В математике , в области функционального анализа , неопределенное внутреннее пространство продукта
является бесконечномерным комплексным векторным пространством оснащен как неопределенным внутренним продуктом
и положительный полуопределенный внутренний продукт
где метрический оператор является эндоморфизмом из подчиняться
Само неопределенное внутреннее пространство продукта не обязательно является гильбертовым пространством ; но существование положительного полуопределенного внутреннего продукта наподразумевает, что можно сформировать фактор-пространство, на котором есть положительно определенный внутренний продукт. Учитывая достаточно сильную топологию этого фактор-пространства, оно имеет структуру гильбертова пространства, и многие объекты, представляющие интерес для типичных приложений, попадают в это фактор-пространство.
Неопределенное внутреннее пространство продукта называется пространством Крейна (или-пространство ), если положительно определен и обладает мажорантной топологией . Пространства Крейна названы в честь советского математика Марка Григорьевича Крейна (3 апреля 1907 г. - 17 октября 1989 г.).
Внутренние продукты и метрический оператор
Рассмотрим комплексное векторное пространство снабжена неопределенной эрмитовой формой . В теории пространств Крейна такую эрмитову форму принято называть неопределенным внутренним продуктом . Следующие подмножества определены в терминах нормы квадрата, индуцированной неопределенным внутренним произведением:
- («нейтральный»)
- ("положительный")
- («отрицательный»)
- («неотрицательный»)
- («неположительный»)
подпространством лежащий внутри называется нейтральным подпространством . Аналогично подпространство, лежащее внутри () называется положительным ( отрицательным ) полуопределенным , а подпространство, лежащее внутри () называется положительно ( отрицательно ) определенным . Подпространство в любой из вышеперечисленных категорий можно назвать полуопределенным , а любое подпространство, которое не является полуопределенным, называется неопределенным .
Пусть наше неопределенное внутреннее пространство продукта также имеет разложение на пару подпространств , называемое фундаментальным разложением , которое учитывает сложную структуру на. Следовательно, соответствующие операторы линейного проектирования совпадают с тождеством на и уничтожить , и они коммутируют с умножением на сложной структуры. Если это разложение таково, что а также , тогда называется неопределенным внутренним пространством продукта ; если, тогда называется пространством Крейна при условии существования мажорантной топологии на (локально выпуклая топология, в которой внутренний продукт непрерывен).
оператор называется метрическим оператором (реальной фазы) или фундаментальной симметрией и может использоваться для определения внутреннего произведения Гильберта :
В пространстве Крейна скалярное произведение Гильберта положительно определено, что дает структура гильбертова пространства (при подходящей топологии). Под более слабым ограничением, некоторые элементы нейтрального подпространства может по-прежнему быть нейтральным во внутреннем произведении Гильберта, но многие из них не являются Например, подпространства являются частью нейтрального подпространства скалярного произведения Гильберта, потому что элемент подчиняется . Но элемент () который лежит в так как будет иметь положительную квадратную норму под внутренним произведением Гильберта.
Отметим, что определение неопределенного скалярного произведения как эрмитовой формы подразумевает, что:
(Примечание: это неверно для комплекснозначных эрмитовых форм. Это дает только действительную часть.) Следовательно, неопределенное внутреннее произведение любых двух элементов которые отличаются только элементом равна квадрату нормы их среднего . Следовательно, внутренний продукт любого ненулевого элемента с любым другим элементом должен быть равен нулю, иначе мы сможем построить некоторые чей внутренний продукт с имеет неправильный знак, чтобы быть квадратной нормой .
Подобные рассуждения о внутреннем произведении Гильберта (которое может быть продемонстрировано как эрмитова форма, поэтому оправдывает название "внутренний продукт") приводят к заключению, что его нейтральное пространство в точности совпадает с , что элементы этого нейтрального пространства имеют нулевое гильбертово скалярное произведение с любым элементом из , и что скалярное произведение Гильберта положительно полуопределено. Следовательно, он индуцирует положительно определенный внутренний продукт (также обозначаемый) на факторпространстве , которая представляет собой прямую сумму . Таким образомявляется гильбертовым пространством (при подходящей топологии).
Свойства и приложения
Пространства Крейна возникают естественным образом в ситуациях, когда неопределенное внутреннее произведение обладает аналитически полезным свойством (таким как лоренц-инвариантность ), которого не хватает внутреннему произведению Гильберта. Также часто один из двух внутренних продуктов, обычно неопределенный, определяется глобально на многообразии, а другой зависит от координат и, следовательно, определяется только в локальном разделе.
Во многих приложениях положительный полуопределенный внутренний продукт зависит от выбранного фундаментального разложения, которое, в общем случае, не единственно. Но можно показать (например, см. Предложения 1.1 и 1.2 в статье Х. Лангера ниже), что любые два метрических оператора а также совместим с тем же неопределенным внутренним продуктом на приводят к гильбертовым пространствам а также чьи разложения а также имеют равные размеры. Хотя скалярные произведения Гильберта на этих фактор-пространствах, как правило, не совпадают, они индуцируют одинаковые квадратные нормы в том смысле, что квадратные нормы классов эквивалентности а также в который данный падения равны. Все топологические понятия в пространстве Крейна, такие как непрерывность , замкнутость множеств и спектр оператора на, понимаются относительно этой топологии гильбертова пространства .
Изотропная часть и вырожденные подпространства
Позволять , , быть подпространствами . подпространством для всех называется ортогональным спутник из, а также является изотропной частью. Если, называется невырожденным ; в противном случае он вырожден . Если для всех , то два подпространства называются ортогональными , и мы пишем. Если где , мы пишем . Если, кроме того, это прямая сумма , запишем.
Понтрягина пространство
Если , пространство Крейна называется пространством Понтрягина или- космос . (Обычно неопределенному внутреннему продукту присваивается знак, который делает конечно.) В этом случае известен как числа положительных квадратов из. Пространства Понтрягина названы в честь Льва Семеновича Понтрягина .
Оператор Песонена
Симметричный оператор A на неопределенном внутреннем пространстве продукта K с областью определения K называется оператором Песонена, если ( x , x ) = 0 = ( x , Ax ) влечет x = 0.
Рекомендации
- Азизов, Т.Я .; Иохвидов, И.С.: Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой , John Wiley & Sons, Чичестер, 1989, ISBN 0-471-92129-7 .
- Богнар, Дж.: Неопределенные внутренние пространства продукта , Springer-Verlag, Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк, 1974, ISBN 3-540-06202-5 .
- Лангер, Х. (2001) [1994], "Пространство Крейна" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Лангер, Х.: Спектральные функции определимых операторов в пространствах Крейна , Труды функционального анализа конференции, состоявшейся в Дубровнике, Югославия, 2-14 ноября 1981 г., Лекционные заметки по математике, 948 , Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1982, 1-46, ISSN 0075-8434 .
- Никольский, НК; Павлов, Б.С. (2001) [1994], "Гильбертово пространство с индефинитной метрикой" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Никольский, НК; Павлов, Б.С. (2001) [1994], "Пространство Понтрягина" , Энциклопедия математики , EMS Press