В теории категории филиала математики , то образ из морфизма является обобщением изображения в виде функции .
Учитывая категорию и морфизм в , изображение [1] изэто мономорфизм удовлетворяющее следующему универсальному свойству :
- Существует морфизм такой, что .
- Для любого объекта с морфизмом и мономорфизм такой, что , существует единственный морфизм такой, что .
Примечания:
- такая факторизация не обязательно существует.
- уникален по определению моник .
- от моник.
- моник.
- уже подразумевает, что уникален.
Образ часто обозначается как или же .
Предложение: Если есть все эквалайзеры, то в факторизации из (1) является эпиморфизмом . [2]
Доказательство -
Позволять быть таким, чтобы , нужно показать, что . Поскольку эквалайзер существуют, факторизуется как с участием моник. Но потом это факторизация с участием мономорфизм. Следовательно, по универсальному свойству изображения существует единственная стрелка такой, что и с тех пор моник . Кроме того, есть и по свойству мономорфизма можно получить .
Это значит, что и таким образом, что уравнивает откуда .
В категории со всеми конечными пределами и копределами , то изображение определяются как эквалайзер так называемой пары коядра . [3]
Примечания:
- Конечная биполнота категории обеспечивает существование выталкиваний и эквалайзеров.
- можно назвать обычным изображением какявляется регулярным мономорфизмом , т. е. уравнителем пары морфизмов. (Напомним также, что эквалайзер автоматически является мономорфизмом).
- В абелевой категории свойство пары коядров можно записать и условие эквалайзера . Более того, все мономорфизмы регулярны.
Теорема - Если всегда факторизуется через регулярные мономорфизмы, тогда два определения совпадают.
Доказательство -
Из первого определения следует второе: предположим, что (1) выполняется с регулярный мономорфизм.
- Выравнивание: нужно показать, что. Поскольку коядровая пара и по предыдущему предложению, поскольку есть все эквалайзеры, стрелка в факторизации является эпиморфизмом , поэтому.
- Универсальность: в категории со всеми копределами (или хотя бы со всеми выталкивающими) сам допускает коядровую пару
- Более того, как регулярный мономорфизм является уравнителем пары морфизмов но мы утверждаем здесь, что это также уравнитель .
- Действительно, по построению таким образом, диаграмма "пары коядров" для дает уникальный морфизм такой, что . Теперь карта что уравнивает также удовлетворяет , следовательно, по диаграмме эквалайзера для , существует уникальная карта такой, что .
- Наконец, используйте диаграмму пары коядров (из ) с участием : существует уникальный такой, что . Следовательно, любая карта что уравнивает также уравнивает и, таким образом, однозначно факторизуется как . Это точно означает, что эквалайзер .
Второе определение подразумевает первое:
- Факторизация: взятие на схеме эквалайзера ( соответствует ), получаем факторизацию .
- Универсальность: пусть быть факторизацией с регулярный мономорфизм, т.е. уравнитель некоторой пары .
- потом так что по диаграмме "пары коядров" ( ), с участием существует единственный такой, что .
- Теперь из ( m из эквалайзера диаграммы ( i 1 , i 2 )), получаем , следовательно, в силу универсальности в (уравнитель ( d 1 , d 2 ) диаграммы с заменой f на m ) существует единственное такой, что .
В категории множеств изображение морфизмавключение из обычного изображения к . Во многих конкретных категориях, таких как группы , абелевы группы и (левые или правые) модули , образ морфизма - это образ соответствующего морфизма в категории множеств.
В любой нормальной категории с нулевым объектом и ядрами и коядрами для каждого морфизма образ морфизма можно выразить следующим образом:
- im f = ker coker f
В абелевой категории (которая, в частности, является бинормальной), если f - мономорфизм, то f = ker coker f , и поэтому f = im f .