Обратная задача в науке процесс вычисления из набора наблюдений на причинные факторы , которые производили их: например, вычисления изображения в рентгеновской компьютерной томографии , восстановления источника в акустике, или вычисления плотности Земли из измерений его гравитационное поле . Это называется обратной задачей, потому что она начинается со следствий, а затем вычисляет причины. Это обратная задача прямой задачи, которая начинается с причин, а затем рассчитывается последствия.
Обратные задачи - одни из самых важных математических задач в науке и математике, потому что они говорят нам о параметрах, которые мы не можем наблюдать напрямую. Они имеют широкое применение в системной идентификации , оптике , радарах , акустике , теории связи , обработке сигналов , медицинской визуализации , компьютерном зрении , [1] геофизике , океанографии , астрономии , дистанционном зондировании , обработке естественного языка , машинном обучении , [2] неразрушающем контроле. , анализ устойчивости склонов [3] и многие другие области. [ необходима цитата ]
История
Начиная со следствий, чтобы обнаружить причины, на протяжении веков физиков интересовали. Исторический пример - расчеты Адамса и Леверье, которые привели к открытию Нептуна по нарушенной траектории Урана . Однако формальное изучение обратных задач началось только в 20 веке.
Один из самых ранних примеров решения обратной задачи был открыт Германом Вейлем и опубликован в 1911 году, описывая асимптотическое поведение собственных значений оператора Лапласа – Бельтрами . [4] Сегодня известный как закон Вейля , его, пожалуй, легче всего понять как ответ на вопрос, можно ли услышать форму барабана . Вейль предположил, что собственные частоты барабана будут связаны с площадью и периметром барабана с помощью определенного уравнения, и этот результат улучшили более поздние математики.
Поле обратных задач позже было затронуто на советско - армянский физик Виктор Амбарцумян . [5] [6]
Будучи еще студентом, Амбарцумян досконально изучил теорию строения атома, формирования энергетических уровней, и уравнение Шредингера и его свойство, и , когда он овладел теорию собственных в дифференциальных уравнениях , он указал на очевидную аналогию между дискретными уровнями энергии и собственные значения дифференциальных уравнений. Затем он спросил: можно ли по семейству собственных значений найти форму уравнений, собственными значениями которых они являются? По сути, Амбарцумян рассматривал обратную задачу Штурма – Лиувилля , которая касалась определения уравнений колеблющейся струны. Эта статья была опубликована в 1929 г. в немецком физическом журнале Zeitschrift für Physik и долгое время оставалась неизвестной. Описывая эту ситуацию по прошествии многих десятилетий, Амбарцумян сказал: «Если астроном опубликует в физическом журнале статью с математическим содержанием, то, скорее всего, с ним произойдет забвение».
Тем не менее, ближе к концу Второй мировой войны эта статья, написанная 20-летним Амбарцумяном, была найдена шведскими математиками и послужила отправной точкой для целой области исследований обратных задач, став основой всей дисциплина.
Затем важные усилия были направлены на «прямое решение» обратной задачи рассеяния, особенно Гельфандом и Левитаном в Советском Союзе. [7] Они предложили аналитический конструктивный метод определения решения. Когда стали доступны компьютеры, некоторые авторы исследовали возможность применения своего подхода к аналогичным задачам, таким как обратная задача в одномерном волновом уравнении. Но быстро выяснилось, что инверсия - нестабильный процесс: шум и ошибки могут быть значительно усилены, что делает прямое решение практически невозможным. Затем, примерно в семидесятых годах, появились методы наименьших квадратов и вероятностный подход, которые оказались очень полезными для определения параметров, задействованных в различных физических системах. Этот подход имел большой успех. В настоящее время обратные задачи также исследуются в областях, не относящихся к физике, таких как химия, экономика и информатика. В конце концов, когда числовые модели станут преобладающими во многих частях общества, мы можем ожидать обратную проблему, связанную с каждой из этих числовых моделей.
Концептуальное понимание
Со времен Ньютона ученые активно пытались моделировать мир. В частности, когда доступна математическая модель (например, закон тяготения Ньютона или уравнение Кулона для электростатики), мы можем предвидеть, учитывая некоторые параметры, которые описывают физическую систему (например, распределение массы или распределение электрических зарядов), поведение системы. Этот подход известен как математическое моделирование, а вышеупомянутые физические параметры называются параметрами модели или просто моделью . Точнее, введем понятие состояния физической системы : это решение уравнения математической модели. В теории оптимального управления эти уравнения называются уравнениями состояния . Во многих ситуациях нас действительно интересует не физическое состояние, а просто его влияние на некоторые объекты (например, влияние гравитационного поля на конкретную планету). Следовательно, мы должны ввести другой оператор, называемый оператором наблюдения , который преобразует состояние физической системы (здесь предсказанное гравитационное поле) в то, что мы хотим наблюдать (здесь движения рассматриваемой планеты). Теперь мы можем представить так называемую прямую задачу , которая состоит из двух шагов:
- определение состояния системы по физическим параметрам, которые ее описывают
- применение оператора наблюдения к предполагаемому состоянию системы, чтобы предсказать поведение того, что мы хотим наблюдать.
Это приводит к введению еще одного оператора ( F означает «вперед»), который отображает параметры модели. в , данные, моделирующие предсказывает, что это результат этой двухэтапной процедуры. Операторназывается оператором пересылки или прямой картой . В этом подходе мы в основном пытаемся предсказать последствия, зная причины.
В приведенной ниже таблице показано, что Земля рассматривается как физическая система и для различных физических явлений, параметры модели, которые описывают систему, физическая величина, описывающая состояние физической системы, и наблюдения, обычно выполняемые за состоянием системы.
Основные уравнения | Параметры модели | Состояние физической системы | Общие наблюдения над системой | |
---|---|---|---|---|
Закон всемирного тяготения Ньютона | Распределение массы | Гравитационное поле | Измерения гравиметрами в разных точках поверхности | |
Уравнения Максвелла | Распределение магнитной восприимчивости | Магнитное поле | Магнитное поле, измеренное на разных участках поверхности с помощью магнитометров (случай установившегося состояния) | |
Волновое уравнение | Распределение волновых скоростей и плотностей | Волновое поле, вызванное искусственными или естественными сейсмическими источниками | Скорость частиц измеряется сейсмометрами, расположенными в разных местах на поверхности | |
Уравнение диффузии | Распределение коэффициента диффузии | Концентрация рассеиваемого материала как функция пространства и времени | Мониторинг этой концентрации измеряется в разных местах |
В подходе обратной задачи мы, грубо говоря, пытаемся узнать причины с учетом следствий.
Общая постановка обратной задачи.
Обратная задача - это «обратная» прямой задачи: мы хотим определить параметры модели, которые производят данные это наблюдение, которое мы записали (индекс obs означает «наблюдаемое»). Так что ищем параметры модели такое, что (по крайней мере, приблизительно)
где это прямая карта. Обозначим через (возможно, бесконечное) количество параметров модели, и количество записанных данных. Мы вводим некоторые полезные концепции и соответствующие обозначения, которые будут использоваться ниже:
- Пространство моделей обозначается: векторное пространство, охватываемое параметрами модели; оно имеет Габаритные размеры;
- Пространство данных обозначается: если мы организуем измеренные образцы в вектор с компоненты (если наши измерения состоят из функций, - векторное пространство бесконечной размерности);
- : ответ модели ; он состоит из данных, предсказанных моделью ;
- : изображение по прямой карте это подмножество (но не подпространство, если линейно) составлен из откликов всех моделей;
- : несоответствия данных (или остатки), связанные с моделью: их можно расположить как вектор, элемент .
Концепция остатков очень важна: в рамках поиска модели, которая соответствует данным, их анализ показывает, можно ли рассматривать рассматриваемую модель как реалистичную или нет . Систематические нереалистичные расхождения между данными и ответами модели также показывают, что прямая карта неадекватна и может дать представление об улучшенной прямой карте.
Когда оператор линейна, обратная задача линейна. В противном случае обратная задача чаще всего является нелинейной. Кроме того, модели не всегда могут быть описаны конечным числом параметров. Это тот случай, когда мы ищем распределенные параметры (например, распределение волновых скоростей): в таких случаях цель обратной задачи - получить одну или несколько функций. Такие обратные задачи являются обратными задачами бесконечной размерности.
Линейные обратные задачи
В случае линейной прямой карты и когда мы имеем дело с конечным числом параметров модели, прямую карту можно записать как линейную систему
где - матрица , характеризующая прямую карту.
Элементарный пример: гравитационное поле Земли.
Лишь несколько физических систем действительно линейны по отношению к параметрам модели. Одна из таких геофизических систем - это система гравитационного поля Земли . Гравитационное поле Земли определяется распределением плотности Земли в недрах. Поскольку литология Земли меняется довольно значительно, мы можем наблюдать мельчайшие различия в гравитационном поле Земли на поверхности Земли. Из нашего понимания гравитации (закона всемирного тяготения Ньютона) мы знаем, что математическое выражение гравитации выглядит следующим образом:
здесь является мерой местного ускорения свободного падения, - универсальная гравитационная постоянная , - местная масса (которая связана с плотностью) породы в геологической среде и - расстояние от массы до точки наблюдения.
Путем дискретизации приведенного выше выражения мы можем связать дискретные данные наблюдений на поверхности Земли с параметрами дискретной модели (плотностью) в геологической среде, о которых мы хотим узнать больше. Например, рассмотрим случай, когда у нас есть измерения, проводимые в 5 точках на поверхности Земли. В этом случае наш вектор данных, вектор-столбец размерности (5x1): его -й компонент связан с -я смотровая площадка. Мы также знаем, что у нас всего пять неизвестных масс. в недрах (нереально, но используется для демонстрации концепции) с известным местоположением: мы обозначаем расстояние между -го наблюдательного пункта и й масс. Таким образом, мы можем построить линейную систему, связывающую пять неизвестных масс с пятью точками данных, следующим образом:
Чтобы найти параметры модели, которые соответствуют нашим данным, мы могли бы инвертировать матрицу чтобы напрямую преобразовать измерения в параметры нашей модели. Например:
Система с пятью уравнениями и пятью неизвестными - это очень специфическая ситуация: наш пример был разработан, чтобы в конечном итоге учесть эту специфику. Как правило, количество данных и неизвестных различается, поэтому матрица не квадрат.
Однако даже квадратная матрица не может иметь инверсии: матрица может иметь недостаточный ранг (т.е. иметь нулевые собственные значения) и решение системыне уникален. Тогда решение обратной задачи будет неопределенным. Это первая трудность. У чрезмерно определенных систем (больше уравнений, чем неизвестных) есть другие проблемы. Также шум может испортить наши наблюдения. возможно за пределами пространства возможных ответов на параметры модели, чтобы решение системы может не существовать. Это еще одна трудность.
Инструменты для преодоления первой трудности
Первая трудность отражает серьезную проблему: наши наблюдения не содержат достаточно информации, и требуются дополнительные данные. Дополнительные данные могут поступать из физической априорной информации о значениях параметров, об их пространственном распределении или, в более общем плане, об их взаимной зависимости. Это также может происходить из других экспериментов: например, мы можем подумать об объединении данных, записанных гравиметрами и сейсмографами, для лучшей оценки плотности. Интеграция этой дополнительной информации - это в основном проблема статистики . Эта дисциплина - та, которая может ответить на вопрос: как смешивать количества разной природы? Мы будем более точными в разделе «Байесовский подход» ниже.
Что касается распределенных параметров, априорная информация об их пространственном распределении часто состоит из информации о некоторых производных этих распределенных параметров. Кроме того, обычной практикой, хотя и несколько искусственной, является поиск «простейшей» модели, которая в разумных пределах соответствует данным. Это обычно достигается путем криминализации L 1 {\ displaystyle L ^ {1}} норма градиента (или полного изменения ) параметров (этот подход также называют максимизацией энтропии). Можно также упростить модель с помощью параметризации, которая вводит степени свободы только при необходимости.
Дополнительная информация также может быть интегрирована через ограничения неравенства на параметры модели или некоторые их функции. Такие ограничения важны, чтобы избежать нереалистичных значений параметров (например, отрицательных значений). В этом случае пространство, охватываемое параметрами модели, больше не будет векторным пространством, а будет подмножеством допустимых моделей, обозначенных в дальнейшем.
