Продукт (математика)

слагаемое + слагаемое

Арифметические операции v т е

Дополнение (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, + \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \, + \, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {addend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Вычитание (-) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\,{\text{subtrahend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{difference}}}$ Умножение (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}$ Деление (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}}$ Возведение в степень ${\displaystyle \scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}$ корень n- й степени (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{degree}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}$ Логарифм (журнал) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}$

В математике , А продукт является результатом умножения , или выражение , которое идентифицирует факторы должны быть умножены. Например, 30 - это произведение 6 и 5 (результат умножения) и произведение и (что указывает на то, что два множителя следует умножить вместе).${\displaystyle x\cdot (2+x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (2+x)}$

Порядок умножения действительных или комплексных чисел не имеет отношения к произведению; это известно как коммутативный закон умножения. Когда матрицы или члены различных других ассоциативных алгебр умножаются, произведение обычно зависит от порядка множителей. Например, умножение матриц некоммутативно, как и умножение в других алгебрах в целом.

В математике существует множество различных видов произведений: помимо умножения простых чисел, многочленов или матриц, можно также определять произведения на многих различных алгебраических структурах .

Произведение двух чисел [ править ]

Произведение двух натуральных чисел [ править ]

Размещение нескольких камней в прямоугольном узоре с рядами и столбцами дает${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}}$

камни.

Произведение двух целых чисел [ править ]

Целые числа допускают положительные и отрицательные числа. Их продукт определяется произведением их положительных количеств в сочетании со знаком, полученным из следующего правила:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}}$

(Это правило является необходимым следствием требования распределенности умножения над сложением и не является дополнительным правилом .)

На словах у нас есть:

• Минус, умноженный на Минус, дает Плюс
• Минус раз Плюс дает Минус
• Плюс раз минус дает минус
• Плюс раз Плюс дает Плюс

Произведение двух дробей [ править ]

Две дроби можно умножить, умножив их числители и знаменатели:

${\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}}$

Произведение двух действительных чисел [ править ]

Для строгого определения произведения двух действительных чисел см. Построение действительных чисел .

Формулы

Произведение двух комплексных чисел [ править ]

Два комплексных числа можно умножить с помощью закона распределения и того факта , что следующим образом:${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\cdot c\,i+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

Геометрический смысл сложного умножения [ править ]

Комплексные числа можно записать в полярных координатах :

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

Более того,

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

из которого получают

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

Геометрический смысл состоит в том, что величины умножаются и аргументы складываются.

Произведение двух кватернионов [ править ]

Произведение двух кватернионов можно найти в статье о кватернионах . Обратите внимание, что в этом случае и в целом разные.${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle b\cdot a}$

Произведение последовательности[ редактировать ]

Оператор произведения для произведения последовательности обозначается заглавной греческой буквой пи ∏ (по аналогии с использованием заглавной сигмы ∑ в качестве символа суммирования ). ^{[2] [3]} Например, выражение - это еще один способ написания . ^[4]${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}}$${\displaystyle 1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36}$

Результатом последовательности, состоящей только из одного числа, является само это число; произведение без каких-либо факторов называется пустым произведением и равно 1.

Коммутативные кольца [ править ]

Коммутативные кольца имеют производственную операцию.

Классы остатков целых чисел [ править ]

Могут быть добавлены классы остатков в кольцах :${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }$

и умножили:

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }$

Свертка [ править ]

Две функции от вещественного числа к себе можно перемножить другим способом, называемым сверткой .

Если

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

тогда интеграл

${\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

хорошо определена и называется сверткой.

При преобразовании Фурье свертка становится точечным умножением функций.

Кольца многочленов [ править ]

Произведение двух многочленов определяется следующим образом:

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

с участием

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}$

Произведения по линейной алгебре [ править ]

В линейной алгебре есть много разных видов произведений. Некоторые из них имеют сходные до степени смешения имена ( внешний продукт , внешний продукт ) с очень разными значениями, в то время как другие имеют очень разные имена (внешний продукт, тензорный продукт, продукт Кронекера) и, тем не менее, передают, по сути, ту же идею. Краткий обзор этого дается в следующих разделах.

Скалярное умножение [ править ]

По самому определению векторного пространства, можно образовать произведение любого скаляра с любым вектором, давая карту .${\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}$

Скалярное произведение [ править ]

Скалярное произведение является би-линейное отображение:

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

со следующими условиями, что для всех .${\displaystyle v\cdot v>0}$${\displaystyle 0\not =v\in V}$

Из скалярного произведения можно определить норму , позволив .${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$

Скалярное произведение также позволяет определить угол между двумя векторами:

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

В -мерном евклидовом пространстве стандартное скалярное произведение (называемое скалярным произведением ) определяется как:${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

Перекрестное произведение в трехмерном пространстве [ править ]

Векторное произведение двух векторов в 3- х измерениях является вектор , перпендикулярный к двум факторам, с длиной , равной площади параллелограмма , натянутого на двух факторов.

Перекрестное произведение также можно выразить как формальный ^[a] детерминант :

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Составление линейных отображений [ править ]

Линейное отображение можно определить как функцию f между двумя векторными пространствами V и W с нижележащим полем F , удовлетворяющим ^[5]

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

Если рассматривать только конечномерные векторные пространства, то

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

в которой б _V и б _W обозначим оснований из V и W , а v _я обозначает компонент из V на б _V ^я и Эйнштейна суммирования конвенции применяется.

