Гипограф (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  математика "Hypograph"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то подграфик или подграф из функции F  : R ^п → R представляет собой множество точек , лежащих на или ниже ее графика . Связанное с этим определение - это определение эпиграфа такой функции , который представляет собой набор точек на графике функции или над ним.

Домена (а не кообласть ) функция не является особенно важной для этого определения; это может быть произвольный набор ^[1] вместо .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Определение [ править ]

Определение подграфика было вдохновлено , что из графика функции , где график из определяется как множество ${\ displaystyle f: X \ to Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {graph} f: = \ left \ {(x, y) \ in X \ times Y ~: ~ y = f (x) \ right \}.}$

Подграфик или подграф функции оценивается в расширенных действительных чисел является множество ^[2]${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\leq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}\{x\}\times (-\infty ,f(x)].\end{alignedat}}}$

Точно так же множество точек на функции или над ней является ее надграфиком . Строгая подграфик является подграфик с графиком удалены:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} _{S}f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r<f(x)\right\}\\&=\operatorname {hyp} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times (-\infty ,f(x)).\end{alignedat}}}$

Несмотря на то, что в качестве значения может приниматься одно (или оба) из (в этом случае его график не будет подмножеством ), эпиграф тем не менее определяется как подмножество, а не из${\displaystyle f}$${\displaystyle \pm \infty }$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$

Свойства [ править ]

Эпиграф функции является пустым , если и только если тождественно равна отрицательной бесконечности.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее гипограф является выпуклым множеством . Гипограф вещественной аффинной функции - это полупространство в${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

Функция полунепрерывна сверху тогда и только тогда, когда ее гипограф замкнут .

См. Также [ править ]

• Действующий домен
• Эпиграф (математика)
• Правильная выпуклая функция

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уетс, Роджер Дж .-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .