Узел Лиссажу

В теории узлов , Lissajous узел является узлом определяется параметрическими уравнениями вида

${\ displaystyle x = \ cos (n_ {x} t + \ phi _ {x}), \ qquad y = \ cos (n_ {y} t + \ phi _ {y}), \ qquad z = \ cos (n_ { z} t + \ phi _ {z}),}$

A Lissajous 8 ₂₁ узел

где , , и являются целые числа и фазовые сдвиги , и могут быть любые действительные числа . ^[1]${\ displaystyle n_ {x}}$${\ displaystyle n_ {y}}$${\ displaystyle n_ {z}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x}}$${\ displaystyle \ phi _ {y}}$${\ displaystyle \ phi _ {z}}$

Проекция узла Лиссажу на любую из трех координатных плоскостей является кривой Лиссажу , и многие свойства этих узлов тесно связаны со свойствами кривых Лиссажу.

Замена функции косинуса в параметризации треугольной волной изотопически преобразует каждый узел Лиссажу в бильярдную кривую внутри куба - простейший случай так называемых бильярдных узлов . Бильярдные узлы можно изучать и в других областях, например, в цилиндре ^[2] или в (плоском) полноторие ( торический узел Лиссажу ).

Форма [ править ]

Поскольку узел не может быть самопересекающимся, три целых числа должны быть попарно взаимно простыми , и ни одна из величин${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$

${\ displaystyle n_ {x} \ phi _ {y} -n_ {y} \ phi _ {x}, \ quad n_ {y} \ phi _ {z} -n_ {z} \ phi _ {y}, \ четырехъядерный n_ {z} \ phi _ {x} -n_ {x} \ phi _ {z}}$

может быть целым числом, кратным пи . Кроме того, сделав замену формы , можно предположить , что какой - либо из трех фазовых сдвигов , , равно нулю.${\ Displaystyle т '= т + с}$${\ displaystyle \ phi _ {x}}$${\ displaystyle \ phi _ {y}}$${\ displaystyle \ phi _ {z}}$

Примеры [ править ]

Вот несколько примеров узлов Лиссажу, ^[3] каждый из которых имеет :${\ displaystyle \ phi _ {z} = 0}$

• 

  Узел тройной скрутки
  ${\ displaystyle (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (3,2,7)}$
  ${\ displaystyle (\ phi _ {x}, \ phi _ {y}) = (0,7,0.2)}$

• 

  Стивидорный узел
  ${\ displaystyle (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (3,2,5)}$
  ${\ displaystyle (\ phi _ {x}, \ phi _ {y}) = (1.5,0.2)}$

• 

  Квадратный узел
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,5,7)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,1.0)}$

• 

  8 ₂₁ узел
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,4,7)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.1,0.7)}$

Существует бесконечно много различных узлов Лиссажу, ^[4] и другие примеры с 10 или меньшим количеством пересечений включают узел 7 _4, узел 8 _15, узел 10 _1, узел 10 _35, узел 10 ₅₈ и составной узел 5. ₂ ^*  # 5 ₂ , ^[1], а также узел 9 _16, узел 10 _76, узел 10 _99, узел 10 _122, узел 10 _144, узел бабушки и узел 5 ₂  # 5 ₂ . ^[5] Кроме того, известно, что всякий скрученный узел с нулевым инвариантом Арфа является узлом Лиссажу. ^[6]

Симметрия [ править ]

Лиссаж узлы высокой симметрии, хотя тип симметрии зависит от наличия или отсутствия чисел , и все нечетные.${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$

Странный случай [ править ]

Если , и все нечетные, то отражение точки через начало координат является симметрией узла Лиссажу, который сохраняет ориентацию узла.${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$

В общем, узел, который имеет точечную симметрию отражения, сохраняющую ориентацию, известен как сильно плюсовый амфифиральный узел . ^[7] Это довольно редкое свойство: только семь или восемь простых узлов с двенадцатью или меньшим количеством пересечений являются сильно плюсовыми амфикхейральными (10 ₉₉ , 10 ₁₂₃ , 12a427, 12a1019, 12a1105, 12a1202, 12n706 и еще не определившийся случай, 12a435). ^[8] Поскольку это очень редко, «большинство» простых узлов Лиссажу лежат в четном случае.

Даже случай [ править ]

Если одна из частот (скажем ) четная, то поворот на 180 ° вокруг оси x является симметрией узла Лиссажу. В общем, узел, обладающий симметрией этого типа, называется 2-периодическим , поэтому каждый четный узел Лиссажу должен быть 2-периодическим.${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,-y,-z)}$

Последствия [ править ]

Lissajous узел с тремя факторами: ,${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(4,5,41)}$
${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.01,0.16)}$

Симметрия узла Лиссажу накладывает серьезные ограничения на полином Александера . В нечетном случае многочлен Александера узла Лиссажу должен быть полным квадратом . ^[9] В четном случае многочлен Александера должен быть полным квадратом по модулю 2. ^[10] Кроме того, инвариант Арфа узла Лиссажу должен быть равен нулю. Это следует из того:

• Трилистник и восьмерка узел не Лиссаж.
• Никакой торический узел не может быть Лиссажу.
• Ни один расслоенный двухмостовой узел не может быть Лиссажу.

Ссылки [ править ]