Список преобразований Лапласа

Ниже приводится список преобразований Лапласа для многих общих функций одной переменной. ^[1] Преобразование Лапласа - это интегральное преобразование, которое переводит функцию положительной действительной переменной $t$ (часто время) в функцию комплексной переменной $s$ (частота).

Свойства [ править ]

Преобразование Лапласа функции может быть получено с использованием формального определения преобразования Лапласа. Однако некоторые свойства преобразования Лапласа можно использовать для более простого получения преобразования Лапласа некоторых функций. ${\ displaystyle f (t)}$

Линейность [ править ]

Для функций и и для скаляра преобразование Лапласа удовлетворяет ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ $a$

{\mathcal {L}}\{af(t)+g(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}

и поэтому рассматривается как линейный оператор.

Сдвиг во времени [ править ]

Преобразование Лапласа равно . $f(t-a)u(t-a)$ $e^{-as}F(s)$

Сдвиг частоты [ править ]

$F(s-a)$ является преобразованием Лапласа . $e^{at}f(t)$

Пояснительные примечания [ править ]

Односторонний преобразование Лаплас принимает в качестве входных данных функции времени, область является неотрицательными вещественными числами, поэтому все функций во временной области в таблице ниже , являются кратным Хэвисайд ступенчатой функции , $у (т)$ .

Записи в таблице, которые включают временную задержку $τ$ , должны быть причинными (это означает, что $τ > 0$ ). Причинная система - это система, в которой импульсная характеристика $h (t)$ равна нулю за все время $t$ до $t = 0$ . В общем, область конвергенции причинных систем не такая, как у антикаузальных систем .

В таблице ниже используются следующие функции и переменные:

$δ$ представляет собой дельта-функцию Дирака .
$u (t)$ представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда .
$Γ (z)$ представляет собой гамма-функцию .
$γ$ - постоянная Эйлера – Маскерони .
$t$ - действительное число . Обычно он представляет время , хотя может представлять любое независимое измерение.
$s$ - комплексный параметр частотной области, а $Re (s)$ - его действительная часть .
$n$ - целое число .
$α, τ и ω$ - действительные числа.
$q$ - комплексное число.

Таблица [ править ]

Функция	Область времени $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$	$S$ -домен Лапласа $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$	Область конвергенции	Справка
единичный импульс	$\delta (t)$	$1$	все $с$	осмотр
задержанный импульс	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$	$Re (s)> 0$	временной сдвиг единичного импульса ^[2]
единичный шаг	$u(t)$	${1 \over s}$	$Re (s)> 0$	интегрировать единичный импульс
отложенный единичный шаг	$u(t-\tau )$	${\frac {1}{s}}e^{-\tau s}$	$Re (s)> 0$	временной сдвиг единичного шага ^[3]
пандус	$t\cdot u(t)$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$Re (s)> 0$	интегрировать единичный импульс дважды
$n-$ я степень (для целого $n$ )	$t^{n}\cdot u(t)$	${n! \over s^{n+1}}$	$Re (s)> 0$ ( $n > -1$ )	Интегрировать единичный шаг $n$ раз
$q-$ я степень (для комплексного $q$ )	$t^{q}\cdot u(t)$	${\Gamma (q+1) \over s^{q+1}}$	$Re (s)> 0$ $Re (q)> -1$	^[4]^[5]
корень $n-$ й степени	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	${1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}+1\right)$	$Re (s)> 0$	Установите $q = 1 / n$ выше.
$n-$ я степень со сдвигом частоты	$t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$Re (s)> - α$	Интегрировать единичный шаг, применить сдвиг частоты
задержанная $n-$ я степень со сдвигом частоты	$(t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$Re (s)> - α$	Интегрировать единичный шаг, применить сдвиг частоты, применить сдвиг по времени
экспоненциальный спад	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${1 \over s+\alpha }$	$Re (s)> - α$	Частотный сдвиг единичного шага
двусторонний экспоненциальный спад (только для двустороннего преобразования)	$e^{-\alpha \|t\|}$	${2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}$	$- α <Re (s) < α$	Частотный сдвиг единичного шага
экспоненциальный подход	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$Re (s)> 0$	Единичный шаг минус экспоненциальный спад
синус	$\sin(\omega t)\cdot u(t)$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$Re (s)> 0$	^[6]
косинус	$\cos(\omega t)\cdot u(t)$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$Re (s)> 0$	^[6]
гиперболический синус	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$Re (s)> \| α \|$	^[7]
гиперболический косинус	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$Re (s)> \| α \|$	^[7]
экспоненциально затухающая синусоида	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$Re (s)> - α$	^[6]
экспоненциально затухающая косинусоидальная волна	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$Re (s)> - α$	^[6]
натуральный логарифм	$\ln(t)\cdot u(t)$	${\frac {-\ln(s)-\gamma }{s}}$	$Re (s)> 0$	^[7]
Функция Бесселя первого рода порядка n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$	$Re (s)> 0$ ( $n > -1$ )	^[7]
Функция ошибки	$\operatorname {erf} (t)\cdot u(t)$	${\frac {e^{s^{2}/4}}{s}}\left(1-\operatorname {erf} \left({\frac {s}{2}}\right)\right)$	$Re (s)> 0$	^[7]