Инструменты для преодоления второй трудности
Как упоминалось выше, шум может быть таким, что наши измерения не являются изображением какой-либо модели, поэтому мы не можем искать модель, которая производит данные, а скорее искать лучшую (или оптимальную) модель : то есть ту, которая лучше всего совпадает с данными. Это заставляет нас минимизировать целевую функцию , а именно функционал, который количественно определяет, насколько велики остатки или насколько далеко прогнозируемые данные от наблюдаемых. Конечно, когда у нас есть идеальные данные (то есть без шума), восстановленная модель должна идеально соответствовать наблюдаемым данным. Стандартная целевая функция,, имеет вид:
где - евклидова норма (это будет L 2 {\ Displaystyle L ^ {2}} норма, когда измерения являются функциями, а не выборками) остатков. Этот подход сводится к использованию обычного метода наименьших квадратов - подхода, широко используемого в статистике. Однако известно, что евклидова норма очень чувствительна к выбросам: чтобы избежать этой трудности, мы можем подумать об использовании других расстояний, например норма, взамен норма.
Байесовский подход
Вероятностный подход очень похож на подход наименьших квадратов: если мы знаем статистику шума, загрязняющего данные, мы можем подумать о поиске наиболее вероятной модели m, которая соответствует критерию максимального правдоподобия . Если шум является гауссовским , критерий максимального правдоподобия появляется как критерий наименьших квадратов, а евклидово скалярное произведение в пространстве данных заменяется скалярным произведением, включающим ковариацию шума. Кроме того, если будет доступна априорная информация о параметрах модели, мы могли бы подумать об использовании байесовского вывода для формулирования решения обратной задачи. Этот подход подробно описан в книге Тарантолы. [8]
Численное решение нашего простейшего примера
Здесь мы используем евклидову норму для количественной оценки несоответствия данных. Поскольку мы имеем дело с линейной обратной задачей, целевая функция является квадратичной. Для его минимизации классическим является вычисление его градиента, используя то же логическое обоснование (как если бы мы минимизировали функцию только одной переменной). На оптимальной модели, этот градиент исчезает, что можно записать как:
где Р Т обозначает транспонированную матрицу из F . Это уравнение упрощается до:
Это выражение известно как нормальное уравнение и дает нам возможное решение обратной задачи. В нашем примере матрица оказывается, как правило, полного ранга, так что приведенное выше уравнение имеет смысл и однозначно определяет параметры модели: нам не нужно интегрировать дополнительную информацию для получения уникального решения.
Математические и вычислительные аспекты
Обратные задачи обычно некорректны, в отличие от корректных задач, которые обычно встречаются при математическом моделировании. Из трех условий корректной задачи, предложенных Жаком Адамаром (существование, единственность и устойчивость решения или решений), чаще всего нарушается условие устойчивости. В смысле функционального анализа обратная задача представлена отображением между метрическими пространствами . Хотя обратные задачи часто формулируются в бесконечномерных пространствах, ограничения на конечное число измерений и практическое рассмотрение восстановления только конечного числа неизвестных параметров могут привести к тому, что проблемы будут преобразованы в дискретную форму. В этом случае обратная задача обычно будет плохо обусловлена . В этих случаях можно использовать регуляризацию для введения умеренных допущений относительно решения и предотвращения переобучения . Многие примеры регуляризованных обратных задач можно интерпретировать как частные случаи байесовского вывода . [9]
Численное решение задачи оптимизации.
Некоторые обратные задачи имеют очень простое решение, например, когда у одной есть набор неизольвентных функций , то есть набор функции, которые оценивают их на различных точек дает набор линейно независимых векторов. Это означает, что при линейной комбинации этих функций коэффициенты можно вычислить, расположив векторы как столбцы матрицы и затем инвертируя эту матрицу. Простейший пример неизольвентных функций - это многочлены, построенные с использованием теоремы о неразрешимости так, чтобы быть неизольвентными. Конкретно это делается путем инвертирования матрицы Вандермонда . Но это очень специфическая ситуация.
В общем, решение обратной задачи требует сложных алгоритмов оптимизации. Когда модель описывается большим количеством параметров (количество неизвестных, используемых в некоторых приложениях дифракционной томографии, может достигать одного миллиарда), решение линейной системы, связанной с нормальными уравнениями, может быть обременительным. Численный метод, который будет использоваться для решения задачи оптимизации, зависит, в частности, от затрат, необходимых для вычисления решения.прямой задачи. После выбора соответствующего алгоритма для решения прямой задачи (прямое умножение матрицы на вектор может быть неадекватным, когда матрицаогромен), соответствующий алгоритм для выполнения минимизации можно найти в учебниках, посвященных численным методам решения линейных систем и минимизации квадратичных функций (см., например, Ciarlet [10] или Nocedal [11] ).
Кроме того, пользователь может пожелать добавить к моделям физические ограничения: в этом случае он должен быть знаком с методами оптимизации с ограничениями , что само по себе является предметом. Во всех случаях вычисление градиента целевой функции часто является ключевым элементом решения задачи оптимизации. Как упоминалось выше, информация о пространственном распределении распределенного параметра может быть введена посредством параметризации. Можно также подумать об адаптации этой параметризации во время оптимизации. [12]
Если целевая функция основана на норме, отличной от евклидовой нормы, мы должны выйти из области квадратичной оптимизации. В результате задача оптимизации усложняется. В частности, когдаnorm используется для количественной оценки несоответствия данных, целевая функция больше не дифференцируема: ее градиент больше не имеет смысла. На помощь приходят специальные методы (см., Например, Lemaréchal [13] ) недифференцируемой оптимизации.
После того, как оптимальная модель рассчитана, мы должны ответить на вопрос: «Можем ли мы доверять этой модели?» Вопрос можно сформулировать следующим образом: насколько велик набор моделей, которые соответствуют данным «почти так же хорошо», как эта модель? В случае квадратичных целевых функций это множество содержится в гиперэллипсоиде, подмножестве (количество неизвестных), размер которых зависит от того, что мы подразумеваем под «почти так же хорошо», то есть от уровня шума. Направление наибольшей оси этого эллипсоида ( собственный вектор, связанный с наименьшим собственным значением матрицы) является направлением плохо определенных компонентов: если мы будем следовать этому направлению, мы можем внести сильное возмущение в модель без значительного изменения значения целевой функции и, таким образом, получим существенно другую квазиоптимальную модель. Мы ясно видим, что ответ на вопрос «можем ли мы доверять этой модели» определяется уровнем шума и собственными значениями гессиана целевой функции или, что эквивалентно, в случае, когда регуляризация не была интегрирована, сингулярными значениями матрицы. Конечно, использование регуляризации (или других видов априорной информации) уменьшает размер набора почти оптимальных решений и, в свою очередь, увеличивает уверенность, которую мы можем придать вычисленному решению.
