Колмогорова-Арнольда-Мозера ( КАМ ) теорема является результатом в динамических системах по поводу сохранения квазипериодических движений при малых возмущениях. Теорема частично решает проблему малого делитель , который возникает в теории возмущений в классической механике .
Проблема в том, приводит ли небольшое возмущение консервативной динамической системы к длительной квазипериодической орбите . Первоначальный прорыв в этой проблеме был сделан Андреем Колмогоровым в 1954 г. [1] Это было строго доказано и расширено Юргеном Мозером в 1962 г. [2] (для гладких твист-отображений ) и Владимиром Арнольдом в 1963 г. [3] (для аналитических гамильтоновых систем) ), и общий результат известен как теорема КАМ.
Арнольд первоначально думал, что эта теорема может применяться к движениям Солнечной системы или другим примерам задачи о n телах , но оказалось, что она работает только для задачи трех тел из-за вырождения в его формулировке задачи для более широких масштабов. количество тел. Позже Габриэлла Пинзари показала, как устранить это вырождение, разработав инвариантную относительно вращения версию теоремы. [4]
Заявление
Интегрируемые гамильтоновы системы
Теорема ОК обычно формулируются в терминах траекторий в фазовом пространстве в качестве интегрируемой гамильтоновой системы . Движение интегрируемой системы ограничено инвариантным тором ( поверхностью в форме бублика ). Различные начальные условия по интегрируемой гамильтоновой системе будут отслеживать другие инвариантные торы в фазовом пространстве. Построение координат интегрируемой системы показало бы, что они квазипериодичны.
Возмущения
Теорема КАМ утверждает, что если система подвергается слабому нелинейному возмущению , некоторые из инвариантных торов деформируются и выживают [ требуется пояснение ] , в то время как другие разрушаются. [ требуется пояснение ] Выжившие торы удовлетворяют условию нерезонанса , т. е. они имеют «достаточно иррациональные» частоты. Это означает, что движение [ какое? ] продолжает оставаться квазипериодическим с изменением независимых периодов (как следствие условия невырожденности). Теорема КАМ количественно определяет уровень возмущения, которое может быть применено для того, чтобы это было правдой.
Те КИ тора , которые разрушаются возмущения становятся инвариантными множествами Cantor , названный Cantori по Ian C. Персиваль в 1979 году [5]
Условия нерезонансности и невырожденности теоремы КАМ становятся все труднее выполнять для систем с большим количеством степеней свободы. С увеличением числа измерений системы объем, занимаемый торами, уменьшается.
По мере увеличения возмущения и распада гладких кривых мы переходим от теории КАМ к теории Обри – Мезера, которая требует менее строгих гипотез и работает с множествами типа Кантора.
Существование КАМ-теоремы для возмущений квантовых интегрируемых систем многих тел все еще остается открытым вопросом, хотя считается, что сколь угодно малые возмущения разрушат интегрируемость в пределе бесконечного размера.
Последствия
Важным следствием теоремы КАМ является то, что для большого набора начальных условий движение остается постоянно квазипериодическим. [ какой? ]
Теория КАМ
Методы, введенные Колмогоровым, Арнольдом и Мозером, превратились в большое количество результатов, связанных с квазипериодическими движениями, теперь известных как теория КАМ . Примечательно, что он был расширен на негамильтоновы системы (начиная с Мозера), на непертурбативные ситуации (как в работе Майкла Германа ) и на системы с быстрыми и медленными частотами (как в работе Михаила Б. Севрюка ). .
Смотрите также
Заметки
- ↑ А. Н. Колмогоров, «О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона», «О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона», Докл. Акад. АН СССР 98 (1954).
- ^ Дж. Мозер, "Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь", Nachr. Акад. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1962 (1962), 1–20.
- ↑ В.И. Арнольд, Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом возмущении гамильтониана [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике], Успехи матем. Наук 18 (1963) (английский перевод.: Расс Математика Surv... 18 , 9--36, DOI: 10,1070 / RM1963v018n05ABEH004130).
- ^ Хесин, Борис (24 октября 2011), Colliander, Джеймс (ред . ), «Приложение к Мемориальной Workshop Арнольд: Хесин на разговоры Пынзарь в» , Блог Джеймса Колляндер в , архивируются с оригинала на 29 марта 2017 года , получен 29 марта, 2017 г.
- ^ Персиваль, IC (1979-03-01). «Вариационный принцип для инвариантных торов фиксированной частоты». Журнал физики A: математический и общий . 12 (3): L57 – L60. Bibcode : 1979JPhA ... 12L..57P . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 12/3/001 .
Рекомендации
- Арнольд, Вайнштейн, Фогтманн. Математические методы классической механики , 2-е изд., Приложение 8: Теория возмущений условно-периодического движения и теорема Колмогорова. Springer 1997.
- Уэйн, К. Юджин (январь 2008 г.). «Введение в теорию КАМ» (PDF) . Препринт : 29 . Проверено 20 июня 2012 года .
- Юрген Пешель (2001). «Лекция по классической КАМ-теореме» (PDF) . Труды симпозиумов по чистой математике . 69 : 707–732. CiteSeerX 10.1.1.248.8987 . DOI : 10.1090 / pspum / 069/1858551 . ISBN 9780821826829.
- Рафаэль де ла Ллав (2001) Учебное пособие по теории КАМ .
- Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера" . MathWorld .
- Теория КАМ: наследие статьи Колмогорова 1954 г.
- Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера из Scholarpedia
- H Скотт Дюма. История КАМ - дружеское введение в содержание, историю и значение классической теории Колмогорова – Арнольда – Мозера , 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3 . Глава 1 Введение