См. Также [ править ]

Список преобразований Фурье

Ссылки [ править ]

^ Дистефано, JJ; Стубберуд, АР; Уильямс, И.Дж. (1995), Системы обратной связи и управление , Очерки Шаума (2-е изд.), МакГроу-Хилл, стр. 78, ISBN 978-0-07-017052-0
^ Райли, KF; Хобсон, депутат; Бенс, SJ (2010), Математические методы для физики и инженерии (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 455, ISBN 978-0-521-86153-3
^ Lipschutz, S .; Spiegel, MR; Лю, Дж. (2009), "Глава 33: преобразования Лапласа", Математический справочник формул и таблиц , серия набросков Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, p. 192, ISBN 978-0-07-154855-7
^ Lipschutz, S .; Spiegel, MR; Лю, Дж. (2009), "Глава 33: преобразования Лапласа", Математический справочник формул и таблиц , серия набросков Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, p. 183, ISBN 978-0-07-154855-7
^ «Преобразование Лапласа» . Wolfram MathWorld . Проверено 30 апреля 2016 года .
^ a b c d Брейсуэлл, Рональд Н. (1978), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, стр. 227, ISBN 978-0-07-007013-4
^ a b c d e Уильямс, Дж. (1973), Преобразования Лапласа , Решатели проблем, Джордж Аллен и Анвин, стр. 88, ISBN 978-0-04-512021-5

[1] Дистефано, JJ; Стубберуд, АР; Уильямс, И.Дж. (1995), Системы обратной связи и управление , Очерки Шаума (2-е изд.), МакГроу-Хилл, стр. 78, ISBN 978-0-07-017052-0

[riley-2] Райли, KF; Хобсон, депутат; Бенс, SJ (2010), Математические методы для физики и инженерии (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 455, ISBN 978-0-521-86153-3

[3] Lipschutz, S .; Spiegel, MR; Лю, Дж. (2009), "Глава 33: преобразования Лапласа", Математический справочник формул и таблиц , серия набросков Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, p. 192, ISBN 978-0-07-154855-7

[4] Lipschutz, S .; Spiegel, MR; Лю, Дж. (2009), "Глава 33: преобразования Лапласа", Математический справочник формул и таблиц , серия набросков Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, p. 183, ISBN 978-0-07-154855-7

[5] «Преобразование Лапласа» . Wolfram MathWorld . Проверено 30 апреля 2016 года .

[bracewell-6] Брейсуэлл, Рональд Н. (1978), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, стр. 227, ISBN 978-0-07-007013-4

[williams-7] Уильямс, Дж. (1973), Преобразования Лапласа , Решатели проблем, Джордж Аллен и Анвин, стр. 88, ISBN 978-0-04-512021-5

[1]