В математике , треугольник Паскаля является треугольным массивом из биномиальных коэффициентов , возникающих в теории вероятностей, комбинаторике и алгебре. В большей части западного мира он назван в честь французского математика Блеза Паскаля , хотя другие математики изучали его за несколько столетий до него в Индии, [1] Персии, [2] Китае, Германии и Италии. [3]
Строки треугольника Паскаля условно нумеруются, начиная с row вверху (0-й ряд). Записи в каждой строке нумеруются слева, начиная си обычно располагаются в шахматном порядке относительно чисел в соседних строках. Треугольник может быть построен следующим образом: в строке 0 (самая верхняя строка) есть уникальная ненулевая запись 1. Каждая запись каждой последующей строки создается путем добавления числа вверху и слева с номером вверху и к справа, обрабатывая пустые записи как 0. Например, начальное число в первой (или любой другой) строке равно 1 (сумма 0 и 1), тогда как числа 1 и 3 в третьей строке складываются для получения цифра 4 в четвертом ряду.
Формула
Запись в й ряд и -й столбец треугольника Паскаля обозначается . Например, уникальная ненулевая запись в самой верхней строке - это. С такими обозначениями конструкция предыдущего абзаца может быть записана следующим образом:
- ,
для любого неотрицательного целого числа и любое целое число . [4] Это повторение биномиальных коэффициентов известно как правило Паскаля .
Треугольник Паскаля имеет более высокие размерные обобщения. Трехмерная версия называется пирамидой Паскаля или тетраэдром Паскаля , а общие версии называются симплексами Паскаля .
История
Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до Паскаля. Паскаль ввел новшество во многие ранее не подтвержденные применения чисел треугольника, применения, которые он подробно описал в самом раннем известном математическом трактате, специально посвященном треугольнику, в его арифметической работе над треугольником (1654; опубликовано в 1665 году).
Много веков назад обсуждение чисел возникло в контексте индийских исследований комбинаторики и биномиальных чисел. Из более поздних комментариев следует, что биномиальные коэффициенты и аддитивная формула для их генерации,, были известны Пингале во 2 веке до нашей эры. [5] [6] Хотя работа Пингалы сохранилась только фрагментами, комментатор Варахамихира , около 505 года, дал четкое описание аддитивной формулы [6], а более подробное объяснение того же правила было дано Халаюдхой около 975 года. Халаюда также объяснил неясные ссылки на Меру-прастара , Лестницу на гору Меру , дав первое сохранившееся описание расположения этих чисел в треугольнике. [6] [7] Примерно в 850 году джайнский математик Махавира дал другую формулу для биномиальных коэффициентов, используя умножение, эквивалентную современной формуле. [6] В 1068 году четыре столбца первых шестнадцати строк были даны математиком Бхаттотпала , который был первым зарегистрированным математиком, который приравнял аддитивные и мультипликативные формулы для этих чисел. [6]
Примерно в то же время персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первое описание треугольника Паскаля. [8] [9] [10] Позднее его повторил персидский поэт-астроном-математик Омар Хайям (1048–1131); таким образом, треугольник также называют треугольником Хайяма в Иране. [11] Было известно несколько теорем, связанных с треугольником, включая биномиальную теорему . Хайям использовал метод нахождения корней n- й степени, основанный на биномиальном разложении и, следовательно, на биномиальных коэффициентах. [2]
Треугольник Паскаля был известен в Китае в начале 11 века благодаря работам китайского математика Цзя Сяня (1010–1070). В 13 веке Ян Хуэй (1238–1298) представил треугольник, и поэтому в Китае его до сих пор называют треугольником Ян Хуэя (杨辉 三角;楊輝 三角). [12]