Теперь рассмотрим композицию двух линейных отображений между конечномерными векторными пространствами. Пусть линейное отображение ф отображения V к W , и пусть линейное отображение г отображение W в U . Тогда можно получить

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

Или в матричной форме:

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,}$

в котором элемент i -строка, j -столбец в F , обозначенный F _ij , равен f ^j _i , а G _ij = g ^j _i .

Композицию более двух линейных отображений можно аналогичным образом представить цепочкой умножения матриц.

Произведение двух матриц [ править ]

Учитывая две матрицы

${\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ а также ${\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

их продукт дается

${\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

Композиция линейных функций в виде матричного произведения [ править ]

Существует связь между составом линейных функций и произведением двух матриц. Чтобы убедиться в этом, пусть r = dim (U), s = dim (V) и t = dim (W) - (конечные) размерности векторных пространств U, V и W. Пусть - базис U, - базис матрицы V и базисом W. В терминах этого базиса пусть будет матрица, представляющая f: U → V, и матрица, представляющая g: V → W. Тогда${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}}$${\displaystyle A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$${\displaystyle B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

${\displaystyle B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

матрица, представляющая .${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$

Другими словами: матричное произведение - это описание в координатах композиции линейных функций.

Тензорное произведение векторных пространств [ править ]

Для двух конечномерных векторных пространств V и W их тензорное произведение может быть определено как (2,0) -тензор, удовлетворяющий:

${\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},}$

где V ^* и W ^* обозначают двойные пробелы из V и W . ^[6]

Для бесконечномерных векторных пространств также есть:

• Тензорное произведение гильбертовых пространств
• Топологическое тензорное произведение .

Тензорное произведение, внешнее произведение и произведение Кронекера выражают одну и ту же общую идею. Различия между ними в том, что произведение Кронекера - это просто тензорное произведение матриц по отношению к ранее фиксированному базису, тогда как тензорное произведение обычно дается в его внутреннем определении . Внешний продукт - это просто произведение Кронекера, ограниченное векторами (вместо матриц).

Класс всех объектов с тензорным произведением [ править ]

В общем, всякий раз, когда есть два математических объекта, которые могут быть объединены таким образом, что ведет себя как тензорное произведение линейной алгебры, то это в большинстве случаев можно понимать как внутренний продукт моноидальной категории . То есть моноидальная категория точно передает смысл тензорного произведения; он точно отражает понятие того, почему тензорные произведения ведут себя именно так. Точнее, моноидальная категория - это класс всех вещей (данного типа ), которые имеют тензорное произведение.

Другие продукты по линейной алгебре [ править ]

Другие виды продуктов линейной алгебры включают:

• Произведение Адамара
• Кронекер продукт
• Произведение тензоров :
  • Продукт клина или внешний продукт
  • Интерьерный продукт
  • Внешний продукт
  • Тензорное произведение

Декартово произведение [ править ]

В теории множеств , декартово произведение представляет собой математическую операцию , которая возвращает набор (или набор продуктов ) из нескольких наборов. То есть, для множеств A и B , декартово произведение × B есть множество всех упорядоченных пар (а, б) -Гд в ∈ A и B ∈ B . ^[7]

Класс всех вещей (данного типа ), которые имеют декартовы произведения, называется декартовой категорией . Многие из них - декартовы закрытые категории . Наборы являются примером таких объектов.

Пустой продукт [ править ]

Пустой продукт на числах и большинство алгебраических структур имеет значение 1 (единичный элемент умножения), так же , как пустая сумма имеет значение 0 (единичный элемент дополнения). Однако концепция пустого продукта является более общей и требует специального рассмотрения в логике , теории множеств , компьютерном программировании и теории категорий .

Продукты по сравнению с другими алгебраическими структурами [ править ]

Продукты по сравнению с другими видами алгебраических структур включают:

• декартово произведение множеств
• прямое произведение групп , а также Полупрямое продукт , вяжут продукт и сплетение
• бесплатный продукт групп
• продукт колец
• произведение идеалов
• произведение топологических пространств ^[3]
• продукт Вика из случайных величин
• крышка , чашка , Massey и наклонная продукт в алгебраической топологии
• произведение разбивающего элемента и сумма клина (иногда называемая произведением клина) в гомотопии

Некоторые из вышеперечисленных продуктов являются примерами общего понятия внутреннего продукта в моноидальной категории ; остальные описываются общим понятием продукта в теории категорий .

Товары в теории категорий [ править ]

Все предыдущие примеры являются частными случаями или примерами общего понятия продукта. Для общей трактовки концепции продукта см. Продукт (теория категорий) , в котором описывается, как объединить два объекта определенного типа для создания объекта, возможно, другого типа. Но также в теории категорий есть:

• Волокнистый продукт или откат,
• категория продукта , категория , которая является продуктом категории.
• ультрапроизведение , в теории моделей .
• внутренний продукт из моноидальной категории , которая отражает суть тензорного произведения.

Другие продукты [ править ]

• Интеграл произведения функции (как непрерывный эквивалент произведения последовательности или как мультипликативная версия нормального / стандартного / аддитивного интеграла. Интеграл произведения также известен как «непрерывный продукт» или «множественный».
• Комплексное умножение , теория эллиптических кривых.

См. Также [ править ]

• Тензорное произведение Делиня абелевых категорий
• Неопределенный продукт
• Бесконечный продукт
• Итерированная бинарная операция
• Умножение  - арифметическая операция

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .