Уравнение Лиувилля

Об уравнении Лиувилля в динамических системах см . Теорему Лиувилля (гамильтониан) .

Для уравнения Лиувилля в квантовой механике см. Уравнение фон Неймана .

Для уравнения Лиувилля в евклидовом пространстве см. Уравнение Лиувилля – Брату – Гельфанда .

В дифференциальной геометрии , уравнение Лиувилля , названный в честь Лиувилль , является нелинейное уравнение в частных производных удовлетворяет конформный множитель е метрического F ² (д х ²  + D у ² ) на поверхности постоянной гауссовой кривизны К :

${\displaystyle \Delta _{0}\log f=-Kf^{2},}$

где ∆ ₀ - плоский оператор Лапласа

${\displaystyle \Delta _{0}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}=4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}.}$

Уравнение Лиувилля появляется при изучении изотермических координат в дифференциальной геометрии: независимые переменные x, y являются координатами, а f можно описать как конформный фактор относительно плоской метрики. Иногда конформным фактором называют квадрат f ² , а не сам f .

Уравнение Лиувилля было также взято в качестве примера Давидом Гильбертом при формулировке своей девятнадцатой проблемы . ^[1]

Другие распространенные формы уравнения Лиувилля [ править ]

Используя замену переменных log  f  ↦  u , получается еще одна часто встречающаяся форма уравнения Лиувилля:

${\displaystyle \Delta _{0}u=-Ke^{2u}.}$

Две другие формы уравнения, обычно встречающиеся в литературе ^[2] , получаются с помощью небольшого варианта 2 log  f  ↦  u предыдущей замены переменных и исчисления Виртингера : ^[3] ${\displaystyle \Delta _{0}u=-2Ke^{u}\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}u}{{\partial z}{\partial {\bar {z}}}}}=-{\frac {K}{2}}e^{u}.}$

Отметим, что именно в первой из двух предыдущих форм уравнение Лиувилля было процитировано Давидом Гильбертом при формулировке своей девятнадцатой проблемы . ^{[1] [а]}

Формулировка с использованием оператора Лапласа-Бельтрами [ править ]

Более инвариантным образом уравнение может быть записано в терминах внутреннего оператора Лапласа – Бельтрами

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{f^{2}}}\Delta _{0}}$

следующим образом:

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }\log \;f=-K.}$

Свойства [ править ]

Связь с уравнениями Гаусса – Кодацци [ править ]

Уравнение Лиувилля является следствием уравнений Гаусса – Кодацци, когда метрика записывается в изотермических координатах .

Общее решение уравнения [ править ]

В односвязной области Ω общее решение уравнения Лиувилля может быть найдено с помощью исчисления Виртингера. ^[4] Его форма задается

${\displaystyle u(z,{\bar {z}})=\ln \left(4{\frac {\left|{\mathrm {d} f(z)}/{\mathrm {d} z}\right|^{2}}{(1+K\left|f(z)\right|^{2})^{2}}}\right)}$

где f  ( z ) - любая мероморфная функция такая, что

• d f/d z( z ) ≠ 0 для любого z  ∈ Ω . ^[4]
• f  ( z ) имеет не более чем простых полюсов в Ω . ^[4]

Заявление [ править ]

Уравнение Лиувилля может быть использовано для доказательства следующих результатов классификации поверхностей:

Теорема . ^[5] Поверхность в трехмерном евклидовом пространстве с метрикой d l ²  =  g ( z ,_z) д з д_z, а при постоянной скалярной кривизне K локально изометрично:

1. сфера , если K  > 0 ;
2. евклидова плоскость , если К  = 0 ;
3. плоскость Лобачевского , если К  <0 .

См. Также [ править ]

• Теория поля Лиувилля , двумерная конформная теория поля, классическое уравнение движения которой является обобщением уравнения Лиувилля

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Процитированные работы [ править ]