Эллиптические функции Якоби

В математике , как эллиптические функции Якоби представляют собой набор основных эллиптических функций и вспомогательных функций теты , которые имеют историческое значение. Они встречаются в описании движения маятника (см. Также маятник (математика) ), а также в конструкции электронных эллиптических фильтров . В то время как тригонометрические функции определяются со ссылкой на круг, эллиптические функции Якоби являются обобщением, которое относится к другим коническим сечениям , в частности к эллипсу. Связь с тригонометрическими функциями содержится в обозначениях, например, соответствующими обозначениямизп за грех . Эллиптические функции Якоби чаще используются в практических задачах, чем эллиптические функции Вейерштрасса, поскольку они не требуют определения и / или понимания понятий комплексного анализа. Их ввел Карл Густав Якоб Якоби  ( 1829 ).

Обзор [ править ]

Фундаментальный прямоугольник в комплексной плоскости u

Существует двенадцать эллиптических функций Якоби, обозначаемых pq (u, m), где p и q - любая из букв c, s, n и d. (Функции вида pp (u, m) тривиально устанавливаются равными единице для полноты записи.) U - аргумент, а m - параметр, оба из которых могут быть сложными.

В комплексной плоскости аргумента u двенадцать функций образуют повторяющуюся решетку простых полюсов и нулей . ^[1] В зависимости от функции один повторяющийся параллелограмм или элементарная ячейка будет иметь стороны длиной 2K или 4K по действительной оси и 2K 'или 4K' по мнимой оси, где K = K (м) и K ' = K (1-m) известны как периоды четверти, где K (.) Является эллиптическим интегралом.первого вида. Природу элементарной ячейки можно определить, проверив «вспомогательный прямоугольник» (обычно параллелограмм), который представляет собой прямоугольник, образованный началом координат (0,0) в одном углу, и (K, K ') как диагонально противоположным. угол. Как и на диаграмме, четыре угла вспомогательного прямоугольника обозначены s, c, d и n и идут против часовой стрелки от начала координат. Функция pq (u, m) будет иметь ноль в углу "p" и полюс в углу "q". Двенадцать функций соответствуют двенадцати способам расположения полюсов и нулей в углах прямоугольника.

Когда аргумент u и параметр m действительны, при 0 < m <1, K и K ' будут действительными, а вспомогательный параллелограмм фактически будет прямоугольником, а все эллиптические функции Якоби будут иметь действительные значения на действительной прямой.

Математически эллиптические функции Якоби являются двоякопериодическими мероморфными функциями на комплексной плоскости . Поскольку они двоякопериодичны, они пропускаются через тор - по сути, их область действия может быть принята за тор, так же как косинус и синус фактически определены на окружности. Вместо одного круга у нас теперь есть произведение двух кругов, одного реального, а другого воображаемого. Комплексную плоскость можно заменить комплексным тором . Длина окружности первого круга равна 4 K, а второго - 4 K ′, где K и K ′ - периоды четверти.. Каждая функция имеет два нуля и два полюса в противоположных положениях на торе. Среди точек 0, K , K + iK ′, iK ′ один ноль и один полюс.

Эллиптические функции Якоби - это единственные двоякопериодические мероморфные функции, удовлетворяющие следующим трем свойствам:

• В углу p есть простой ноль, а в углу q - простой полюс.
• Шаг от p до q равен половине периода функции pq  u ; то есть функция pq  u периодична в направлении pq, причем период в два раза больше расстояния от p до q. Функция pq  u также периодична в двух других направлениях с таким периодом, что расстояние от p до одного из других углов составляет четверть периода.
• Если функция pq  u раскрывается через u в одном из углов, главный член в разложении имеет коэффициент 1. Другими словами, главный член разложения pq  u в углу p равен u ; главный член расширения в углу q равен 1 / u , а главный член расширения в двух других углах равен 1.