В Европе, треугольник Паскаля появился впервые в арифметике в Иордане Неморария (13 век). [13] Биномиальные коэффициенты были рассчитаны Герсонидом в начале 14 века, используя для них мультипликативную формулу. [6] Петер Апиан (1495-1552) опубликовал полный треугольник на фронтоне его книги по бизнес - расчетам в 1527 году [14] Михаэль Штифель , опубликованная часть треугольника (со второго по средней колонке в каждой строке) в 1544, описывая его как таблицу фигурных чисел . [6] В Италии треугольник Паскаля упоминается как треугольник Тартальи , названный в честь итальянского алгебраиста Никколо Фонтана Тарталья (1500–1577), который опубликовал шесть строк треугольника в 1556 году. [6] Джероламо Кардано также опубликовал треугольник. а также аддитивные и мультипликативные правила его построения в 1570 г. [6]
Паскаля Трактат ая треугольник arithmétique ( Трактат о Арифметическом треугольники ) была опубликована в 1655 году в этом, Паскаль собрал несколько результатов , то известно о треугольнике, и использовал их для решения задач теории вероятностей . Позднее Треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его «Table de M. Pascal pour les combinaisons» (французский язык: Таблица г-на Паскаля для комбинаций) и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его « Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM »(лат.« Арифметический треугольник Паскаля »), ставшее современным западным названием. [15]
Биномиальные разложения
Треугольник Паскаля определяет коэффициенты, которые возникают в биномиальных разложениях . Например, рассмотрим расширение
.
Коэффициенты - это числа во второй строке треугольника Паскаля: , , .
В общем, когда бином вроде возводится в положительную целую степень , у нас есть:
,
где коэффициенты в этом раскрытии - именно числа в строке треугольника Паскаля. Другими словами,
- .
Это биномиальная теорема .
Вся правая диагональ треугольника Паскаля соответствует коэффициенту при в этих биномиальных разложениях, а следующая диагональ соответствует коэффициенту при и так далее.
Чтобы увидеть, как биномиальная теорема связана с простым построением треугольника Паскаля, рассмотрим задачу вычисления коэффициентов разложения через соответствующие коэффициенты при (параметр для простоты). Предположим тогда, что
- .
Сейчас
Два суммирования можно реорганизовать следующим образом:
(из-за того, как работает возведение многочлена в степень, ).
Теперь у нас есть выражение для полинома через коэффициенты (эти s), что нам и нужно, если мы хотим выразить строку в терминах строки над ней. Напомним, что все члены на диагонали, идущей от верхнего левого угла к нижнему правому, соответствуют одной и той же степени, и что -члены являются коэффициентами многочлена , и мы определяем коэффициенты при . Теперь для любого, коэффициент член в полиноме равно . Это действительно простое правило построения треугольника Паскаля строка за строкой.
Этот аргумент нетрудно превратить в доказательство (с помощью математической индукции ) биномиальной теоремы.
С , коэффициенты идентичны в разложении общего случая.
Интересное следствие биномиальной теоремы получается, если положить обе переменные а также равняется единице. В этом случае мы знаем, что, и другие
Другими словами, сумма записей в -я строка треугольника Паскаля - это -я степень 2. Это эквивалентно утверждению, что количество подмножеств ( мощность множества степеней )-элементный набор есть , как можно увидеть, наблюдая, что количество подмножеств является суммой количества комбинаций каждой из возможных длин, которые варьируются от нуля до .
Комбинации
Второе полезное применение треугольника Паскаля - вычисление комбинаций . Например, количество комбинаций вещи взяты за один раз (называемый n выбирают k ) можно найти по уравнению
- .
Но это также формула для ячейки треугольника Паскаля. Вместо того, чтобы выполнять вычисления, можно просто найти соответствующую запись в треугольнике. Если у нас есть первая строка и первая запись в строке с номером 0, ответ будет расположен в записи в ряд . Например, предположим, что в баскетбольной команде 10 игроков, и она хочет знать, сколько способов выбрать 8. Ответ - запись 8 в строке 10, что составляет 45; то есть 10 выберите 8 - это 45.