Устойчивость, регуляризация и дискретизация модели в бесконечной размерности
Мы сосредоточены здесь на восстановлении распределенного параметра. При поиске распределенных параметров мы должны дискретизировать эти неизвестные функции. Поступая так, мы уменьшаем размер проблемы до чего-то конечного. Но теперь возникает вопрос: есть ли какая-либо связь между решением, которое мы вычисляем, и решением исходной проблемы? Тогда еще вопрос: что мы подразумеваем под решением исходной задачи? Поскольку конечное количество данных не позволяет определить бесконечное количество неизвестных, исходный функционал несоответствия данных должен быть регуляризован, чтобы гарантировать уникальность решения. Во многих случаях сокращение неизвестных до конечномерного пространства обеспечит адекватную регуляризацию: вычисленное решение будет выглядеть как дискретная версия решения, которое мы искали. Например, наивная дискретизация часто срабатывает для решения проблемы деконволюции : она будет работать до тех пор, пока мы не позволим пропущенным частотам появляться в численном решении. Но часто регуляризация должна быть явно интегрирована в целевую функцию.
Чтобы понять, что может произойти, мы должны иметь в виду, что решение такой линейной обратной задачи сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода:
где это ядро, а также являются векторами , а также это домен в . Это справедливо для 2D-приложения. Для 3D-приложения мы рассматриваем. Обратите внимание, что здесь параметры модели состоят из функции, и что реакция модели также состоит из функции, обозначенной . Это уравнение является расширением до бесконечной размерности матричного уравнения дается в случае дискретных задач.
Для достаточно гладкой оператор, определенный выше, компактен на разумных банаховых пространствах, таких как L 2 {\ Displaystyle L ^ {2}} . Теория Ф. Рисса утверждает, что множество сингулярных значений такого оператора содержит ноль (отсюда существование нулевого пространства), является конечным или не более чем счетным, и в последнем случае они составляют последовательность, которая стремится к нулю. . В случае симметричного ядра у нас есть бесконечное количество собственных значений, а соответствующие собственные векторы составляют гильбертов базис. Таким образом, любое решение этого уравнения определяется с точностью до аддитивной функции в нулевом пространстве, и в случае бесконечности сингулярных значений решение (которое включает обратную величину произвольных малых собственных значений) является нестабильным: два ингредиента, которые делают решение этого интегрального уравнения - типичная некорректная задача! Однако мы можем определить решение через псевдообратное прямое отображение (снова с точностью до произвольной аддитивной функции). Когда прямое отображение компактно, классическая регуляризация Тихонова будет работать, если мы будем использовать ее для интегрирования априорной информации, утверждающей, чтоНорма решения должна быть как можно меньше: это сделает обратную задачу корректной. Тем не менее, как и в случае с конечной размерностью, мы должны подвергнуть сомнению нашу уверенность в вычисленном решении. Опять же, в основном информация заключается в собственных значениях оператора Гессе. Если для вычисления решения исследовать подпространства, содержащие собственные векторы, связанные с небольшими собственными значениями, то этому решению вряд ли можно будет доверять: некоторые из его компонентов будут плохо определены. Наименьшее собственное значение равно весу, введенному в регуляризации Тихонова.
Неправильные ядра могут дать прямое отображение, которое не будет компактным и даже неограниченным, если мы наивно снабдим пространство моделейнорма. В таких случаях гессиан не является ограниченным оператором, и понятие собственного значения теряет смысл. Требуется математический анализ, чтобы сделать его ограниченным оператором и разработать хорошо поставленную задачу: иллюстрацию можно найти в [14]. Опять же, мы должны подвергнуть сомнению уверенность, которую мы можем придать вычисленному решению, и должны обобщить понятие собственного значения, чтобы получить ответ. [15]
Таким образом, анализ спектра оператора Гессе является ключевым элементом для определения надежности вычисленного решения. Однако такой анализ обычно является очень сложной задачей. Это побудило нескольких авторов исследовать альтернативные подходы в случае, когда нас интересуют не все компоненты неизвестной функции, а только под-неизвестные, которые являются образами неизвестной функции линейным оператором. Эти подходы упоминаются как «метод Бэкуса и Гилберта [16] », подход «Стражей Льва » [17] и метод SOLA: [18] эти подходы оказались тесно связаны друг с другом, как объясняется в Chavent [ 19]. Наконец, концепция ограниченного разрешения , часто применяемая физиками, является не чем иным, как особым взглядом на то, что некоторые плохо определенные компоненты могут испортить решение. Но, вообще говоря, эти плохо определенные компоненты модели не обязательно связаны с высокими частотами.
Некоторые классические линейные обратные задачи восстановления распределенных параметров
Упомянутые ниже проблемы соответствуют различным версиям интеграла Фредгольма: каждая из них связана с определенным ядром .
Деконволюция
Цель деконволюции - восстановить исходное изображение или сигнал. который выглядит зашумленным и размытым на данных . [20] С математической точки зрения ядро здесь зависит только от разницы между а также .
Томографические методы
В этих методах мы пытаемся восстановить распределенный параметр, причем наблюдение состоит в измерении интегралов этого параметра, проводимом вдоль семейства линий. Обозначим через линия в этом семействе, связанная с точкой измерения . Наблюдение на таким образом можно записать как:
где длина дуги вдоль а также известная весовая функция. Сравнивая это уравнение с интегралом Фредгольма выше, мы замечаем, что ядроэто своего рода дельта-функция, которая достигает пика на линии. С таким ядром прямое отображение не компактно.
Компьютерная томография
В рентгеновской компьютерной томографии линии, на которых интегрируется параметр, являются прямыми линиями: томографическая реконструкция распределения параметров основана на инверсии преобразования Радона . Хотя с теоретической точки зрения многие линейные обратные задачи хорошо изучены, проблемы, связанные с преобразованием Радона и его обобщениями, по-прежнему представляют собой множество теоретических проблем, а вопросы достаточности данных все еще не решены. К таким проблемам относятся неполные данные для трехмерного рентгеновского преобразования и проблемы, связанные с обобщением рентгеновского преобразования на тензорные поля. Изученные решения включают в себя метод алгебраической реконструкции , обратную проекцию с фильтрацией и, по мере увеличения вычислительной мощности, итерационные методы реконструкции, такие как итеративная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия . [21]
Дифракционная томография
Дифракционная томография - это классическая линейная обратная задача в разведочной сейсмологии: амплитуда, зарегистрированная за один раз для данной пары источник-приемник, представляет собой сумму вкладов, возникающих от таких точек, что сумма расстояний, измеренных во времени пробега, от источника и приемника, соответственно, равно соответствующему времени записи. В 3D параметр интегрируется не по линиям, а по поверхностям. Если скорость распространения постоянна, такие точки располагаются на эллипсоиде. Обратные задачи заключаются в восстановлении распределения точек дифрагирования по сейсмограммам, записанным вдоль съемки, при известном распределении скоростей. Прямое решение было первоначально предложено Бейлкиным и Ламбаре и др .: [22] эти работы были отправными точками подходов, известных как миграция с сохранением амплитуды (см. Бейлкин [23] [24] и Блейстайн [25] ). Если методы геометрической оптики (т.е. лучи ) будут использоваться для решения волнового уравнения, эти методы окажутся тесно связанными с так называемыми методами миграции наименьших квадратов [26], полученными на основе подхода наименьших квадратов (см. Lailly, [ 27] Тарантола [28] ).