Обозначение [ править ]

Эллиптические функции могут быть даны в различных обозначениях, что может излишне запутать предмет. Эллиптические функции - это функции двух переменных. Первая переменная может быть задана в терминах амплитуды φ или, чаще, в терминах u, указанных ниже. Вторая переменная может быть задана в терминах параметра m , или в виде эллиптического модуля k , где k ² = m , или в терминах модульного угла α, где m  = sin ²  α. Дополнения к k и m определяются как m ' = 1-m и${\ displaystyle k '= {\ sqrt {m'}}}$. Эти четыре термина используются ниже без комментариев для упрощения различных выражений.

Двенадцать эллиптических функций Якоби обычно записываются как pq (u, m), где «p» и «q» - любая из букв «c», «s», «n», и 'd' '. Функции вида pp (u, m) тривиально устанавливаются равными единице для полноты записи. «Основными» функциями обычно считаются cn (u, m) , sn (u, m) и dn (u, m), из которых могут быть получены все другие функции, и выражения часто записываются исключительно в терминах этих трех функций. однако различные симметрии и обобщения часто удобнее всего выражать с помощью полного набора. (Это обозначение принадлежит Гудерману и Глайшеру и не является оригинальным обозначением Якоби.)

Параметр

Функции нотационно связаны друг с другом правилом умножения: (аргументы подавлены)

${\ displaystyle \ operatorname {pq} \ cdot \ operatorname {p'q '} = \ operatorname {pq'} \ cdot \ operatorname {p'q}}$

из которых могут быть выведены другие часто используемые отношения:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {pr}} {\ operatorname {qr}}} = \ operatorname {pq}}$

${\ displaystyle \ operatorname {pr} \ cdot \ operatorname {rq} = \ operatorname {pq}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ operatorname {qp}}} = \ operatorname {pq}}$

Правило умножения непосредственно следует из отождествления эллиптических функций с тета-функциями Невилля ^[3]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

Определение как обратное эллиптическим интегралам [ править ]

Приведенное выше определение в терминах уникальных мероморфных функций, удовлетворяющих определенным свойствам, является довольно абстрактным. Существует более простое, но полностью эквивалентное определение, дающее эллиптические функции как обратные неполному эллиптическому интегралу первого рода. Позволять

${\displaystyle u=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}\,.}$

Тогда эллиптический синус sn  u (лат. Sinus ampitudinis ) определяется как

${\displaystyle \operatorname {sn} u=\sin \varphi \,}$

а эллиптический косинус cn  u (латинское: cosinus ampitudinis ) задается формулой

${\displaystyle \operatorname {cn} u=\cos \varphi }$

и дельта-амплитуда dn  u (лат. delta ampitudinis )

${\displaystyle \operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}\,.}$

Здесь угол называется амплитудой . Иногда dn  u  = Δ ( u ) называется дельта-амплитудой . В приведенном выше значении m является свободным параметром, обычно принимаемым за действительный, 0 ≤  m  ≤ 1, и поэтому эллиптические функции можно рассматривать как заданные двумя переменными, амплитудой и параметром  m .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Остальные девять эллиптических функций легко построить из трех вышеупомянутых и приведены в разделе ниже.

Обратите внимание , что , когда , что у тогда равна четверти периода K .${\displaystyle \varphi =\pi /2}$ 

Определение как тригонометрия: эллипс Якоби [ править ]

${\displaystyle \cos \varphi ,\sin \varphi }$определены на единичной окружности с радиусом r  = 1 и угловой длиной дуги единичной окружности, отсчитываемой от положительной оси x . Точно так же эллиптические функции Якоби определены на единичном эллипсе ^{[ цитата ]} с a  = 1. Пусть${\displaystyle \varphi =}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

потом:

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

Для каждого угла параметр${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$

вычисляется. На единичном круге ( ) будет длина дуги. Хотя не имеет прямой геометрической интерпретации в эллиптическом случае, оказывается, что это параметр, который входит в определение эллиптических функций. Действительно, пусть будет точкой на эллипсе, и пусть будет точкой, где единичный круг пересекает линию между и началом координат . Затем знакомые отношения из единичного круга: ${\displaystyle a=b=1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle O}$

${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$

прочтите эллипс:

${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$

Таким образом, проекции точки пересечения прямой с единичной окружностью на оси x и y - это просто и . Эти проекции можно интерпретировать как «определение как тригонометрию». Суммируя:${\displaystyle P'}$${\displaystyle OP}$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x(u,m)}{r(u,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y(u,m)}{r(u,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(u,m)}}.}$

Для и значения точки с и параметром мы получаем, после вставки соотношения:${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$

в: что:${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )}$

${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$

Последние соотношения для координат x и y точек единичного эллипса можно рассматривать как обобщение соотношений для координат точек на единичной окружности.${\displaystyle x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi }$

В следующей таблице приведены выражения для всех эллиптических функций Якоби pq (u, m) в переменных ( x , y , r ) и ( φ , dn) с${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Эллиптические функции Якоби pq [u, m] как функции от {x, y, r} и {φ, dn}

		q
		c	s	п	d
п
	c	1	${\displaystyle x/y=\cot(\phi )}$	${\displaystyle x/r=\cos(\phi )}$	${\displaystyle x=\cos(\phi )/\operatorname {dn} }$
	s	${\displaystyle y/x=\tan(\phi )}$	1	${\displaystyle y/r=\sin(\phi )}$	${\displaystyle y=\sin(\phi )/\operatorname {dn} }$
	п	${\displaystyle r/x=\sec(\phi )}$	${\displaystyle r/y=\csc(\phi )}$	1	${\displaystyle r=1/\operatorname {dn} }$
	d	${\displaystyle 1/x=\operatorname {dn} \sec(\phi )}$	${\displaystyle 1/y=\operatorname {dn} \csc(\phi )}$	${\displaystyle 1/r=\operatorname {dn} }$	1

Определение в терминах тета-функций Якоби [ править ]

Эквивалентно, эллиптические функции Якоби могут быть определены в терминах его тета-функций . Если мы будем сокращать как и, соответственно, как ( тета-константы ), то эллиптический модуль тета-функции k равен . Если мы установим , у нас будет${\displaystyle \vartheta (0;\tau )}$${\displaystyle \vartheta }$${\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau ),\vartheta _{10}(0;\tau ),\vartheta _{11}(0;\tau )}$${\displaystyle \vartheta _{01},\vartheta _{10},\vartheta _{11}}$ ${\displaystyle k=\left({\vartheta _{10} \over \vartheta }\right)^{2}}$${\displaystyle u=\pi \vartheta ^{2}z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u;k)&=-{\vartheta \vartheta _{11}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}\\[7pt]\operatorname {cn} (u;k)&={\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}\\[7pt]\operatorname {dn} (u;k)&={\vartheta _{01}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta _{01}(z;\tau )}\end{aligned}}}$

Поскольку функции Якоби определены в терминах эллиптического модуля , нам нужно инвертировать его и найти в терминах . Будем исходить из , по комплементарной модуля . В зависимости от этого${\displaystyle k(\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle k'(\tau )=\left({\vartheta _{01} \over \vartheta }\right)^{2}.}$

Давайте сначала определим

${\displaystyle \ell ={1 \over 2}{1-{\sqrt {k'}} \over 1+{\sqrt {k'}}}={1 \over 2}{\vartheta -\vartheta _{01} \over \vartheta +\vartheta _{01}}.}$

Затем определяют Нома , как и расширять как степенной ряд в номе , получим${\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \ell ={q+q^{9}+q^{25}+\cdots \over 1+2q^{4}+2q^{16}+\cdots }.}$

Реверс серии теперь дает

${\displaystyle q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ell ^{25}+\cdots .}$

Поскольку мы можем свести к случаю, когда мнимая часть больше или равна , мы можем предположить, что абсолютное значение меньше или равно ; для таких малых значений приведенный выше ряд сходится очень быстро и легко позволяет нам найти подходящее значение для .${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)\approx 0.0658}$${\displaystyle q}$

Определение в терминах тета-функций Невилля [ править ]

Эллиптические функции Якоби можно очень просто определить с помощью тета-функций Невилля : ^[4]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

Эти тождества часто упрощают упрощение сложных произведений эллиптических функций Якоби.