Связь с биномиальным распределением и свертками
При делении на , то -я строка треугольника Паскаля становится биномиальным распределением в симметричном случае, когда. По центральной предельной теореме это распределение приближается к нормальному распределению какувеличивается. Это также можно увидеть, применив формулу Стирлинга к факториалам, входящим в формулу для комбинаций.
Это связано с операцией дискретной свертки двояко. Во-первых, умножение полиномов точно соответствует дискретной свертке, так что многократная свертка последовательности с собой соответствует принятию полномочий , а значит, и к порождению строк треугольника. Во-вторых, повторная свертка функции распределения для случайной величины с самой собой соответствует вычислению функции распределения для суммы n независимых копий этой переменной; это как раз та ситуация, к которой применима центральная предельная теорема и, следовательно, приводит к нормальному распределению в пределе.
Паттерны и свойства
Треугольник Паскаля обладает множеством свойств и содержит множество шаблонов чисел.
Рядов
- Сумма элементов одной строки в два раза больше суммы предшествующей ей строки. Например, строка 0 (самая верхняя строка) имеет значение 1, строка 1 имеет значение 2, строка 2 имеет значение 4 и т. Д. Это потому, что каждый элемент в строке создает два элемента в следующей строке: один слева и один справа. Сумма элементов строки равно .
- Принимая произведение элементов в каждой строке, последовательность продуктов (последовательность A001142 в OEIS ) связана с основанием натурального логарифма, е . [16] [17] В частности, определите последовательность для всех следующим образом
- Тогда соотношение последовательных строчных продуктов равно
- и отношение этих соотношений равно
- .
- Правая часть приведенного выше уравнения принимает форму предельного определения
- .
- можно найти в треугольнике Паскаля через бесконечный ряд Нилакантхи . [18]
- Значение строки , если каждая запись считается десятичным разрядом (и соответственно переносятся числа больше 9), является степенью 11 ( 11 n для строки n ). Таким образом, в строке 2 1, 2, 1⟩ становится 11 2 , а ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ в пятой строке становится (после переноса) 161 051, что составляет 11 5 . Это свойство объясняется установкой x = 10 в биномиальном разложении ( x + 1) n и корректировкой значений в десятичной системе. Но можно выбрать x , чтобы строки могли представлять значения в любой базе .
- В базе 3 : 1 2 1 3 = 4 2 (16)
- ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 1 3 = 4 3 (64)
- В базе 9 : 1 2 1 9 = 10 2 (100)
- 1 3 3 1 9 = 10 3 (1000)
- ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 1 9 = 10 5 (100000)
- В частности (см. Предыдущее свойство), для x = 1 разрядное значение остается постоянным (1 место = 1). Таким образом, записи можно просто добавлять при интерпретации значения строки.
- Некоторые числа в треугольнике Паскаля соответствуют числам в треугольнике Лозанича .
- Сумма квадратов элементов строки n равна среднему элементу строки 2 n . Например, 1 2 + 4 2 + 6 2 + 4 2 + 1 2 = 70. В общем виде:
- В любой строке n , где n четно, средний член за вычетом терма, двух пятен слева, равен каталонскому числу , в частности ( n / 2 + 1) -м каталонскому числу. Например: в строке 4 6 - 1 = 5 , что является 3-м каталонским числом, и 4/2 + 1 = 3 .
- В строке р , где р представляет собой простое число , все члены в этой строке , за исключением 1s являются кратными из р . Это легко доказать, так как если, то p не имеет множителей, кроме 1 и самого себя. Каждая запись в треугольнике является целым числом, поэтому по определению а также факторы . Однако невозможно указать p в знаменателе, поэтому в числителе необходимо оставить p (или несколько его значений), в результате чего вся запись будет кратна p .
