Максимум и минимум
В математическом анализе максимум и минимум [a] функции — это соответственно наибольшее и наименьшее значение , принимаемое функцией. Известные в общем как экстремумы , [b] они могут быть определены либо в заданном диапазоне ( локальные или относительные экстремумы), либо во всей области ( глобальные или абсолютные экстремумы) функции. [1] [2] [3] Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общий метод — адекватность — для нахождения максимумов и минимумов функций.
Согласно теории множеств , максимум и минимум набора — это наибольший и наименьший элементы набора соответственно. Неограниченные бесконечные множества , такие как набор действительных чисел , не имеют минимума или максимума.
Действительная функция f , определенная в области X , имеет глобальную (или абсолютную ) точку максимума.в точке x ∗ , если f ( x ∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X. Аналогично, функция имеет глобальную (или абсолютную ) точку минимума.в точке x ∗ , если f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) для всех x в X. Значение функции в точке максимума называетсямаксимальное значение функции обозначается, а значение функции в минимальной точке называетсяминимальное значение функции. Символически это можно записать так:
Если область X является метрическим пространством , то говорят, что f имеет локальную (или относительную ) точку максимума.в точке x ∗ , если существует такое ε > 0, что f ( x ∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ∗ . Аналогично функция имеет точку локального минимумав точке x ∗ , если f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ∗ . Аналогичное определение можно использовать, когда X является топологическим пространством , поскольку только что данное определение можно перефразировать в терминах окрестностей. Математически данное определение записывается следующим образом:
И в глобальном, и в локальном случаях концепцияможно определить строгий экстремум . Например,x∗— этострогая глобальная точка максимума, если для всехxвX, где x ≠ x ∗ , мы имеем f ( x ∗ ) > f ( x ), иx∗являетсяточка строгого локального максимума, если существует такое ε > 0, что для всехxвXна расстоянииεотx∗, где x ≠ x ∗ , мы имеем f ( x ∗ ) > f ( x ). Обратите внимание, что точка является строгой глобальной точкой максимума тогда и только тогда, когда она является уникальной глобальной точкой максимума, и аналогично для точек минимума.
Непрерывная действительная функция с компактной областью определения всегда имеет точку максимума и точку минимума. Важным примером является функция, областью определения которой является замкнутый и ограниченный интервал действительных чисел (см. график выше).