Тензор Ланцоша

Тензор Ланцош или Ланцош потенциал является тензором ранга 3 в ОТО , что порождает тензор Вейля . ^[1] Впервые он был введен Корнелиусом Ланцошем в 1949 году. ^[2] Теоретическая важность тензора Ланцоша заключается в том, что он служит калибровочным полем для гравитационного поля точно так же, как, по аналогии, четырех-электромагнитный потенциал генерирует электромагнитное поле . ^{[3] [4]}

Определение [ править ]

Тензор Ланцоша можно определить несколькими способами. Наиболее распространенное современное определение - через уравнения Вейля – Ланцоша, которые демонстрируют порождение тензора Вейля из тензора Ланцоша. ^[4] Эти уравнения, представленные ниже, были даны Такено в 1964 году. ^[1] Первоначально Ланцош ввел тензор в виде множителя Лагранжа ^{[2] [5]} на условиях ограничений, изученных в вариационном подходе к общей теории относительности . ^[6] При любом определении тензор Ланцоша H обладает следующими симметриями:

${\ displaystyle H_ {abc} + H_ {bac} = 0, \,}$

${\ displaystyle H_ {abc} + H_ {bca} + H_ {cab} = 0.}$

Тензор Ланцоша всегда существует в четырех измерениях ^[7], но не обобщается на более высокие измерения. ^[8] Это подчеркивает особенность четырех измерений . ^[3] Отметим далее, что полный тензор Римана, как правило, не может быть получен только из производных потенциала Ланцоша. ^{[7] [9]} полевые уравнения Эйнштейна должны обеспечить тензор Риччи для завершения компоненты Риччи разложения .

Поле Кертрайта имеет динамику калибровочного преобразования, аналогичную динамике тензора Ланцоша. Но поле Кертрайта существует в произвольных размерах> 4D. ^[10]

Уравнения Вейля – Ланцоша [ править ]

Уравнения Вейля – Ланцоша полностью выражают тензор Вейля как производные от тензора Ланцоша: ^[11]

${\displaystyle C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+(H^{e}{}_{(ac);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{bd}+(H^{e}{}_{(bd);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{ac}-(H^{e}{}_{(ad);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{bc}-(H^{e}{}_{(bc);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{ad}-{\frac {2}{3}}H^{ef}{}_{f;e}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})}$

где - тензор Вейля, точка с запятой обозначает ковариантную производную , а нижние скобки указывают на симметризацию . Хотя приведенные выше уравнения можно использовать для определения тензора Ланцоша, они также показывают, что он не уникален, а скорее имеет калибровочную свободу в аффинной группе . ^[12] Если - произвольное векторное поле , то уравнения Вейля – Ланцоша инвариантны относительно калибровочного преобразования${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle \Phi ^{a}}$

${\displaystyle H'_{abc}=H_{abc}+\Phi _{[a}g_{b]c}}$

где нижние скобки указывают на антисимметризацию . Часто удобным выбором является алгебраическая калибровка Ланцоша, которая устанавливает . Калибровку можно дополнительно ограничить с помощью дифференциальной калибровки Ланцоша . Такой выбор калибровки приводит уравнения Вейля – Ланцоша к более простому виду${\displaystyle \Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b},}$${\displaystyle H'_{ab}{}^{b}=0.}$${\displaystyle H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0}$

${\displaystyle C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+H^{e}{}_{ac;e}g_{bd}+H^{e}{}_{bd;e}g_{ac}-H^{e}{}_{ad;e}g_{bc}-H^{e}{}_{bc;e}g_{ad}.}$

Волновое уравнение [ править ]

Тензор потенциала Ланцоша удовлетворяет волновому уравнению ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box H_{abc}=&J_{abc}\\&{}-2{R_{c}}^{d}H_{abd}+{R_{a}}^{d}H_{bcd}+{R_{b}}^{d}H_{acd}\\&{}+\left(H_{dbe}g_{ac}-H_{dae}g_{bc}\right)R^{de}+{\frac {1}{2}}RH_{abc},\end{aligned}}}$

где - оператор Даламбера и${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle J_{abc}=R_{ca;b}-R_{cb;a}-{\frac {1}{6}}\left(g_{ca}R_{;b}-g_{cb}R_{;a}\right)}$

известен как тензор Коттона . Так как тензор хлопка зависит только от ковариантных производных в тензором Риччи , он , возможно , может быть интерпретирована как своего рода тока вещества. ^[14] Дополнительные члены самосвязи не имеют прямого электромагнитного эквивалента. Эти члены самосвязи, однако, не влияют на вакуумные решения , где тензор Риччи обращается в нуль, а кривизна полностью описывается тензором Вейля. Таким образом, в вакууме уравнения поля Эйнштейна эквивалентны уравнению однородной волны в полной аналогии с уравнением волны вакуума${\displaystyle \Box H_{abc}=0,}$${\displaystyle \Box A_{a}=0}$электромагнитного четырехпотенциала. Это показывает формальное сходство между гравитационными волнами и электромагнитными волнами , причем тензор Ланцоша хорошо подходит для изучения гравитационных волн. ^[15]

В приближении слабого поля, где для тензора Ланцоша в калибровке Ланцоша удобная форма ^[14]${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$

${\displaystyle 4H_{abc}\approx h_{ac,b}-h_{bc,a}-{\frac {1}{6}}(\eta _{ac}{h^{d}}_{d,b}-\eta _{bc}{h^{d}}_{d,a}).}$

Пример [ править ]

Самый простой нетривиальный случай выражения тензора Ланцоша - это, конечно, метрика Шварцшильда . ^[4] Простейшим явным компонентным представлением в натуральных единицах для тензора Ланцоша в этом случае является

${\displaystyle H_{trt}={\frac {GM}{r^{2}}}}$

со всеми остальными компонентами, исчезающими с точностью до симметрии. Эта форма, однако, не входит в калибровку Ланцоша. Неисчезающие члены тензора Ланцоша в калибровке Ланцоша:

${\displaystyle H_{trt}={\frac {2GM}{3r^{2}}}}$

${\displaystyle H_{r\theta \theta }={\frac {-GM}{3(1-2GM/r)}}}$

${\displaystyle H_{r\phi \phi }={\frac {-GM\sin ^{2}\theta }{3(1-2GM/r)}}}$

Далее можно показать, даже в этом простом случае, что тензор Ланцоша, вообще говоря, не может быть сведен к линейной комбинации спиновых коэффициентов формализма Ньюмана – Пенроуза , что свидетельствует о фундаментальной природе тензора Ланцоша. ^[11] Аналогичные вычисления были использованы для построения произвольных решений Петрова типа D. ^[16]

См. Также [ править ]

• Тензор Баха
• Исчисление Риччи
• Тензор Схоутена
• тетрадное действие Палатини
• Самодвойственное действие Палатини

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Питер О'Доннелл, Введение в 2-спиноры в общей теории относительности . Мировой научный , 2003.