Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теория доступных категорий - это часть математики , в частности теории категорий . Он пытается описать категории в терминах «размера» ( кардинального числа ) операций, необходимых для создания их объектов.

Теория берет свое начало в работах Гротендика, завершенных к 1969 г. [1], и Габриэля и Ульмера (1971). [2] Она была развита в 1989 году Майклом Маккаем и Робертом Паре, мотивированными теорией моделей , разделом математической логики . [3] Стандартный учебник Адамека и Росицки появился в 1994 году. [4] Доступные категории также имеют приложения в теории гомотопий . [5] [6] Гротендик продолжил развитие теории для теоретико-гомотопических целей в своей (до сих пор частично неопубликованной) рукописи Les dérivateurs 1991 года .[7] Некоторые свойства доступных категорий зависят от используемой совокупности множества, в частности, от кардинальных свойств и принципа Вопенки . [8]

-направленные копределы и -представляемые объекты [ править ]

Позвольте быть бесконечным регулярным кардиналом , то есть кардинальным числом , которое не является суммой меньшего числа меньших кардиналов; примерами являются ( алеф-0 ), первое бесконечное кардинальное число и первое несчетное кардинальное число). Частично упорядоченное множество называется -directed , если каждое подмножество из мощности меньше имеет верхнюю грань в . В частности, обычные направленные множества - это в точности -направленные множества.

Теперь позвольте быть категорией . Прямой предел (также известный как направленный копредела) над -directed набор называется -directed копредел . Объект из называется -presentable , если Hom функтор сохраняет все -directed копределы в . Понятно , что каждый -presentable объект также -presentable всякого раза , поскольку каждый -directed копредел также -directed копредела в этом случае. -Presentable объект называется конечно представим .

Примеры [ править ]

  • В категории « Набор всех множеств» конечно представимые объекты совпадают с конечными множествами. В -presentable объекты множества мощности меньше , чем .
  • В категории всех групп объект конечно представим тогда и только тогда, когда он является конечно определенной группой , т. Е. Если он имеет представление с конечным числом образующих и конечным числом отношений. Для бесчисленных регулярного , те -presentable объекты являются именно группами с кардинальным меньше .
  • В категории левых -модулей R {\displaystyle R} над некоторым (унитарным, ассоциативным) кольцом конечно представимые объекты - это в точности конечно определенные модули .

-доступные и локально представленные категории [ править ]

Категория называется -доступной при условии, что:

  • имеет всенаправленные копределы
  • содержит набор представимых объектов, так что каждый объект является направленным копределом объектов .

-Достижима категория называется конечно доступной . Категория называется доступной, если она -доступна для некоторого бесконечного регулярного кардинала . Когда доступная категория также является неполной , она называется локально презентабельной .

Функтор между -доступными категориями называется -доступным при условии, что сохраняет -направленные копределы.

Примеры [ править ]

  • Категория Set всех множеств и функций локально конечно представима, поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, а конечные множества конечно представимы.
  • Категория -Mod (левых) -модулей локально конечно представима для любого кольца .
  • Категория симплициальных множеств конечно доступна.
  • Категория Mod (T) моделей некоторой теории первого порядка T со счетной сигнатурой -доступна. -представимые объекты - это модели со счетным числом элементов.
  • Другие примеры локально презентабельных категорий финитные алгебраические категории (то есть категории , соответствующие многообразия алгебр в универсальной алгебре ) и категория гротендиковых .

Теоремы [ править ]

Можно показать, что каждая категория, представленная на местном уровне, тоже полная . [9] Кроме того, категория является локально представимой тогда и только тогда, когда она эквивалентна категории моделей предельного эскиза . [10]

Сопряженные функторы между локально представимыми категориями имеют особенно простую характеристику. Функтор между локально представимыми категориями:

  • является левым сопряженным тогда и только тогда, когда он сохраняет малые копределы,
  • является правым сопряженным тогда и только тогда, когда он сохраняет малые пределы и доступен.

Заметки [ править ]

  1. ^ Гротендик, Александр; и другие. (1972), Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas , Lecture Notes по математике 269, Springer
  2. ^ Габриэль, P; Ulmer, F (1971), Lokal Präsentierbare Kategorien , Lecture Notes по математике 221, Springer
  3. ^ Makkai, Майкл; Паре, Роберт (1989), Доступные категории: основы теории категориальных моделей , современная математика, AMS, ISBN 0-8218-5111-X
  4. ^ Адамек / Росицки 1994
  5. ↑ J. Rosický «О категориях комбинаторных моделей» , arXiv , 16 августа 2007 г. Проверено 19 января 2008 г.
  6. ^ Росицки, Дж. «Инъективность и доступные категории». Cubo Matem. Educ 4 (2002): 201-211.
  7. ^ Гротендик, Александр (1991), Les dérivateurs , Contemporary Mathematics, рукопись( Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Edité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis )
  8. ↑ Adamek / Rosický 1994, глава 6
  9. ↑ Adamek / Rosický 1994, примечание 1.56.
  10. ^ Адамек / Росицки 1994, следствие 1.52

Ссылки [ править ]

  • Адамек, Иржи; Росицки, Иржи (1994), Локально представимые и доступные категории , LNM Lecture Notes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42261-2