- Четность : чтобы подсчитать нечетные члены в строке n , преобразуйте n в двоичное . Пусть x будет количеством единиц в двоичном представлении. Тогда количество нечетных членов будет 2 х . Эти числа являются значениями в последовательности Гулда . [19]
- Каждая запись в строке 2 n -1, n ≥ 0, нечетная. [20]
- Полярность : когда элементы строки треугольника Паскаля добавляются и вычитаются последовательно, каждая строка со средним числом, то есть строки с нечетным числом целых чисел, дает в результате 0. Например, строка 4 - 1 4 6 4 1, поэтому формула будет иметь вид 6 - (4 + 4) + (1 + 1) = 0; а строка 6 - 1 6 15 20 15 6 1, поэтому формула будет иметь вид 20 - (15 + 15) + (6 + 6) - (1 + 1) = 0. Таким образом, каждая четная строка треугольника Паскаля равна 0, когда вы берете среднее число, затем вычитаете целые числа непосредственно рядом с центром, затем складываете следующие целые числа, затем вычитаете и т. д. и т. д., пока не дойдете до конца строки.
Диагонали
Диагонали треугольника Паскаля содержат фигурные числа симплексов:
- Диагонали, идущие по левому и правому краям, содержат только единицы.
- Диагонали рядом с диагоналями краев содержат по порядку натуральные числа .
- Двигаясь внутрь, следующая пара диагоналей содержит по порядку треугольные числа .
- Следующая пара диагоналей содержит тетраэдрические числа по порядку, а следующая пара - числа пентатопов .
Симметрия треугольника означает, что n- е d-мерное число равно d- му n -мерному числу.
Альтернативная формула, не использующая рекурсию, выглядит следующим образом:
- где n ( d ) - возрастающий факториал .
Геометрический смысл функции P d : P d (1) = 1 для всех d . Постройте d - мерный треугольник (трехмерный треугольник - это тетраэдр ), разместив дополнительные точки под начальной точкой, что соответствует P d (1) = 1. Поместите эти точки аналогично размещению чисел в треугольнике Паскаля. . Чтобы найти P d ( x ), имейте в общей сложности x точек, составляющих целевую форму. Тогда P d ( x ) равно общему количеству точек в форме. 0-мерный треугольник - это точка, а одномерный треугольник - это просто линия, и поэтому P 0 ( x ) = 1 и P 1 ( x ) = x , что представляет собой последовательность натуральных чисел. Количество точек в каждом слое соответствует P d - 1 ( x ).
Самостоятельное вычисление ряда или диагонали
Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов в строке или диагонали без вычисления других элементов или факториалов.
Вычислить строку с элементами , , ..., , начинать с . Для каждого последующего элемента значение определяется путем умножения предыдущего значения на дробь с медленно меняющимися числителем и знаменателем:
Например, для вычисления строки 5 дроби равны , , , а также , а значит, элементы , , и т. д. (Остальные элементы легче всего получить с помощью симметрии.)
Чтобы вычислить диагональ, содержащую элементы , , , ..., снова начинаем с и получить последующие элементы умножением на определенные дроби:
По симметрии этот же процесс можно использовать для вычисления диагонали , , ....
Например, чтобы вычислить диагональ, начинающуюся в , дроби равны , , , ..., а элементы , , и т. д. Эти элементы по симметрии равны , , , так далее.
Общие закономерности и свойства
- Узор, полученный раскрашиванием только нечетных чисел в треугольнике Паскаля, очень напоминает фрактал, называемый треугольником Серпинского . Это сходство становится все более точным по мере того, как рассматривается больше строк; в пределе, когда количество строк приближается к бесконечности, результирующий узор представляет собой треугольник Серпинского, предполагающий фиксированный периметр. В более общем смысле числа могут быть окрашены по-разному в зависимости от того, кратны ли они 3, 4 и т.д .; это приводит к другим подобным образцам.
10 | |||
10 | 20 |
- В треугольной части сетки (как на изображениях ниже) количество кратчайших путей сетки от заданного узла до верхнего узла треугольника является соответствующей записью в треугольнике Паскаля. На игровом поле Plinko в форме треугольника это распределение должно давать вероятности выигрыша различных призов.
- Если строки треугольника Паскаля выровнены по левому краю, диагональные полосы (обозначенные ниже цветом) суммируются с числами Фибоначчи .
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 год 35 год 35 год 21 год 7 1
Построение как матричная экспонента
Благодаря простой конструкции с помощью факториалов, можно дать очень простое представление треугольника Паскаля в терминах экспоненты матрицы : треугольник Паскаля - это экспонента матрицы, которая имеет последовательность 1, 2, 3, 4, ... поддиагональ и ноль везде.
Связи с геометрией многогранников
Треугольник Паскаля можно использовать в качестве таблицы поиска для количества элементов (например, ребер и углов) внутри многогранника (например, треугольника, тетраэдра, квадрата и куба).
Количество элементов симплексов
Давайте начнем с рассмотрения третьей строки треугольника Паскаля со значениями 1, 3, 3, 1. Двумерный треугольник имеет один двумерный элемент (сам), три одномерных элемента (линии или ребра) и три 0-мерные элементы ( вершины или углы). Значение последней цифры (1) объяснить сложнее (но см. Ниже). Продолжая наш пример, тетраэдр имеет один трехмерный элемент (сам), четыре двумерных элемента (грани), шесть одномерных элементов (ребра) и четыре 0-мерных элемента (вершины). Снова складывая последнюю 1, эти значения соответствуют 4-й строке треугольника (1, 4, 6, 4, 1). Линия 1 соответствует точке, а линия 2 соответствует отрезку (диаде). Этот образец продолжается до гипер-тетраэдров произвольной большой размерности (известных как симплексы ).
Чтобы понять, почему существует этот шаблон, нужно сначала понять, что процесс построения n -симплекса из ( n - 1) -симплекса состоит из простого добавления к последнему новой вершины, расположенной так, чтобы эта новая вершина лежала вне пространство исходного симплекса и соединяя его со всеми исходными вершинами. В качестве примера рассмотрим случай построения тетраэдра из треугольника, последний из элементов которого пронумерован строкой 3 треугольника Паскаля: 1 грань, 3 ребра и 3 вершины (значение последней 1 будет объяснено в ближайшее время) . Чтобы построить тетраэдр из треугольника, мы располагаем новую вершину над плоскостью треугольника и соединяем эту вершину со всеми тремя вершинами исходного треугольника.
Номер данного размерного элемента в тетраэдре теперь представляет собой сумму двух чисел: сначала номер этого элемента, найденного в исходном треугольнике, плюс количество новых элементов, каждый из которых построен на элементах на одно меньшее измерение от исходного. оригинальный треугольник . Таким образом, в тетраэдре количество ячеек (многогранных элементов) равно 0 + 1 = 1 ; количество граней 1 + 3 = 4 ; количество ребер 3 + 3 = 6 ; количество новых вершин 3 + 1 = 4 . Этот процесс суммирования количества элементов данного измерения с элементами меньшего измерения, чтобы получить количество первых, найденных в следующем более высоком симплексе, эквивалентен процессу суммирования двух соседних чисел в строке треугольника Паскаля, чтобы получить номер ниже. Таким образом, значение последнего числа (1) в строке треугольника Паскаля становится понятным как представляющее новую вершину, которая должна быть добавлена к симплексу, представленному этой строкой, чтобы получить следующий более высокий симплекс, представленный следующей строкой. Эта новая вершина присоединяется к каждому элементу в исходном симплексе, чтобы получить новый элемент одного более высокого измерения в новом симплексе, и это источник шаблона, который оказался идентичным узору в треугольнике Паскаля. «Дополнительный» 1 в ряду можно представить как симплекс -1, уникальный центр симплекса, который когда-либо дает начало новой вершине и новому измерению, давая новый симплекс с новым центром.
