Численная линейная алгебра , иногда называемая прикладной линейной алгеброй , представляет собой исследование того, как матричные операции могут использоваться для создания компьютерных алгоритмов , которые эффективно и точно дают приблизительные ответы на вопросы непрерывной математики. Это подполе численного анализа и тип линейной алгебры . Компьютеры используют арифметику с плавающей запятой и не могут точно представлять иррациональные данные, поэтому, когда компьютерный алгоритм применяется к матрице данных, иногда это может увеличить разницу.между числом, хранящимся в компьютере, и истинным числом, приближением к которому оно является. Численная линейная алгебра использует свойства векторов и матриц для разработки компьютерных алгоритмов, которые минимизируют ошибку, вносимую компьютером, а также заботятся о том, чтобы алгоритм был максимально эффективным.
Численная линейная алгебра направлена на решение задач непрерывной математики с использованием компьютеров конечной точности, поэтому ее приложения в естественных и социальных науках столь же обширны, как и приложения непрерывной математики. Это часто является фундаментальной частью инженерных и вычислительных проблем, таких как обработка изображений и сигналов , телекоммуникации , вычислительные финансы , моделирование материаловедения , структурная биология , интеллектуальный анализ данных , биоинформатика и гидродинамика .. Матричные методы особенно используются в методах конечных разностей , методах конечных элементов и моделировании дифференциальных уравнений . Отмечая широкое применение численной линейной алгебры, Ллойд Н. Трефетен и Дэвид Бау, III утверждают, что она является «столь же фундаментальной для математических наук, как исчисление и дифференциальные уравнения», [1] : x даже при том, что это сравнительно небольшая область. [2] Поскольку многие свойства матриц и векторов также применимы к функциям и операторам, числовую линейную алгебру также можно рассматривать как тип функционального анализа , в котором особое внимание уделяется практическим алгоритмам. [1] : икс
Общие проблемы в числовой линейной алгебре включают получение матричных разложений, таких как разложение по сингулярным числам , QR-факторизация , LU-факторизация или собственное разложение , которые затем можно использовать для решения общих задач линейной алгебры, таких как решение линейных систем уравнений, нахождение собственных значений или оптимизация методом наименьших квадратов. Основная задача численной линейной алгебры — разработка алгоритмов, которые не вносят ошибок при применении к реальным данным на компьютере с конечной точностью, часто достигается с помощью итерационных методов, а не прямых.
Численная линейная алгебра была разработана пионерами в области вычислительной техники, такими как Джон фон Нейман , Алан Тьюринг , Джеймс Х. Уилкинсон , Алстон Скотт Хаусхолдер , Джордж Форсайт и Хайнц Рутисхаузер , чтобы применить самые ранние компьютеры к задачам непрерывной математики, таким как задачи баллистики и решения систем дифференциальных уравнений в частных производных . [2] Первая серьезная попытка минимизировать компьютерную ошибку при применении алгоритмов к реальным данным была сделана Джоном фон Нейманом и Германом Голдстайном в 1947 году. [3]Эта область расширилась по мере того, как технологии все чаще позволяли исследователям решать сложные задачи на чрезвычайно больших высокоточных матрицах, а некоторые численные алгоритмы приобретали известность, поскольку такие технологии, как параллельные вычисления, сделали их практическими подходами к научным проблемам. [2]