Преобразования Якоби [ править ]

Мнимые преобразования Якоби [ править ]

Мнимые преобразования Якоби связывают различные функции мнимой переменной iu или, что то же самое, отношения между различными значениями параметра m . По основным функциям: ^{[5] : 506}

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$

Используя правило умножения, все остальные функции могут быть выражены в терминах указанных выше трех. В общем случае преобразования можно записать как . В следующей таблице приведены значения для указанного pq ( u, m ). ^[4] (Аргументы подавлены)${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$

Якоби Воображаемые преобразования ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$

		q
		c	s	п	d
п
	c	1	я нс	NC	nd
	s	-i sn	1	-i sc	-i sd
	п	сп	я cs	1	компакт диск
	d	дн	я ds	Округ Колумбия	1

Поскольку гиперболические тригонометрические функции пропорциональны круговым тригонометрическим функциям с мнимыми аргументами, отсюда следует, что функции Якоби будут давать гиперболические функции для m = 1. ^{[3] : 249} На рисунке кривая Якоби выродилась в две вертикальные линии в точках x = 1 и x = -1.

Реальные преобразования Якоби [ править ]

Вещественные преобразования Якоби ^{[3] : 308} дают выражения для эллиптических функций в терминах с альтернативными значениями m . В общем случае преобразования можно записать как . В следующей таблице приведены значения для указанного pq ( u, m ). ^[4] (Аргументы подавлены)${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$${\displaystyle (k\,u,1/m)}$

Якоби Реальные преобразования ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$

		q
		c	s	п	d
п
	c	1	${\displaystyle k}$ ds	дн	Округ Колумбия
	s	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ SD	1	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ sn	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ sc
	п	nd	${\displaystyle k}$ нс	1	NC
	d	компакт диск	${\displaystyle k}$ cs	сп	1

Другие преобразования Якоби [ править ]

Реальные и мнимые преобразования Якоби можно комбинировать различными способами, чтобы получить еще три простых преобразования. ^{[3] : 214} Реальные и мнимые преобразования - это два преобразования в группе ( D 3 или ангармоническая группа ) из шести преобразований. Если

${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$

- преобразование для параметра m в реальном преобразовании, а

${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$

- это преобразование m в мнимое преобразование, тогда другие преобразования могут быть построены путем последовательного применения этих двух основных преобразований, что дает только три дополнительных возможности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$

Эти пять преобразований вместе с тождественным преобразованием (μ _U (m) = m) дают группу из 6 элементов. Что касается эллиптических функций Якоби, общее преобразование можно выразить с помощью всего трех функций:

${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

где i = U, I, IR, R, RI или RIR, обозначающие преобразование, γ _i - коэффициент умножения, общий для этих трех функций, а штрих указывает преобразованную функцию. Остальные девять преобразованных функций могут быть построены из трех вышеупомянутых. Причина, по которой функции cs, ns, ds были выбраны для представления преобразования, заключается в том, что другие функции будут отношениями этих трех (за исключением их обратных), а коэффициенты умножения будут сокращаться.

В следующей таблице перечислены коэффициенты умножения для трех функций ps, преобразованных m и преобразованных имен функций для каждого из шести преобразований. ^{[3] : 214} (Как обычно, k ² = m, 1-k ² = k ₁ ² = m 'и аргументы ( ) подавлены)${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$

Параметры шести преобразований

Преобразование я	${\displaystyle \gamma _{i}}$	${\displaystyle \mu _{i}(m)}$	cs '	нс '	ds '
U	1	м	cs	нс	ds
я	я	м '	нс	cs	ds
ИК	ik	-м '/ м	ds	cs	нс
р	k	1 / м	ds	нс	cs
RI	ik 1	1 / м '	нс	ds	cs
RIR	k 1	-м / м '	cs	ds	нс

Таким образом, например, мы можем построить следующую таблицу для преобразования RIR. ^[4] Преобразование обычно записывается (аргументы подавлены)${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$

Преобразование RIR ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$

		q
		c	s	п	d
п
	c	1	k 'cs	компакт диск	сп
	s	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$ sc	1	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$ SD	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$ sn
	п	Округ Колумбия	${\displaystyle k'}$ ds	1	дн
	d	NC	${\displaystyle k'}$ нс	nd	1

Ценность преобразований Якоби заключается в том, что любой набор эллиптических функций Якоби с любым комплексным параметром m может быть преобразован в другой набор, для которого 0 <= m <= 1 и для реальных значений u значения функции будут действительными . ^{[3] : с.215}

Гипербола Якоби [ править ]

С введением комплексных чисел с эллипсом связана гипербола:

${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

от применения мнимого преобразования Якоби ^[4] к эллиптическим функциям в приведенном выше уравнении для x и  y .

