В математике , а точнее в абстрактной алгебре , *-алгебра (или инволютивная алгебра ) — это математическая структура, состоящая из двух инволютивных колец R и A , где R коммутативно, а A имеет структуру ассоциативной алгебры над R. Инволютивные алгебры обобщают идею системы счисления, снабженной сопряжением, например, комплексные числа и комплексное сопряжение , матрицы над комплексными числами и сопряженное транспонирование , илинейные операторы над гильбертовым пространством и эрмитовы сопряжения . Однако может случиться так, что алгебра не допускает инволюции . [а]
В математике *-кольцо — это кольцо с отображением *: A → A , которое является антиавтоморфизмом и инволюцией .
Это также называется инволютивным кольцом , инволютивным кольцом и кольцом с инволюцией . Третья аксиома вытекает из второй и четвертой аксиом, что делает ее излишней.
Архетипическими примерами *-кольца являются поля комплексных чисел и алгебраических чисел с комплексным сопряжением в качестве инволюции. Над любым *-кольцом можно определить полуторалинейную форму .
Кроме того, можно определить *-версии алгебраических объектов, таких как идеал и подкольцо , с требованием * -инвариантности : x ∈ I ⇒ x * ∈ I и так далее.
*-алгеброй A называется *-кольцо [b] с инволюцией *, являющееся ассоциативной алгеброй над коммутативным *-кольцом R с инволюцией ′ , такое, что ( r x )* = r ′ x * ∀ r ∈ R , x е А . [3]