В теории множеств , то объединение (обозначается ∪) из набора множеств является множество всех элементов в коллекции. [1] Это одна из основных операций, с помощью которой наборы могут быть объединены и связаны друг с другом. Анулевое объединение относится к объединениюнаборов zero ( ) и по определению равно пустому набору .
Для объяснения символов, используемых в этой статье, обратитесь к таблице математических символов .
Объединение двух наборов [ править ]
Объединение двух множеств A и B представляет собой совокупность элементов , которые находятся в A , в B , или в обоих A и B . [2] В символах,
- . [3]
Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных множества):
- A = { x - четное целое число больше 1}
- B = { x - нечетное целое число больше 1}
В качестве другого примера, число 9 не содержится в объединении набора простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и набора четных чисел {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, потому что 9 не простое и не четное число.
Наборы не могут иметь повторяющихся элементов [3] [4], поэтому объединение наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Наличие нескольких одинаковых элементов не влияет на мощность набора или его содержимое.
Алгебраические свойства [ править ]
Бинарное объединение - это ассоциативная операция; то есть для любых множеств A , B и C ,
Таким образом , круглые скобки могут быть опущены без двусмысленности: либо из вышеперечисленных может быть записана в виде ∪ B ∪ C . Кроме того, объединение коммутативно , поэтому наборы можно записывать в любом порядке. [5] пустое множество является единичным элементом для операции объединения. То есть, ∪ ∅ = , для любого множества A. Кроме того , операция объединения идемпотентна: ∪ = . Все эти свойства вытекают из аналогичных фактов о логической дизъюнкции .
Пересечение распределяет по союзу
и союз распределяет по пересечению
Набор мощности множества U , вместе с операциями , данных объединения, пересечения и комплементации , является Булева алгебра . В этой булевой алгебре объединение может быть выражено в терминах пересечения и дополнения формулой
где верхний индекс обозначает дополнение в универсальном множестве U .
Конечные союзы [ править ]
Можно взять объединение нескольких наборов одновременно. Например, объединение трех множеств A , B и C содержит все элементы A , все элементы B и все элементы C , и ничего больше. Таким образом, х является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда , когда х является , по меньшей мере , один из A , B , и C .
Конечное объединение является объединением конечного числа множеств; фраза не означает, что объединенное множество является конечным множеством . [6] [7]
Произвольные союзы [ править ]
Наиболее общее понятие - это объединение произвольного набора множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если М представляет собой набор или класс , элементы которого является множеством, то х является элементом объединения M тогда и только тогда , когда существует по меньшей мере , один элемент , из М такое , что х является элементом A . [8] В условных обозначениях:
Эта идея включает предыдущие разделы - например, A ∪ B ∪ C - это объединение набора { A , B , C }. Кроме того, если M - пустой набор, то объединение M - это пустое множество.
Обозначения [ править ]
Обозначения для общей концепции могут значительно различаться. Для конечного объединения множеств часто пишут или . Различные общие обозначения для любых союзов включают , и . [9] Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции , где I - индексный набор и набор для каждого . В случае, когда индексное множество I является множеством натуральных чисел , используется обозначение , аналогичное обозначению бесконечных сумм в ряду. [8]
Когда символ «∪» помещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается в большем размере.
Кодировка обозначений [ править ]
В Юникоде объединение представлено символом U + 222A ∪ UNION . В TeX , визуализируется из \ чашки.
См. Также [ править ]
- Алгебра множеств
- Чередование (теория формального языка) , объединение множеств строк
- Аксиома союза
- Несвязный союз
- Пересечение (теория множеств)
- Итерированная бинарная операция
- Список установленных идентичностей и отношений
- Наивная теория множеств
- Симметричная разница
Заметки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Союз» . Математический мир Вольфрама. Архивировано 07 февраля 2009 года . Проверено 14 июля 2009 .
- ^ a b «Операции над множеством | Объединение | Пересечение | Дополнение | Разница | Взаимоисключающие | Разделы | Закон Де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение» . www.probabilitycourse.com . Проверено 5 сентября 2020 .
- ^ a b Верещагин Николай Константинович; Шен, Александр (01.01.2002). Основная теория множеств . American Mathematical Soc. ISBN 9780821827314.
- ^ деХаан, Лекс; Коппелаарс, Мульт (25 октября 2007 г.). Прикладная математика для специалистов по базам данных . Апресс. ISBN 9781430203483.
- ^ Халмош, PR (2013-11-27). Наивная теория множеств . Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450.
- ^ Дасгупта, Abhijit (2013-12-11). Теория множеств: введение в наборы реальных точек . Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545.
- ^ "Конечное соединение конечных множеств конечно - ProofWiki" . proofwiki.org . Архивировано 11 сентября 2014 года . Проверено 29 апреля 2018 года .
- ^ a b Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Андре, Ричард Стрит (2014-08-01). Переход к высшей математике . Cengage Learning. ISBN 9781285463261.
- ^ "Исчерпывающий список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 5 сентября 2020 .
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме Союза (теории множеств) . |
- "Союз множеств" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Бесконечное объединение и пересечение в ProvenMath Законы Де Моргана, формально доказанные на основе аксиом теории множеств.
Для этой статьи нужны дополнительные или более конкретные категории . Май 2021 г. ) ( |