Доплеровская томография (астрофизика)
Если мы рассмотрим вращающийся звездный объект, спектральные линии, которые мы можем наблюдать на спектральном профиле, будут смещены из-за эффекта Доплера. Доплеровская томография направлена на преобразование информации, содержащейся в спектральном мониторинге объекта, в двумерное изображение излучения (как функции лучевой скорости и фазы в периодическом вращательном движении) звездной атмосферы. Как объяснил Марш [29], эта линейная обратная задача похожа на томографию: мы должны восстановить распределенный параметр, который был интегрирован по линиям, чтобы произвести его эффекты в записях.
Обратная теплопроводность
Ранние публикации по обратной теплопроводности возникли в результате определения поверхностного теплового потока во время входа в атмосферу с помощью датчиков температуры, находящихся под землей. [30] [31] Другие области применения, где требуется поверхностный тепловой поток, но поверхностные датчики нецелесообразны, включают: внутри поршневых двигателей, внутри ракетных двигателей; и испытания компонентов ядерного реактора. [32] Для решения проблемы некорректности и чувствительности к ошибке измерения, вызванной затуханием и запаздыванием температурного сигнала, были разработаны различные численные методы. [33] [34] [35]
Нелинейные обратные задачи
Нелинейные обратные задачи представляют собой более сложное семейство обратных задач. Вот прямая карта- нелинейный оператор. Моделирование физических явлений часто основывается на решении уравнения в частных производных (см. Таблицу выше, за исключением закона гравитации): хотя эти уравнения в частных производных часто являются линейными, физические параметры, которые появляются в этих уравнениях, зависят нелинейным образом от состояние системы и, следовательно, наши наблюдения за ней.
Некоторые классические нелинейные обратные задачи
Обратные задачи рассеяния
В то время как линейные обратные задачи были полностью решены с теоретической точки зрения в конце девятнадцатого века [ необходима цитата ] , только один класс нелинейных обратных задач был таковым до 1970 года: обратные спектральные и (одномерное пространственное измерение) обратные задачи рассеяния. , по основополагающим трудам русской математической школы ( Крейн , Гельфанд , Левитан, Марченко ). Большой обзор результатов был дан Чаданом и Сабатье в их книге «Обратные задачи квантовой теории рассеяния» (два издания на английском языке, одно на русском).
В задачах такого типа данные - это свойства спектра линейного оператора, описывающие рассеяние. Спектр состоит из собственных значений и собственных функций , образующих вместе «дискретный спектр», и обобщений, называемых непрерывным спектром. Очень примечательный физический момент состоит в том, что эксперименты по рассеянию дают информацию только о непрерывном спектре и что знание его полного спектра необходимо и достаточно для восстановления оператора рассеяния. Следовательно, у нас есть невидимые параметры, гораздо более интересные, чем нулевое пространство, которое обладает аналогичным свойством в линейных обратных задачах. Кроме того, существуют физические движения, в которых спектр такого оператора сохраняется как следствие такого движения. Это явление регулируется специальными нелинейными уравнениями эволюции в частных производных, например уравнением Кортевега – де Фриза . Если спектр оператора сводится к одному собственному значению, его соответствующее движение будет движением единственной выпуклости, которая распространяется с постоянной скоростью и без деформации, уединенной волны, называемой « солитоном ».
Идеальный сигнал и его обобщения для уравнения Кортевега – де Фриза или других интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных представляют большой интерес и имеют множество возможных приложений. Эта область изучается как раздел математической физики с 1970-х годов. Нелинейные обратные задачи в настоящее время также изучаются во многих областях прикладной науки (акустика, механика, квантовая механика, электромагнитное рассеяние - в частности, радиолокационные зондирования, сейсмические зондирования и почти все методы построения изображений).
Последний пример связан с гипотезой Римана был дан В и подрессоренным, идея заключается в том , что в полуклассической старой квантовой теории инверсия потенциала внутри гамильтониана пропорциональна половинной производной счетной функции собственных значений (энергий) п ( х ).
Согласование проницаемости в нефтяных и газовых коллекторах
Цель состоит в том, чтобы восстановить коэффициент диффузии в параболическом уравнении с частными производными, которое моделирует однофазные потоки жидкости в пористой среде. Эта проблема была объектом многих исследований, начиная с новаторской работы, выполненной в начале семидесятых годов. [36] Что касается двухфазных потоков, важной проблемой является оценка относительной проницаемости и капиллярного давления. [37]
Обратные задачи в волновых уравнениях
Цель состоит в том, чтобы восстановить волновые скорости (продольные и поперечные волны) и распределение плотности по сейсмограммам . Такие обратные задачи представляют первостепенный интерес в сейсмологии. В основном мы можем рассматривать две математические модели:
- Уравнение акустической волны (в котором S-волны игнорируются, когда размеры пространства равны 2 или 3)
- Уравнение эластодинамики, в котором скорости продольных и поперечных волн могут быть получены из параметров Ламе и плотности.
Эти основные гиперболические уравнения можно улучшить, добавив затухание , анизотропию и т. Д.