${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$

Отсюда следует, что мы можем поставить . Итак, у нашего эллипса есть двойной эллипс, в котором m заменено на 1-m. Это приводит к упомянутому во введении комплексному тору. ^[6] Обычно m может быть комплексным числом, но когда m действительное и m <0, кривая представляет собой эллипс с большой осью в направлении x. При m = 0 кривая представляет собой круг, а при 0 <m <1 кривая представляет собой эллипс с большой осью в направлении y. При m = 1 кривая вырождается в две вертикальные прямые при x = + / - 1. При m> 1 кривая представляет собой гиперболу. Когда m является комплексным, но не действительным, x или y или оба являются комплексными, и кривая не может быть описана на реальной xy-диаграмме.${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$

Незначительные функции [ править ]

Изменение порядка двух букв имени функции на обратное приводит к получению обратных значений для трех функций, указанных выше:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

Точно так же отношения трех основных функций соответствуют первой букве числителя, за которой следует первая буква знаменателя:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

Более компактно мы имеем

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$

где p и q - любая из букв s, c, d.

Периодичность, полюса и остатки [ править ]

В комплексной плоскости аргумента u эллиптические функции Якоби образуют повторяющийся узор полюсов (и нулей). Все остатки полюсов имеют одинаковую амплитуду, различаются только знаком. Каждая функция pq (u, m) имеет обратную функцию qp (u, m), в которой меняются местами полюсы и нули. Периоды повторения обычно различны в реальном и мнимом направлениях, отсюда и использование термина «двоякопериодический» для их описания.

Двойная периодичность эллиптических функций Якоби может быть выражена как:

${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$

где α и β - любая пара целых чисел. K (.) - полный эллиптический интеграл первого рода, также известный как период четверти . Степень отрицательной единицы (γ) приведена в следующей таблице:

${\displaystyle \gamma }$

		q
		c	s	п	d
п
	c	0	β	α + β	α
	s	β	0	α	α + β
	п	α + β	α	0	β
	d	α	α + β	β	0

Когда коэффициент (-1) ^γ равен -1, уравнение выражает квазипериодичность. Когда он равен единице, он выражает полную периодичность. Можно увидеть, например, что для записей, содержащих только α, когда α четно, полная периодичность выражается приведенным выше уравнением, а функция имеет полные периоды 4K (m) и 2iK (1-m). Аналогично, функции с элементами, содержащими только β, имеют полные периоды 2K (m) и 4iK (1-m), а функции с α + β имеют полные периоды 4K (m) и 4iK (1-m).

На диаграмме справа, на которой изображена одна повторяющаяся единица для каждой функции с указанием фазы вместе с положением полюсов и нулей, можно отметить ряд закономерностей: обратная сторона каждой функции противоположна диагонали и имеет тот же размер. элементарная ячейка с заменой полюсов и нулей. Расположение полюса и нуля во вспомогательном прямоугольнике, образованном точками (0,0), (K, 0), (0, K ') и (K, K'), соответствует описанию расположения полюса и нуля, приведенному в введение выше. Кроме того, размер белых овалов, обозначающих полюса, является приблизительной мерой амплитуды остатка для этого полюса. Остатки полюсов, ближайших к началу координат на рисунке (т.е. во вспомогательном прямоугольнике), перечислены в следующей таблице:

Вычеты эллиптических функций Якоби.

		q
		c	s	п	d
п
	c		1	${\displaystyle -{\frac {i}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k}}}$
	s	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {i}{k\,k'}}}$
	п	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$	1		${\displaystyle -{\frac {i}{k'}}}$
	d	-1	1	${\displaystyle -i}$

Если применимо, полюса, смещенные вверх на 2К или вправо на 2К ', имеют такое же значение, но с обратными знаками, в то время как полюса, расположенные напротив по диагонали, имеют такое же значение. Обратите внимание, что полюса и нули на левом и нижнем краях считаются частью элементарной ячейки, а полюса на верхнем и правом краях - нет.