Количество элементов гиперкубов
Аналогичная картина наблюдается в отношении квадратов , а не треугольников. Чтобы найти образец, нужно построить аналог треугольника Паскаля, элементы которого являются коэффициентами ( x + 2) номера строки вместо ( x + 1) номера строки . Есть несколько способов сделать это. Более простой вариант - начать с строки 0 = 1 и строки 1 = 1, 2. Приступайте к построению аналоговых треугольников в соответствии со следующим правилом:
То есть выберите пару чисел в соответствии с правилами треугольника Паскаля, но перед сложением удвойте число слева. Это приводит к:
Другой способ изготовления этого треугольника - начать с треугольника Паскаля и умножить каждую запись на 2 k , где k - позиция в строке данного числа. Например, второе значение в строке 4 треугольника Паскаля равно 6 (наклон единиц соответствует нулевой записи в каждой строке). Чтобы получить значение, которое находится в соответствующей позиции в аналоговом треугольнике, умножьте 6 на 2. Число позиций = 6 × 2 2 = 6 × 4 = 24 . Теперь, когда аналоговый треугольник построен, количество элементов любого измерения, составляющих куб произвольного размера (называемый гиперкубом ), можно считать из таблицы аналогично треугольнику Паскаля. Например, количество 2-мерных элементов в 2-мерном кубе (квадрате) равно единице, количество 1-мерных элементов (сторон или линий) равно 4, а количество 0-мерных элементов (точек, или вершин) равно 4. Это соответствует второй строке таблицы (1, 4, 4). Куб имеет 1 куб, 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, что соответствует следующей строке аналогового треугольника (1, 6, 12, 8). Этот образец продолжается бесконечно.
Чтобы понять, почему существует этот шаблон, сначала осознайте, что построение n -куба из ( n - 1) -куба выполняется простым дублированием исходной фигуры и смещением ее на некоторое расстояние (для обычного n -куба длина ребра ), ортогональной пространству исходной фигуры, затем соединяя каждую вершину новой фигуры с соответствующей ей вершиной оригинала. Этот начальный процесс дублирования является причиной того, почему, чтобы перечислить размерные элементы n -куба, нужно удвоить первое из пары чисел в строке этого аналога треугольника Паскаля, прежде чем суммировать, чтобы получить число, указанное ниже. Таким образом, начальное удвоение дает количество «исходных» элементов, которые можно найти в следующем более высоком n -кубе, и, как и прежде, новые элементы строятся на элементах меньшего размера (ребра на вершинах, грани на ребрах и т. Д.). Опять же, последнее число в строке представляет количество новых вершин, которые должны быть добавлены для создания следующего более высокого n -куба.
В этом треугольнике сумма элементов строки m равна 3 m . Опять же, чтобы использовать элементы строки 4 в качестве примера: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 , что равно.
Подсчет вершин в кубе по расстоянию
Каждая строка треугольника Паскаля дает количество вершин на каждом расстоянии от фиксированной вершины в n- мерном кубе. Например, в трех измерениях третья строка (1 3 3 1) соответствует обычному трехмерному кубу : фиксируя вершину V , одна вершина находится на расстоянии 0 от V (то есть сама V ), три вершины на расстояние 1, три вершины на расстоянии √ 2 и одна вершина на расстоянии √ 3 (вершина напротив V ). Вторая строка соответствует квадрату, а строки с большими номерами соответствуют гиперкубам в каждом измерении.
Преобразование Фурье sin ( x ) n +1 / x
Как было сказано ранее, коэффициенты при ( x + 1) n являются n -й строкой треугольника. Теперь коэффициенты при ( x - 1) n те же самые, за исключением того, что знак меняется с +1 на -1 и обратно. После подходящей нормализации тот же образец чисел встречается в преобразовании Фурье sin ( x ) n +1 / x . Точнее: если n четно, возьмите действительную часть преобразования, а если n нечетно, возьмите мнимую часть . Тогда результатом является ступенчатая функция , значения которой (подходящим образом нормированные) задаются n- й строкой треугольника с чередующимися знаками. [21] Например, значения ступенчатой функции, которая получается из:
составить 4-й ряд треугольника, чередуя знаки. Это обобщение следующего основного результата (часто используемого в электротехнике ):
- функция товарного вагона . [22] Соответствующая строка треугольника - это строка 0, которая состоит только из числа 1.
