В категории теории и ее применение в математику , нормальный мономорфизм или конормальный эпиморфизм является особенно хорошо себя типом морфизма . Нормальная категория представляет собой категорию , в которой каждый -мономорфизм нормально. Категория конормальной является один , в котором каждый эпиморфизм является конормальным.
Определение [ править ]
Мономорфизм является нормальным, если он является ядром некоторого морфизма, и эпиморфизм является конормальным, если он является коядром некоторого морфизма.
Категория C является бинормальной, если она одновременно нормальная и конормальная. Но обратите внимание, что некоторые авторы будут использовать слово «нормальный» только для обозначения того, что C бинормален. [ необходима цитата ]
Примеры [ править ]
В категории групп , мономорфно е из Н в G нормальна тогда и только тогда , когда его образ является нормальной подгруппой в G . В частности, если Н является подгруппой из G , то отображение включения I из Н в G является мономорфизмом, и будет нормально тогда и только тогда , когда Н является нормальной подгруппой группы G . Фактически отсюда и происходит термин «нормальный» для мономорфизмов. [ необходима цитата ]
С другой стороны, каждый эпиморфизм в категории групп конормален (поскольку он является коядром своего собственного ядра), поэтому эта категория конормальна.
В абелевой категории каждый мономорфизм является ядром своего коядра, а каждый эпиморфизм является коядром своего ядра. Таким образом, абелевы категории всегда бинормальны. Категория абелевых групп является фундаментальным примером абелевой категории, и, соответственно, каждая подгруппа абелевой группы является нормальной подгруппой.
Ссылки [ править ]
- Раздел I.14. Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. 17 . Академическая пресса. ISBN 978-0-124-99250-4. Руководство по ремонту 0202787 .
