругие материалы [ править ]
Для изотропных гиперупругих материалов напряжение Коши может быть выражено через инварианты левого тензора деформации Коши – Грина (или правого тензора деформации Коши – Грина ). Если функция плотности энергии деформации равна , то
( Определения этих символов см. На странице слева тензор деформации Коши – Грина ).
Доказательство 1:
Второго тензора напряжений Пиола-Кирхгофа для гиперупругого материала задается
где это верно Коши-Грина тензор деформации и является градиент деформации . Напряжений Коши задается
где . Позвольте быть три основных инварианта . потом
В производные инвариантов симметричного тензора являются
Следовательно, мы можем написать
Подстановка выражения для напряжения Коши дает
Используя левый тензор деформации Коши – Грина и учитывая, что мы можем записать
Для несжимаемого материала и, следовательно ,.
Следовательно, напряжение Коши определяется выражением
где - неопределенное давление, которое действует как множитель Лагранжа для обеспечения ограничения несжимаемости.
Если, кроме того, имеем и, следовательно,
В этом случае напряжение Коши можно выразить как
Доказательство 2:
Изохорная градиент деформации определяется как , в результате изохорной градиента деформации , имеющей определитель 1, другими словами , это объем простирания бесплатно. Используя это, впоследствии можно определить изохорный левый тензор деформации Коши – Грина .
Инварианты :
Набор инвариантов, которые используются для определения искажающего поведения, представляют собой первые два инварианта изохорного левого тензора деформации Коши – Грина (которые идентичны тем, которые используются для правого тензора растяжения Коши Грина), и добавляют в бой, чтобы описать объемное поведение.
Чтобы выразить напряжение Коши через инварианты, напомним, что
Цепное правило дифференциации дает нам
Напомним, что напряжение Коши определяется выражением
В терминах инвариантов имеем
Подставляя выражения для производных от по , мы имеем
или же,
В терминах девиаторной части мы можем написать
Для несжимаемого материала и, следовательно, напряжение Коши определяется выражением
где - неопределенный член множителя Лагранжа, подобный давлению. Кроме того, если , у нас есть и, следовательно, напряжение Коши может быть выражено как
Доказательство 3:
Чтобы выразить напряжение Коши через отрезки, напомним, что
Цепное правило дает
Напряжение Коши определяется выражением
Подстановка выражения для производной от приводит к
Используя спектральное разложение из нас
Также обратите внимание, что
Следовательно, выражение для напряжения Коши можно записать как
Для несжимаемого материала а значит . Следуя Огдену [1] с. 485, можно написать
На этом этапе требуется некоторая осторожность, потому что, когда собственное значение повторяется, оно, как правило, дифференцируется только по Гато , но не по Фреше . [6] [7] Строгую тензорную производную можно найти только путем решения другой задачи на собственные значения.
Если выразить напряжение в терминах различий между компонентами,
Если в дополнение к несжимаемости у нас есть то возможное решение проблемы требует, и мы можем записать разницу напряжений в виде
Несжимаемые изотропные гиперупругие материалы [ править ]
Для несжимаемых изотропных гиперупругих материалов функция плотности энергии деформации равна . Напряжение Коши тогда определяется выражением
где - неопределенное давление. Что касается различий в стрессе
Если вдобавок , то
Если , то
Последовательность с линейной эластичностью [ править ]
Согласованность с линейной упругостью часто используется для определения некоторых параметров моделей гиперупругих материалов. Эти условия согласованности можно найти, сравнив закон Гука с линеаризованной гиперэластичностью при малых деформациях.
Условия согласованности для изотропных гиперупругих моделей [ править ]
Чтобы изотропные гиперупругие материалы согласовывались с изотропной линейной упругостью , соотношение напряжение-деформация должно иметь следующую форму в пределе бесконечно малой деформации :
где - постоянные Ламе . Функция плотности энергии деформации, соответствующая приведенному выше соотношению, равна [1]
Для несжимаемого материала и мы имеем
Для того чтобы любая функция плотности энергии деформации при малых деформациях сводилась к указанным выше формам, должны быть выполнены следующие условия [1]
Если материал несжимаемый, то вышеуказанные условия могут быть выражены в следующей форме.
Эти условия могут быть использованы для нахождения соотношений между параметрами данной модели гиперупругости и модулями сдвига и объемного сжатия.
Условия консистенции для резиновых материалов на несжимаемой основе [ править ]
Многие эластомеры адекватно моделируются функцией плотности энергии деформации, которая зависит только от . Таких материалов у нас есть . Условия консистенции для несжимаемых материалов в этом случае могут быть выражены как
Второе условие согласованности выше можно вывести, отметив, что
Эти соотношения затем можно подставить в условие согласованности для изотропных несжимаемых гиперупругих материалов.
Ссылки [ править ]
^ a b c d Р. В. Огден, 1984, Нелинейные упругие деформации , ISBN 0-486-69648-0 , Дувр.
^ Muhr, АХ (2005). «Моделирование напряженно-деформированного поведения резины». Химия и технология резины . 78 (3): 391–425. DOI : 10.5254 / 1.3547890 .
^ Гао, H; Максимум; Ци, Н; Берри, C; Гриффит, BE; Луо, X. "Модель конечного деформации нелинейного митрального клапана человека с взаимодействием жидкости и структуры" . Int J Numer Method Biomed Eng . 30 : 1597–613. DOI : 10.1002 / cnm.2691 . PMC 4278556 . PMID 25319496 .
^ Цзя, F; Бен Амар, М. Billoud, B; Charrier, B. "Морфоэластичность в развитии бурой водоросли Ectocarpus siliculosus : от округления клеток к ветвлению" . Интерфейс JR Soc . 14 : 20160596. дои : 10.1098 / rsif.2016.0596 . PMC 5332559 . PMID 28228537 .
↑ Y. Basar, 2000, Нелинейная механика сплошной среды твердых тел, Springer, p. 157.
^ Фокс и Капур, Скорость изменения собственных значений и собственных векторов , AIAA Journal , 6 (12) 2426–2429 (1968)
^ Friswell MI. Производные повторяющихся собственных значений и связанных с ними собственных векторов. Журнал вибрации и акустики (ASME) 1996; 118: 390–397.