В математике , интегро-дифференциальное уравнение является уравнением , что включает в себя как интегралы и производные от в функции .
Общие линейные уравнения первого порядка
Общее линейное (только по отношению к члену, содержащему производную) интегро-дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
Как это типично для дифференциальных уравнений , получение решения в замкнутой форме часто может быть затруднено. В относительно немногих случаях, когда решение может быть найдено, это часто происходит с помощью какого-либо интегрального преобразования, когда проблема сначала преобразуется в алгебраическую постановку. В таких ситуациях решение проблемы может быть получено путем применения обратного преобразования к решению этого алгебраического уравнения.
Пример
Рассмотрим следующую задачу второго порядка:
где
- ступенчатая функция Хевисайда . Преобразование Лапласа определяется как
После почленного преобразования Лапласа и использования правил для производных и интегралов интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в следующее алгебраическое уравнение:
Таким образом,
- .
Обращение преобразования Лапласа с использованием методов контурного интеграла дает
- .
В качестве альтернативы можно заполнить квадрат и использовать таблицу преобразований Лапласа («экспоненциально затухающую синусоидальную волну») или вызвать из памяти, чтобы продолжить:
- .
Приложения
Интегро-дифференциальные уравнения моделируют многие ситуации из науки и техники , например, при анализе цепей. Согласно второму закону Кирхгофа , полное падение напряжения в замкнутом контуре равно приложенному напряжению.. (По сути, это приложение для сохранения энергии.) Таким образом, цепь RLC подчиняется
Активность взаимодействующих тормозных и возбуждающих нейронов может быть описана системой интегро-дифференциальных уравнений, см., Например, модель Уилсона-Коуэна .
Эпидемиология
Интегро-дифференциальные уравнения нашли применение в эпидемиологии , математическом моделировании эпидемий , особенно когда модели содержат возрастную структуру [2] или описывают пространственные эпидемии. [3]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Зилл, Деннис Г. и Уоррен С. Райт. «Раздел 7.4: Операционные свойства II». Дифференциальные уравнения с краевыми задачами , 8-е изд., Brooks / Cole Cengage Learning, 2013, с. 305. ISBN 978-1-111-82706-9 . Глава 7 посвящена преобразованию Лапласа.
- ^ Брауэр, Фред; ван ден Дрише, Полина; Ву, Цзяньхун, ред. (2008). «Математическая эпидемиология» (PDF) . Конспект лекций по математике : 205–227. DOI : 10.1007 / 978-3-540-78911-6 . ISSN 0075-8434 .
- ^ Medlock, янв (16 марта 2005 г.). «Модели интегро-дифференциального уравнения для инфекционных заболеваний» (PDF) . Йельский университет .
дальнейшее чтение
- Вангипурам Лакшмикантам, М. Рама Мохана Рао, « Теория интегро-дифференциальных уравнений », CRC Press, 1995
Внешние ссылки
- Интерактивная математика
- Численное решение примера с использованием Chebfun