Отношения между квадратами функций [ править ]

Отношения между квадратами функций могут быть получены из двух основных соотношений (аргументы ( u , m ) подавлены):

${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}$

${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}}$

где m + m '  = 1 и m  =  k ² . Умножение на любую функцию вида nq дает более общие уравнения:

${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}$

При q = d они тригонометрически соответствуют уравнениям для единичной окружности ( ) и единичного эллипса ( ), где x = cd , y = sd и r = nd . Используя правило умножения, можно вывести другие отношения. Например:${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$${\displaystyle x^{2}+m'y^{2}=1}$

${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m}$

${\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m}$

${\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m}$

${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m}$

Теоремы сложения [ править ]

Функции удовлетворяют двум квадратным соотношениям

${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u,k)+\operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1,\,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u,k)+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1.\,}$

Отсюда мы видим, что (cn, sn, dn) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик, определенных двумя приведенными выше уравнениями. Теперь мы можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью формул сложения для функций Якоби ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-k^{2}\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$

Формулы двойного угла можно легко получить из приведенных выше уравнений, установив x = y . ^{[1] Все} формулы половинного угла ^{[4] [1]} имеют следующий вид:

${\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{p}/f_{q}}$

где:

${\displaystyle f_{c}=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}$

${\displaystyle f_{s}=1-\operatorname {cn} (u,m)}$

${\displaystyle f_{n}=1+\operatorname {dn} (u,m)}$

${\displaystyle f_{d}=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))}$

Расширение по номеру [ править ]

Пусть нома быть , , и пусть аргумент будет . Тогда функции имеют разложения в ряд Ламберта${\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)=e^{i\pi \tau }}$${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$${\displaystyle m=k^{2}}$${\displaystyle v=\pi u/(2K)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv).}$

Эллиптические функции Якоби как решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений [ править ]

В производные трех основных эллиптических функций Якоби являются:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-k^{2}\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}$

Их можно использовать для получения производных всех других функций, как показано в таблице ниже (аргументы (u, m) подавлены):

Производные ${\displaystyle {\frac {d}{du}}\operatorname {pq} (u,m)}$

		q
		c	s	п	d
п
	c	0	-ds нс	-dn sn	-м 'и сд
	s	dc nc	0	cn dn	cd nd
	п	dc sc	-cs ds	0	м cd sd
	d	m 'nc sc	-cs нс	-m cn sn	0

С учетом приведенных выше теорем сложения и для заданного k с 0 <  k  <1 основные функции, следовательно, являются решениями следующих нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений :

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x)}$ решает дифференциальные уравнения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0}$

и

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})}$

• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x)}$ решает дифференциальные уравнения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0}$

и

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})}$

• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x)}$ решает дифференциальные уравнения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0}$

и

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})}$

Аппроксимация в терминах гиперболических функций [ править ]

Эллиптические функции Якоби можно разложить до гиперболических функций. Когда оно близко к единице, таким, что и более высокими степенями можно пренебречь, мы имеем:${\displaystyle m}$${\displaystyle m'^{2}}$${\displaystyle m'}$

• sn ( u ):

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}$

• сп ( и ):

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$

• dn ( u ):

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$

• am ( u ):

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}$

Непрерывные дроби [ править ]

Предполагая действительные числа с и ном , с эллиптическим модулем . Если , где - полный эллиптический интеграл первого рода , то имеет место следующее разложение в непрерывную дробь ^[7]${\displaystyle a,p}$${\displaystyle 0<a<p}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\displaystyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}$${\displaystyle K[\tau ]=K(k(\tau ))}$${\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})}$

${\displaystyle {\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}=}$

${\displaystyle =-1+{\frac {2}{1-}}{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+}}{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+}}{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+}}{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+}}\ldots }$

