В математике категория Люстерника – Шнирельмана (или категория Люстерника – Шнирельмана , LS-категория ) топологического пространства является гомотопическим инвариантом определяется как наименьшее целое числотак что есть открытое покрытие из со свойством, что каждая карта включения является nullhomotopic . Например, если сфера, принимает значение два.
Иногда принимается другая нормализация инварианта, которая на единицу меньше, чем определение выше. Такая нормализация была принята в окончательной монографии Корнеа, Луптона, Опреа и Танре (см. Ниже).
Вообще говоря, вычислить этот инвариант, который изначально был введен Лазаром Люстерником и Львом Шнирельманом в связи с вариационными задачами, непросто . Он имеет тесную связь с алгебраической топологией , в частности с длиной чашки . В современной нормализации длина чашки является нижней границей для LS-категории.
Это было, как первоначально определено для случая коллектор , нижняя граница для числа критических точек , что вещественная функция наможет обладать (это следует сравнить с результатом в теории Морса, который показывает, что сумма чисел Бетти является нижней оценкой числа критических точек функции Морса).
Инвариант обобщен в нескольких различных направлениях (действия групп, слоения , симплициальные комплексы и т. Д.).
Смотрите также
Рекомендации
- Ральф Х. Фокс , О категории Люстерника-Шнирельмана , Анналы математики 42 (1941), 333–370.
- Флорис Такенс , Минимальное число критических точек функции на компактных многообразиях и категория Люстерника-Шнирельмана , Inventiones Mathematicae 6 (1968), 197–244.
- Тюдор Ганеа , Некоторые проблемы числовых гомотопических инвариантов , Конспект лекций по математике. 249 (Springer, Берлин, 1971), стр. 13–22 MR 0339147
- Иоан Джеймс , О категории в смысле Люстерника-Шнирельмана , Топология 17 (1978), 331–348.
- Моника Клапп и Дитер Пуппе, Инварианты типа Люстерника-Шнирельмана и топология критических множеств , Труды Американского математического общества 298 (1986), вып. 2, 603–620.
- Октав Корнеа, Грегори Луптон, Джон Опреа, Даниэль Танре, категория Люстерника-Шнирельмана , Математические обзоры и монографии, 103. Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 2003 ISBN 0-8218-3404-5