Решение обратной задачи в одномерном волновом уравнении было предметом многих исследований. Это одна из очень немногих нелинейных обратных задач, для которых мы можем доказать единственность решения. [7] Другой проблемой был анализ устойчивости решения. [38] Были разработаны практические приложения с использованием метода наименьших квадратов. [38] [39] Попытки расширения на двумерные или трехмерные задачи и на уравнения эластодинамики были предприняты с 80-х годов, но это оказалось очень трудным! Эта проблема, которую часто называют полной инверсией формы сигнала (FWI), еще не решена полностью: одна из основных трудностей - хаотическое поведение функции несоответствия данных. [40] Некоторые авторы исследовали возможность переформулировать обратную задачу, чтобы сделать целевую функцию менее хаотичной, чем функция несоответствия данных. [41] [42]
Томография во времени
Понимая, насколько сложна обратная задача в волновом уравнении, сейсмологи исследовали упрощенный подход с использованием геометрической оптики. В частности, они были нацелены на инверсию распределения скоростей распространения, зная времена прихода волновых фронтов, наблюдаемых на сейсмограммах. Эти волновые фронты могут быть связаны с прямыми приходами или с отражениями, связанными с отражателями, геометрия которых должна быть определена вместе с распределением скорости.
Распределение времени прибытия (точка в физическом пространстве) волнового фронта, исходящего от точечного источника, удовлетворяет уравнению Эйконала :
где обозначает медленное (обратное скорости) распределение. Наличиеделает это уравнение нелинейным. Классически она решается путем выстрела лучей (траектории, время прихода которых стационарно) из точечного источника.
Эта проблема похожа на томографию: измеренные времена прихода являются интегралом вдоль пути луча от медленности. Но эта проблема, подобная томографии, является нелинейной, главным образом потому, что неизвестная геометрия траектории луча зависит от распределения скорости (или медленности). Несмотря на свой нелинейный характер, томография во времени пробега оказалась очень эффективной для определения скорости распространения в Земле или в недрах, причем последний аспект является ключевым элементом для построения сейсмических изображений, в частности, с использованием методов, упомянутых в разделе «Дифракция». томография".
Математические аспекты: вопросы Адамара
Вопросы касаются корректности: имеет ли задача наименьших квадратов единственное решение, которое постоянно зависит от данных (проблема стабильности)? Это первый вопрос, но он также сложен из-за нелинейности. Чтобы увидеть, откуда возникают трудности, Чавент [43] предложил концептуально разделить минимизацию функции несоответствия данных на два последовательных шага ( - подмножество допустимых моделей):
- шаг проекции: заданный найти проекцию на (ближайшая точка на в зависимости от расстояния, участвующего в определении целевой функции)
- учитывая эту проекцию, найдите один прообраз, который является моделью, изображение которой оператором это проекция.
Трудности могут возникать - и обычно возникают - на обоих этапах:
- оператор вряд ли будет однозначно, поэтому может быть более одного прообраза,
- даже когда взаимно однозначно, обратное к нему не может быть непрерывным над ,
- проекция на может не существовать, если этот набор не закрыт,
- проекция на может быть неединственным и не непрерывным, так как он может быть невыпуклым из-за нелинейности .
Мы отсылаем к Чавенту [43] за математическим анализом этих точек.
Вычислительные аспекты
Невыпуклая функция несоответствия данных
Прямая карта является нелинейной, поэтому функция несоответствия данных, вероятно, будет невыпуклой, что сделает методы локальной минимизации неэффективными. Для преодоления этой трудности было исследовано несколько подходов:
- использование методов глобальной оптимизации, таких как выборка апостериорной функции плотности и алгоритм Метрополиса в вероятностной структуре обратной задачи [44], генетические алгоритмы (отдельно или в сочетании с алгоритмом Метрополиса: см. [45] для приложения к определению проницаемостей, которые соответствие существующим данным о проницаемости), нейронные сети, методы регуляризации, включая многомасштабный анализ;
- переформулировку целевой функции методом наименьших квадратов, чтобы сделать ее более гладкой ( обратную задачу в волновых уравнениях см. в [41] [42] ).
Вычисление градиента целевой функции
Обратные задачи, особенно в бесконечном измерении, могут иметь большой размер, что требует значительного вычислительного времени. Когда прямое отображение является нелинейным, вычислительные трудности возрастают, и минимизация целевой функции может быть затруднена. В отличие от линейной ситуации, явное использование матрицы Гессе для решения нормальных уравнений здесь не имеет смысла: матрица Гессе меняется в зависимости от модели. Гораздо более эффективным является оценка градиента целевой функции для некоторых моделей. Значительные вычислительные усилия могут быть сэкономлены, если мы можем избежать очень тяжелого вычисления якобиана (часто называемого « производными Фреше »): метод сопряженных состояний, предложенный Chavent и Lions, [46] направлен на то, чтобы избежать этого очень тяжелого вычисления. Сейчас он очень широко используется. [47]
Приложения
Теория обратной задачи широко используется в прогнозировании погоды, океанографии, гидрологии и нефтяной инженерии. [48] [49]
Обратные задачи также встречаются в области теплопередачи, где поверхностный тепловой поток [50] оценивается исходя из температурных данных, измеренных внутри твердого тела. Линейная обратная задача также является основой спектральной оценки и оценки направления прихода (DOA) при обработке сигналов .
Смотрите также
- Атмосферное зондирование
- Метод Бэкуса – Гилберта
- Компьютерная томография
- Алгебраическая реконструкция
- Отфильтрованная обратная проекция
- Итерационная реконструкция
- Ассимиляция данных
- Инженерная оптимизация
- Модель серая коробка
- Математическая геофизика
- Оптимальная оценка
- Сейсмическая инверсия
- Тихоновская регуляризация
- Сжатое зондирование
Академические журналы
В целом обратные задачи освещаются в четырех основных научных журналах:
- Обратные задачи
- Журнал обратных и некорректных задач [51]
- Обратные задачи в науке и технике [52]
- Обратные задачи и визуализация [53]
Во многих журналах по медицинской визуализации, геофизике, неразрушающему контролю и т. Д. Преобладают обратные задачи в этих областях.
Рекомендации
- ^ Pizlo, Зигмунт. « Восприятие рассматривается как обратная проблема ». Исследование зрения 41.24 (2001): 3145-3161.
- ^ Вито, Эрнесто Де и др. « Учиться на примерах как обратная задача ». Журнал исследований в области машинного обучения 6. мая (2005): 883-904.
- ^ Карденас, IC (2019). «Об использовании байесовских сетей в качестве метода мета-моделирования для анализа неопределенностей в анализе устойчивости откосов». Georisk: оценка и управление рисками для инженерных систем и геологических опасностей . 13 (1): 53–65. DOI : 10.1080 / 17499518.2018.1498524 . S2CID 216590427 .
- ^ Вейль, Герман (1911). "Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte" . Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 110–117. Архивировано из оригинала на 2013-08-01 . Проверено 14 мая 2018 .
