Случайная функция - либо одной переменных (а случайный процесс ), или два или более переменных (а случайное поле ) - называются гауссовской , если каждое конечно-мерное распределением является многомерным нормальным распределением . Гауссовские случайные поля на сфере полезны (например) при анализе
- аномалии космического микроволнового фонового излучения (см. [1] с. 8–9);
- изображения головного мозга, полученные с помощью позитронно-эмиссионной томографии (см. [1] с. 9–10).
Иногда значение гауссовой случайной функции отклоняется от ожидаемого значения на несколько стандартных отклонений . Это большое отклонение . Хотя они и редки в небольшой области (пространства и / или времени), большие отклонения могут быть вполне обычным явлением в большой области.
Базовая инструкция
Позволять - максимальное значение гауссовой случайной функции на (двумерной) сфере. Предположим, что ожидаемое значение является (в каждой точке сферы), а стандартное отклонение является (в каждой точке сферы). Тогда для больших, близко к , где распространяется ( стандартное нормальное распределение ) ипостоянная; это не зависит от, Но зависит от корреляционной функции от(см. ниже). Относительная погрешность аппроксимации экспоненциально убывает при больших.
Постоянная легко определить в важном частном случае, описанном в терминах производной по направлению отв заданной точке (сферы) в заданном направлении ( касательном к сфере). Производная случайна, с нулевым математическим ожиданием и некоторым стандартным отклонением. Последнее может зависеть от точки и направления. Однако если не зависит, то он равен (для сферы радиуса ).
Коэффициент перед фактически является эйлеровой характеристикой сферы (для тора она равна нулю).
Предполагается, что дважды непрерывно дифференцируемо ( почти наверняка ) и достигает максимума в одной точке (почти наверняка).
Подсказка: средняя эйлерова характеристика
Ключом к изложенной выше теории является эйлерова характеристика из набора всех точек (сферы) такие, что . Его ожидаемое значение (другими словами, среднее значение) можно вычислить явно:
(что далеко не тривиальна, и включает в себя теорему Пуанкаре-Хопфа , Гаусса-Бонне теорема , формула Райса и т.д.).
Набор является пустым множеством всякий раз, когда; в таком случае. В другом случае, когда, набор не пусто; его эйлерова характеристика может принимать различные значения в зависимости от топологии множества (количества связанных компонентов и возможных дыр в этих компонентах). Однако если большой и тогда набор обычно представляет собой небольшой, слегка деформированный диск или эллипс (что легко угадать, но довольно сложно доказать). Таким образом, его эйлерова характеристика обычно равно (учитывая, что ). Вот почему близко к .
Смотрите также
дальнейшее чтение
Основное утверждение, данное выше, является простым частным случаем гораздо более общей (и сложной) теории, сформулированной Адлером. [1] [2] [3] Подробное описание этого частного случая см. В лекциях Цирельсона. [4]
- ^ a b c Роберт Дж. Адлер, «О множествах экскурсий, формулах трубок и максимумах случайных полей», The Annals of Applied Probability 2000, Vol. 10, № 1, 1–74 . (Специальная приглашенная статья.)
- ^ Роберт Дж. Адлер, Джонатан Э. Тейлор, «Случайные поля и геометрия», Springer 2007. ISBN 978-0-387-48112-8
- ^ Роберт Дж. Адлер, "Некоторые новые инструменты случайного поля для пространственного анализа", arXiv: 0805.1031 .
- ↑ Лекции Б. Цирельсона (особенно, раздел 5).