Если n конгруэнтно 2 или 3 по модулю 4, то знаки начинаются с -1. Фактически, последовательность (нормализованных) первых членов соответствует степеням i , которые циклически повторяются вокруг пересечения осей с единичной окружностью в комплексной плоскости:
Расширения
Треугольник Паскаля можно расширить до отрицательных номеров строк.
Сначала напишите треугольник в следующем виде:
м п | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Затем вытяните столбец единиц вверх:
м п | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|
−4 | 1 | ... | |||||
−3 | 1 | ... | |||||
−2 | 1 | ... | |||||
−1 | 1 | ... | |||||
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Теперь правило:
можно изменить на:
что позволяет вычислить другие записи для отрицательных строк:
м п | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|
−4 | 1 | −4 | 10 | −20 | 35 год | −56 | ... |
−3 | 1 | −3 | 6 | −10 | 15 | −21 | ... |
−2 | 1 | −2 | 3 | −4 | 5 | −6 | ... |
−1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | ... |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Это расширение сохраняет свойство, состоящее в том, что значения в m- м столбце, рассматриваемые как функция от n , соответствуют многочлену порядка m , а именно
- .
Это расширение также сохраняет свойство, что значения в n- й строке соответствуют коэффициентам (1 + x ) n :
Например:
Если рассматривать как серию, строки отрицательного n расходятся. Однако они по-прежнему суммируемы по Абелю , и суммирование дает стандартные значения 2 n . (Фактически, строка n = -1 приводит к ряду Гранди, который «суммируется» до 1/2, а строка n = -2 приводит к другому хорошо известному ряду, в котором сумма Абеля равна 1/4.)
Другой вариант расширения треугольника Паскаля на отрицательные строки - это удлинение второй строки единиц:
м п | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
−4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
−3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | |
−2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | ||
−1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | |||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Применение того же правила, что и раньше, приводит к
м п | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
−4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
−3 | −3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
−2 | 3 | −2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
−1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | .. |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Это расширение также обладает такими же свойствами, как и
у нас есть
Точно так же, как суммирование по диагонали от нижнего левого угла к верхнему правому диагонали матрицы Паскаля дает числа Фибоначчи , этот второй тип расширения по-прежнему суммируется с числами Фибоначчи для отрицательного индекса.
Любое из этих расширений может быть достигнуто, если мы определим
и возьмем определенные пределы гамма-функции ,.
Смотрите также
- Бобовый автомат , "quincunx" Фрэнсиса Гальтона
- Треугольник колокола
- Треугольник Бернулли
- Биномиальное разложение
- Треугольник Эйлера
- Треугольник Флойда
- Гауссов биномиальный коэффициент
- Хоккейная клюшка
- Гармонический треугольник Лейбница
- Кратности вхождений в треугольнике Паскаля (гипотеза Сингмастера)
- Матрица Паскаля
- Пирамида паскаля
- Симплекс Паскаля
- Протонный ЯМР , одно применение треугольника Паскаля
- (2,1) -Треугольник Паскаля
- Теорема о звезде Давида
- Трехчленное разложение
- Трехчленный треугольник
Рекомендации
- ^ Морис Винтерниц, История индийской литературы , Vol. III
- ^ Б Кулидж, JL (1949), "История биномиальной теоремы", Американский Математический Месячный , 56 (3): 147-157, DOI : 10,2307 / 2305028 , JSTOR 2305028 , MR 0028222.
- ^ Питер Фокс (1998). Библиотека Кембриджского университета: большие коллекции . Издательство Кембриджского университета. п. 13. ISBN 978-0-521-62647-7.
- ^ Биномиальный коэффициентобычно устанавливается равным нулю, если k меньше нуля или больше n .
- ^ AWF Эдвардс. Арифметический треугольник Паскаля: история математической идеи. JHU Press, 2002. Страницы 30–31.