- ^ »Эпилог - Статья Амбарцумяна Виктор Амбарцумян
- ^ Амбарцумян, Рубен В. (1998). «Жизнь в астрофизике. Избранные труды Виктора Анатольевича Амбарцумяна». Астрофизика . 41 (4): 328–330. DOI : 10.1007 / BF02894658 . S2CID 118952753 .
- ^ а б Берридж, Роберт (1980). «Интегральные уравнения Гельфанда-Левитана, Марченко и Гопинатха-Сонди обратной теории рассеяния, рассматриваемые в контексте обратных задач импульсного отклика». Волновое движение . 2 (4): 305–323. DOI : 10.1016 / 0165-2125 (80) 90011-6 .
- ^ Тарантола, Альберт (1987). Теория обратной задачи (1-е изд.). Эльзевир. ISBN 9780444599674.
- ^ Тарантола, Альберт (2005). "Главное дело" (PDF) . Теория обратной задачи и методы оценки параметров модели . СИАМ. стр. i – xii. DOI : 10,1137 / 1.9780898717921.fm . ISBN 978-0-89871-572-9.
- ^ Ciarlet, Филипп (1994). Введение в математический анализ и оптимизацию . Париж: Массон. ISBN 9782225688935.
- ^ Нокедаль, Хорхе (2006). Численная оптимизация . Springer.
- ^ Бен Амер, Хенд; Чавент, Гай; Жаффре, Жером (2002). «Индикаторы уточнения и увеличения для адаптивной параметризации: приложение к оценке гидравлических проницаемостей» (PDF) . Обратные задачи . 18 (3): 775–794. Bibcode : 2002InvPr..18..775B . DOI : 10.1088 / 0266-5611 / 18/3/317 .
- ^ Лемарешаль, Клод (1989). Оптимизация, Справочники по исследованию операций и науке управления . Эльзевир. С. 529–572.
- ^ Дельпра-Жанно, Флоренция; Лайи, Патрик (1993). «Некорректные и корректные постановки задачи томографии с временным пробегом отражения». Журнал геофизических исследований . 98 (B4): 6589–6605. Bibcode : 1993JGR .... 98.6589D . DOI : 10.1029 / 92JB02441 .
- ^ Дельпра-Жанно, Флоренция; Лайи, Патрик (1992). «Какую информацию о модели Земли дают времена пробега отражений». Журнал геофизических исследований . 98 (B13): 827–844. Bibcode : 1992JGR .... 9719827D . DOI : 10.1029 / 92JB01739 .
- ^ Бэкус, Джордж; Гилберт, Фриман (1968). «Разрешающая способность совокупных данных о Земле» . Геофизический журнал Королевского астрономического общества . 16 (10): 169–205. Bibcode : 1968GeoJ ... 16..169B . DOI : 10.1111 / j.1365-246X.1968.tb00216.x .
- ^ Львов, Жак Луи (1988). "Sur les sentinelles des systèmes distribués". CR Acad. Sci. Париж . I Math: 819–823.
- ^ Пиджперс, Франк; Томпсон, Майкл (1993). «Метод SOLA для гелиосейсмической инверсии». Астрономия и астрофизика . 281 (12): 231–240. Bibcode : 1994A & A ... 281..231P .
- ^ Чавент, Гай (1998). Методы наименьших квадратов, часовые и субстрактивные оптимально локализованные средние в уравнениях вспомогательных частей и приложений . Париж: Готье Виллар. С. 345–356.
- ^ Kaipio J., & Somersalo, Е. (2010). Статистические и вычислительные обратные задачи. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер.
- ^ Абейда, Хабти; Чжан, Цилинь; Ли, Цзянь; Мерабтин, Наджим (2013). «Итерационные подходы на основе разреженной асимптотики с минимальной дисперсией для обработки массивов» (PDF) . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 61 (4): 933–944. arXiv : 1802.03070 . Bibcode : 2013ITSP ... 61..933A . DOI : 10.1109 / tsp.2012.2231676 . ISSN 1053-587X . S2CID 16276001 .
- ^ Ламбаре, Жиль; Вирье, Жан; Мадариага, Рауль; Джин, Сиде (1992). «Итеративное асимптотическое обращение в акустическом приближении» . Геофизика . 57 (9): 1138–1154. Bibcode : 1992Geop ... 57.1138L . DOI : 10.1190 / 1.1443328 . S2CID 55836067 .
- ^ Бейлкин, Григорий (1984). «Проблема обращения и приложения обобщенного преобразования Радона» (PDF) . Сообщения по чистой и прикладной математике . XXXVII (5): 579–599. DOI : 10.1002 / cpa.3160370503 .
- ^ Бейлкин, Григорий (1985). «Отображение разрывов в обратной задаче рассеяния путем обращения причинного обобщенного преобразования Радона». J. Math. Phys . 26 (1): 99–108. Bibcode : 1985JMP .... 26 ... 99B . DOI : 10.1063 / 1.526755 .
- ^ Блейстейн, Норман (1987). «К изображению отражателей на земле» . Геофизика . 52 (7): 931–942. Bibcode : 1987Geop ... 52..931B . DOI : 10.1190 / 1.1442363 . S2CID 5095133 .
- ^ Немет, Тамас; Ву, Чэнцзюнь; Шустер, Джерард (1999). «Миграция методом наименьших квадратов неполных данных отражения» (PDF) . Геофизика . 64 (1): 208–221. Bibcode : 1999Geop ... 64..208N . DOI : 10.1190 / 1.1444517 .
- ^ Лайи, Патрик (1983). Сейсмическая обратная задача как последовательность перед суммированием миграций . Филадельфия: СИАМ. С. 206–220. ISBN 0-89871-190-8.
- ^ Тарантола, Альберт (1984). «Инверсия данных сейсмических отражений в акустическом приближении» . Геофизика . 49 (8): 1259–1266. Bibcode : 1984Geop ... 49.1259T . DOI : 10.1190 / 1.1441754 . S2CID 7596552 .
- ^ Марш, Том (2005). «Доплеровская томография». Астрофизика и космическая наука . 296 (1–4): 403–415. arXiv : astro-ph / 0011020 . Bibcode : 2005Ap и SS.296..403M . DOI : 10.1007 / s10509-005-4859-3 . S2CID 15334110 .
- ^ Шумаков Н.В. (1957). «Метод экспериментального исследования процесса нагрева твердого тела». Советская физика - техническая физика (Перевод Американского института физики) . 2 : 771.
