В математической логике , предикат является формализация математической концепции заявления . Утверждение обычно понимается как утверждение , которое может быть истинным или ложным , в зависимости от значений переменных , которые происходят в нем. Предикат является хорошо сформированной формулой , которая может быть оценена с истинным или ложным в зависимости от значений переменных , которые происходят в нем. Таким образом, ее можно рассматривать как булевозначную функцию .
Предикат состоит из атомарных формул, связанных логическими связками . Атомная формула является хорошо сформированной формулой некоторой математической теории. Основные логические связки являются отрицанием ( не или ¬ ), логическое соединение ( и , или ∧ ), логическая дизъюнкция ( или или ∨ ), экзистенциальным Количественным ( ∃ ) и универсальным количественные ( ∀ ); предикаты всегда истинны (обозначаются истинными или⊤ ) и всегда ложь (обозначается как ложь или ⊥ ) также обычно рассматриваются как логические связки.
Предикат, не содержащий кванторов ( ∃ или ∀ ), называется пропозициональной формулой . Предикат, все кванторы которого применяются к отдельным элементам, а не к наборам или предикатам, называется предикатом первого порядка .
Упрощенный обзор [ править ]
Неформально предикат, часто обозначаемый заглавными латинскими буквами, например , и , [1], является утверждением, которое может быть истинным или ложным в зависимости от значений его переменных. [2] Его можно рассматривать как оператор или функцию, которая возвращает значение, которое может быть истинным или ложным в зависимости от его ввода. [3] [4] Например, предикаты иногда используются для обозначения членства в множестве: говоря о множествах, иногда неудобно или невозможно описать множество, перечислив все его элементы. Таким образом, предикат P ( x ) будет истинным или ложным, в зависимости от того, принадлежит ли x множеству или нет.
Предикат может быть предложением, если заполнитель x определяется доменом или выбором.
Предикаты также обычно используются, чтобы говорить о свойствах объектов, определяя набор всех объектов, которые имеют некоторое общее свойство. Например, когда P предикат на X , то можно сказать , иногда P является собственностью из X . Точно так же обозначение P ( x ) используется для обозначения предложения или утверждения P относительно переменного объекта x . Множество , определяемое Р ( х ), называемый также расширение [5] из Р , записывается в виде { х | P (x )}, и представляет собой набор объектов, для которых верно P.
Например, { x | x - целое положительное число меньше 4} - это множество {1,2,3}.
Если t - элемент множества { x | P ( x )}, то верно утверждение P ( t ) .
Здесь Р ( х ) называется как предикат , а х в заполнитель в предложении . Иногда P ( x ) также называют ( шаблоном в роли) пропозициональной функцией , поскольку каждый выбор заполнителя x порождает пропозицию.
Простая форма предиката - это логическое выражение , и в этом случае входные данные выражения сами являются логическими значениями, объединенными с использованием логических операций. Точно так же логическое выражение с предикатами входных данных само по себе является более сложным предикатом.
Формальное определение [ править ]
Точная семантическая интерпретация атомарной формулы и атомарного предложения будет варьироваться от теории к теории.
- В логике высказываний атомарные формулы называются пропозициональными переменными . [6] В некотором смысле это нулевые (т. Е. Нулевые ) предикаты.
- В логике первого порядка атомарная формула состоит из символа предиката, применяемого к соответствующему количеству терминов.
- В теории множеств под предикатами понимаются характеристические функции или функции индикатора множества (т. Е. Функции от элемента множества до значения истинности ). Нотация создателя множеств использует предикаты для определения множеств.
- В аутоэпистемической логике , отвергающей закон исключенного третьего , предикаты могут быть истинными, ложными или просто неизвестными . В частности, данного набора фактов может быть недостаточно для определения истинности или ложности предиката.
- В нечеткой логике предикаты являются характеристическими функциями из с распределением вероятностей . То есть строгое определение истинности / ложности предиката заменяется величиной, интерпретируемой как степень истинности.
См. Также [ править ]
- Классификация топосов
- Свободные переменные и связанные переменные
- Многоступенчатый предикат
- Непрозрачный предикат
- Логика предикатного функтора
- Переменная предиката
- Носитель правды
- Правильная формула
Ссылки [ править ]
- ^ «Исчерпывающий список логических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-06 . Проверено 20 августа 2020 .
- Перейти ↑ Cunningham, Daniel W. (2012). Логическое введение в доказательство . Нью-Йорк: Спрингер. п. 29. ISBN 9781461436317.
- ^ Хаас, Гай М. «Что, если? (Предикаты)» . Введение в компьютерное программирование . Фонд Беркли за возможности в сфере ИТ (BFOIT). Архивировано из оригинального 13 августа 2016 года . Проверено 20 июля 2013 года .
- ^ «Математика | Предикаты и кванторы | Набор 1» . GeeksforGeeks . 2015-06-24 . Проверено 20 августа 2020 .
- ^ "Логика предикатов | Блестящая математика и наука Wiki" . brilliant.org . Проверено 20 августа 2020 .
- ^ Лавров Игорь Андреевич; Максимова, Лариса (2003). Проблемы теории множеств, математической логики и теории алгоритмов . Нью-Йорк: Спрингер. п. 52. ISBN 0306477122.
Внешние ссылки [ править ]
- Введение в предикаты