- ^ Б с д е е г ч I Эдвардс, AWF (2013), «Арифметический треугольник», Уилсон, Робин; Уоткинс, Джон Дж. (Ред.), Комбинаторика: древнее и современное , Oxford University Press, стр. 166–180..
- ^ Александр Завайра; Гэвин Хичкок (2008). Букварь для олимпиад по математике . Издательство Оксфордского университета. п. 237. ISBN. 978-0-19-156170-2.
- ^ Селин, Хелайн (12 марта 2008 г.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Springer Science & Business Media. п. 132. Bibcode : 2008ehst.book ..... S . ISBN 9781402045592.
- ^ Развитие арабской математики между арифметикой и алгеброй - Р. Рашед "Страница 63"
- ^ Сидоли, Натан; Браммелен, Глен Ван (30 октября 2013 г.). Из Александрии через Багдад: Обзоры и исследования в области древнегреческих и средневековых исламских математических наук в честь Дж . Л. Берггрена . Springer Science & Business Media. п. 54. ISBN 9783642367366.
- ^ Кеннеди, Э. (1966). Омар Хайям. Учитель математики 1958 . Национальный совет учителей математики. С. 140–142. JSTOR i27957284 .
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. (2003). CRC краткая энциклопедия математики , стр. 2169. ISBN 978-1-58488-347-0 .
- ^ Хьюз, Варнава (1 августа 1989 г.). «Арифметический треугольник Иордана де Немора». Historia Mathematica . 16 (3): 213–223. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (89) 90018-9 .
- ^ Смит, Карл Дж. (2010), Природа математики , Cengage Learning, стр. 10, ISBN 9780538737586.
- ^ Фаулер, Дэвид (январь 1996). «Биномиальная функция коэффициента». Американский математический ежемесячник . 103 (1): 1–17. DOI : 10.2307 / 2975209 . JSTOR 2975209 .См., В частности, стр. 11.
- ^ Brothers, HJ (2012), «Нахождение e в треугольнике Паскаля», Mathematics Magazine , 85 : 51, doi : 10.4169 / math.mag.85.1.51 , S2CID 218541210.
- ^ Братья, HJ (2012), "треугольник Паскаля: Скрытое stor- е ", Математическая газета , 96 : 145-148, DOI : 10,1017 / S0025557200004204.
- ^ Фостер, Т. (2014), "Следы Нилаканты в в треугольнике Паскаля", учителя математики , 108 : 247, DOI : 10,5951 / mathteacher.108.4.0246
- ^ Хорошо, штат Нью - Джерси (1947), "Коэффициенты биномиальных по простому модулю", Американский математический в месяц , 54 (10): 589-592, DOI : 10,2307 / 2304500 , JSTOR 2304500 , МР 0023257. См., В частности, теорему 2, которая обобщает этот факт для всех простых модулей.
- ^ Hinz, Andreas M. (1992), "треугольник Паскаля и Башня Ханоя", Американский Математический Месячный , 99 (6): 538-544, DOI : 10,2307 / 2324061 , JSTOR 2324061 , MR 1166003. Хинц связывает это наблюдение с книгой Эдуарда Лукаса 1891 года « Теория номбров» (стр. 420).
- ^ Для аналогичного примера см., Например, Хор, П.Дж. (1983), «Подавление растворителем в ядерном магнитном резонансе с преобразованием Фурье», Journal of Magnetic Resonance , 55 (2): 283–300, Bibcode : 1983JMagR..55..283H , doi : 10.1016 / 0022-2364 ( 83) 90240-8.
- ^ Карл, Джон Х. (2012), Введение в цифровую обработку сигналов , Elsevier, стр. 110, ISBN 9780323139595.
Внешние ссылки
- "Треугольник Паскаля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Паскаля» . MathWorld .
- Схема семи квадратов умножения по старинному методу (из Ссу Юань Юй Цзянь из Чу Ши-Цзе, 1303 г., изображающая первые девять рядов треугольника Паскаля)
- Трактат Паскаля об арифметическом треугольнике (изображения страниц трактата Паскаля, 1654 г .; резюме )