- ^ Штольц, Г., младший (1960). «Численное решение обратной задачи теплопроводности простых форм». J. Теплопередача . 82 : 20–26. DOI : 10.1115 / 1.3679871 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Бек, СП; Blackwell, B .; Сент-Клер, CR, младший (1985). Обратная теплопроводность. Некорректно поставленные проблемы . Нью-Йорк: J. Wiley & Sons. ISBN 0471083194.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Бек, СП; Blackwell, B .; Хаджи-Шейх, Б. (1996). «Сравнение некоторых методов обратной теплопроводности с использованием экспериментальных данных». Int. J. Тепло- и массообмен . 39 (17): 3649–3657. DOI : 10.1016 / 0017-9310 (96) 00034-8 .
- ^ Озисик, Миннесота; Орланд, HRB (2021 г.). Обратный теплообмен, основы и приложения (2-е изд.). CRC Press. ISBN 9780367820671.
- ^ Справочник по обратному инжинирингу, под редакцией К.А. Вудбери . CRC Press. 2002. ISBN 9780849308611.
- ^ Чавент, Гай; Лемонье, Патрик; Дюпюи, Мишель (1975). «Историческое согласование с использованием теории оптимального управления». Журнал Общества инженеров-нефтяников . 15 (2): 74–86. DOI : 10.2118 / 4627-PA .
- ^ Чавент, Гай; Коэн, Гэри; Эспи, М. (1980). «Определение относительных проницаемостей и капиллярных давлений методом автоматической регулировки». Общество инженеров-нефтяников (январь). DOI : 10.2118 / 9237-MS .
- ^ а б Бамбергер, Ален; Чавент, Гай; Лайи, Патрик (1979). «Об устойчивости обратной задачи в одномерном волновом уравнении, приложение к интерпретации сейсмических профилей». Журнал прикладной математики и оптимизации . 5 : 1–47. DOI : 10.1007 / bf01442542 . S2CID 122428594 .
- ^ Macé, Danièle; Лайи, Патрик (1986). «Решение одномерной обратной задачи ВСП». Геофизические исследования . 34 (7): 1002–1021. Bibcode : 1986GeopP..34.1002M . DOI : 10.1111 / j.1365-2478.1986.tb00510.x . ОСТИ 6901651 .
- ^ Virieux, Жан; Оперто, Стефан (2009). «Обзор инверсии полной формы волны в разведочной геофизике» . Геофизика . 74 (6): WCC1 – WCC26. DOI : 10.1190 / 1.3238367 .
- ^ а б Клеман, Франсуа; Чавент, Гай; Гомес, Сузана (2001). «Инверсия формы сигнала времени пробега на основе миграции для двухмерных простых структур: синтетический пример». Геофизика . 66 (3): 845–860. Bibcode : 2001Geop ... 66..845C . DOI : 10.1190 / 1.1444974 .
- ^ а б Саймс, Уильям; Карразон, Джим (1991). «Инверсия скорости путем оптимизации дифференциального подобия». Геофизика . 56 (5): 654–663. Bibcode : 1991Geop ... 56..654S . DOI : 10.1190 / 1.1443082 .
- ^ а б Чавент, Гай (2010). Нелинейный метод наименьших квадратов для обратных задач . Springer. ISBN 978-90-481-2785-6.
- ^ Корен, Цви; Мосегаард, Клаус; Ланда, Евгений; Тор, Пьер; Тарантола, Альберт (1991). "Оценка методом Монте-Карло и анализ разрешающей способности скоростей сейсмического фона". Журнал геофизических исследований . 96 (B12): 20289–20299. Bibcode : 1991JGR .... 9620289K . DOI : 10.1029 / 91JB02278 .
- ^ Тахмасеби, Педжман; Джавадпур, Фарзам; Сахими, Мухаммад (август 2016 г.). «Согласование стохастической проницаемости сланцев: трехмерная характеристика и моделирование» . Международный журнал угольной геологии . 165 : 231–242. DOI : 10.1016 / j.coal.2016.08.024 .
- ^ Чавент, Гай (1971). Идентификация коэффициентов, связанных с частями . Université Paris 6: Thèse d'Etat.CS1 maint: location ( ссылка )
- ^ Плессикс, Рене (2006). «Обзор метода сопряженных состояний для вычисления градиента функционала с геофизическими приложениями» . Международный геофизический журнал . 167 (2): 495–503. Bibcode : 2006GeoJI.167..495P . DOI : 10.1111 / j.1365-246X.2006.02978.x .
- ^ Карл Вунш (13 июня 1996 г.). Обратная задача циркуляции океана . Издательство Кембриджского университета. С. 9–. ISBN 978-0-521-48090-1.
- ^ Тахмасеби, Педжман; Джавадпур, Фарзам; Сахими, Мухаммад (август 2016 г.). «Согласование стохастической проницаемости сланцев: трехмерная характеристика и моделирование». Международный журнал угольной геологии . 165 : 231–242. DOI : 10.1016 / j.coal.2016.08.024 .
- ^ Патрик Фигейредо (декабрь 2014 г.). Разработка итерационного метода решения многомерных обратных задач теплопроводности . Lehrstuhl für Wärme- und Stoffübertragung RWTH Aachen.
- ^ «Журнал обратных и некорректных задач» .
- ^ «Обратные задачи науки и техники: Том 25, № 4» .
- ^ «ИПИ» . Архивировано из оригинального 11 октября 2006 года.
Рекомендации
- Чадан, Хосров и Сабатье, Пьер Селестен (1977). Обратные задачи квантовой теории рассеяния . Springer-Verlag. ISBN 0-387-08092-9
- Астер, Ричард; Борчерс, Брайан и Тербер, Клиффорд (2018). Оценка параметров и обратные задачи , третье издание, Elsevier. ISBN 9780128134238 , ISBN 9780128134238
- Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 19.4. Обратные задачи и использование априорной информации» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
дальнейшее чтение
- CW Groetsch (1999). Обратные задачи: занятия для студентов . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-88385-716-8.
Внешние ссылки
- Международная ассоциация обратных задач
- Евразийская ассоциация обратных задач
- Финское общество обратных задач
- Сеть обратных задач
- Веб-сайт Альберта Тарантолы включает бесплатную версию его книги по теории обратных задач в формате PDF и несколько онлайн-статей по обратным задачам.
- Страница обратных задач в Университете Алабамы
- Проект обратных задач и геостатистики , Институт Нильса Бора, Копенгагенский университет
- Страница ресурсов по геофизической обратной теории Энди Гансе
- Финский центр передового опыта в исследовании обратных задач