В математике вещественная или комплекснозначная функция f на d -мерном евклидовом пространстве удовлетворяет условию Гёльдера или является непрерывной по Гёльдеру , когда существуют неотрицательные вещественные константы C , α> 0, такие, что
для всех x и y в области определения f . В более общем смысле условие может быть сформулировано для функций между любыми двумя метрическими пространствами . Число α называется показателем условия Гельдера. Функция на интервале, удовлетворяющая условию с α> 1, постоянна . Если α = 1, то функция удовлетворяет условию Липшица . Для любого α> 0 из условия следует, что функция равномерно непрерывна . Состояние названо в честь Отто Гёльдера .
Имеем следующую цепочку строгих включений для функций над замкнутым и ограниченным нетривиальным интервалом вещественной прямой
- Непрерывно дифференцируемое ⊂ липшицево ⊂ α-гёльдерово непрерывное ⊂ равномерно непрерывное = непрерывное
где 0 <α ≤ 1.
Пространства Гёльдера
Пространства Гёльдера, состоящие из функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, являются основными в областях функционального анализа, относящихся к решению уравнений в частных производных , а также в динамических системах . Пространство Гёльдера C k , α (Ω), где Ω - открытое подмножество некоторого евклидова пространства, а k ≥ 0 - целое число, состоит из функций на Ω, имеющих непрерывные производные до порядка k и таких, что k- е частные производные равны Непрерывное по Гёльдеру с показателем α, где 0 <α ≤ 1. Это локально выпуклое топологическое векторное пространство . Если коэффициент Гельдера
конечна, то функция f называется (равномерно) непрерывной по Гёльдеру с показателем α в Ω. В этом случае коэффициент Гёльдера выступает в роли полунормы . Если коэффициент Гёльдера ограничен просто на компактных подмножествах Ω, то функция f называется локально непрерывной по Гёльдеру с показателем α в Ω.
Если функция f и ее производные до порядка k ограничены на замыкании Ω, то пространство Гёльдера можно присвоить норму
где β пробегает мультииндексы и
Эти полунормы и нормы часто обозначают просто а также или также а также чтобы подчеркнуть зависимость от области f . Если Ω открыто и ограничено, тоявляется банаховым пространством относительно нормы.
Компактное вложение пространств Гёльдера
Пусть Ω - ограниченное подмножество некоторого евклидова пространства (или, в более общем смысле, любого вполне ограниченного метрического пространства), и пусть 0 <α <β ≤ 1 два показателя Гёльдера. Тогда существует очевидное отображение включения соответствующих пространств Гёльдера:
которое является непрерывным, поскольку по определению норм Гёльдера имеем:
Более того, это включение компактно, что означает, что ограниченные множества в норме · ‖ 0, β относительно компактны в норме · ‖ 0, α . Это прямое следствие теоремы Асколи-Арцела . Действительно, пусть ( u n ) - ограниченная последовательность в C 0, β (Ω). Благодаря теореме Асколи-Арцела без ограничения общности можно считать, что u n → u равномерно, а также можно считать u = 0. Тогда
так как
Примеры
- Если 0 <α ≤ β ≤ 1, то все Непрерывные по Гёльдеру функции на ограниченном множестве Ω также являютсяГёльдер непрерывный. Это также включает β = 1, и поэтому все липшицевы функции на ограниченном множестве также C 0, α- Гёльдеровы.
- Функция f ( x ) = x β (с β ≤ 1), определенная на [0, 1], служит прототипом функции, которая является непрерывной по Гельдеру C 0, α для 0 <α ≤ β, но не для α> β. Далее, если мы определили f аналогично на, она была бы непрерывной по Гёльдеру C 0, α только при α = β.
- При α> 1 любая непрерывная функция α – Гёльдера на [0, 1] (или любом интервале) является константой.
- Существуют примеры равномерно непрерывных функций, не являющихся непрерывными по α – Гёльдеру ни при каком α. Например, функция, определенная на [0, 1/2] формулой f (0) = 0 и f ( x ) = 1 / log ( x ) в противном случае, является непрерывной и, следовательно, равномерно непрерывной по теореме Гейне-Кантора . Однако он не удовлетворяет условию Гельдера любого порядка.
- Функция Вейерштрасса определяется следующим образом:
- где целое число, а также α-Гёльдера с
- Функция Кантора непрерывна по Гёльдеру для любого показателяи ни для кого больше. В первом случае неравенство определения выполняется с константой C : = 2.
- Кривые Пеано из [0, 1] на квадрат [0, 1] 2 могут быть построены так, чтобы быть 1/2 –гельдеровскими. Можно доказать, что когда изображение непрерывной функции α – Гёльдера от единичного интервала к квадрату не может заполнить квадрат.
- Примерные траектории броуновского движения почти наверняка всюду локально α-Гёльдеровы для каждого
- Функции, которые являются локально интегрируемыми и интегралы которых удовлетворяют подходящему условию роста, также являются непрерывными по Гёльдеру. Например, если мы позволим
- и ты удовлетворяет
- то u непрерывно по Гёльдеру с показателем α. [2]
- Функции, колебания которых затухают с фиксированной скоростью относительно расстояния, являются непрерывными по Гёльдеру с показателем степени, который определяется скоростью затухания. Например, если
- для некоторой функции u ( x ) удовлетворяет
- для фиксированного λ, 0 <λ <1 и всех достаточно малых значений r , то u непрерывно по Гёльдеру.
- Функции из пространства Соболева могут быть вложены в соответствующее пространство Гёльдера с помощью неравенства Морри, если размерность пространства меньше показателя пространства Соболева. Если быть точным, еслитогда существует постоянная C , зависящая только от p и n , такая, что:
- где Таким образом, если u ∈ W 1, p ( R n ), то u фактически непрерывно по Гёльдеру экспоненты γ после возможного переопределения на множестве меры 0.
Характеристики
- Замкнутая аддитивная подгруппа бесконечномерного гильбертова пространства H , связанная α – гельдеровскими дугами с α> 1/2, является линейным подпространством. В H есть замкнутые аддитивные подгруппы , а не линейные подпространства, соединенные 1/2 – гельдеровскими дугами. Примером может служить аддитивная подгруппа L 2 ( R , Z ) гильбертова пространства L 2 ( R , R ).
- Любая α-гельдерово функция F на метрическом пространстве X допускает приближение Липшицы с помощью последовательности функций ( F K ) , такие , что F K есть к -Lipschitz и
- Наоборот, любая такая последовательность ( f k ) липшицевых функций сходится к α – гёльдеровскому непрерывному равномерному пределу f .
- Любая α – функция Гельдера f на подмножестве X нормированного пространства E допускает равномерно непрерывное расширение на все пространство, которое является непрерывным по Гельдеру с той же константой C и тем же показателем α. Самое большое такое расширение:
- Образ любого под действием α – Гельдера имеет размерность Хаусдорфа не более , где хаусдорфова размерность .
- Космос неотделима.
- Вложение не плотный.
Заметки
Рекомендации
- Лоуренс К. Эванс (1998). Уравнения с частными производными . Американское математическое общество, Провиденс. ISBN 0-8218-0772-2.
- Gilbarg, D .; Трудингер, Нил (1983). Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-41160-7..
- Хан, Цин; Линь, Fanghua (1997). Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными . Нью-Йорк: Институт математических наук Куранта . ISBN 0-9658703-0-8. OCLC 38168365 . МИСТЕР1669352