Известные цепные дроби с эллиптическим модулем и с эллиптическим модулем : ${\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)}$${\displaystyle {\textrm {dn}}(t)}$${\displaystyle k}$

Для , , ^[8] pg.374${\displaystyle z\in {\textbf {C}}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}dt={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-}}{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-}}{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-}}\ldots }$

Для получения , [8]: стр. 375${\displaystyle z\in {\textbf {C}}-\{0\}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}dt={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-}}{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-}}{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-}}\ldots }$

Для , , ^[9] стр. 220${\displaystyle z\in {\textbf {C}}-\{0\}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}dt={\frac {1}{z+}}{\frac {1^{2}}{z+}}{\frac {2^{2}k^{2}}{z+}}{\frac {3^{2}}{z+}}{\frac {4^{2}k^{2}}{z+}}{\frac {5^{2}}{z+}}\ldots }$

Для получения , [8]: pg.374${\displaystyle z\in {\textbf {C}}-\{0\}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}dt={\frac {1}{z+}}{\frac {1^{2}k^{2}}{z+}}{\frac {2^{2}}{z+}}{\frac {3^{2}k^{2}}{z+}}{\frac {4^{2}}{z+}}{\frac {5^{2}k^{2}}{z+}}\ldots }$

Для получения , [8]: pg.375${\displaystyle z\in {\textbf {C}}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}dt={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-}}{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-}}{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-}}\ldots }$

Обратные функции [ править ]

Обратные к эллиптическим функциям Якоби можно определить аналогично обратным тригонометрическим функциям ; если , . Их можно представить в виде эллиптических интегралов ^{[10] [11] [12],} и были найдены представления степенного ряда. ^{[13] [1]}${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,k)}$${\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,k)}$

• ${\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccn} (x,k)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}+k^{2}t^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,k)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+k^{2}-1)}}}}$

Проекция карты [ править ]

Квинкунциальная проекция Пирса является отображение проекции на основе эллиптических функций Якоби.

См. Также [ править ]

• Эллиптическая кривая
• Отображение Шварца – Кристоффеля
• Симметричная форма Карлсона
• Тета-функция Якоби
• Тета-функция Рамануджана
• Эллиптические функции Диксона
• Эллиптические функции Абеля
• Эллиптические функции Вейерштрасса

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 16» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 569. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций (1970), Москва, переведено на английский как AMS Переводы математических монографий Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2 
• AC Dixon Элементарные свойства эллиптических функций с примерами (Macmillan, 1894)
• Альфред Джордж Гринхилл Приложения эллиптических функций (Лондон, Нью-Йорк, Макмиллан, 1892 г.)
• Лекции Х. Хэнкока по теории эллиптических функций (Нью-Йорк, J. Wiley & sons, 1910)
• Якоби, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг, ISBN 978-1-108-05200-9, Перепечатано издательством Cambridge University Press, 2012 г.
• Рейнхардт, Уильям П .; Уокер, Питер Л. (2010), «Эллиптические функции Якоби» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• (на французском языке) П. Аппель и Э. Лакур Принципы теории эллиптических функций и приложений (Париж, Готье Виллар, 1897 г.)
• (на французском языке) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (том 1) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (том 2) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (том 3) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) J. Tannery и J. Molk Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Том I, Введение. Рассчитать différentiel. Ire partie (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1893)
• (на французском языке) J. Tannery и J. Molk Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Том II, Calcul différentiel. IIe partie (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1893)
• (на французском языке) J. Tannery и J. Molk Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Том III, Calcul intégral. Ire partie, Théorèmes généraux. Инверсия (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1893)
• (на французском языке) J. Tannery и J. Molk Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Том IV, Calcul intégral. IIe partie, Applications (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1893)
• (на французском) К. Брио и Ж. К. Букет Теория эллиптических функций (Париж: Готье-Виллар, 1875 г.)

Внешние ссылки [ править ]

• "Эллиптические функции Якоби" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Эллиптические функции Якоби" . MathWorld .
• Эллиптические функции и эллиптические интегралы на YouTube , лекция Уильяма А. Швальма (4 часа)