График Маккея

У этой статьи нечеткий стиль цитирования . Используемые ссылки можно сделать более ясными с помощью другого или последовательного стиля цитирования и сносок . ( Январь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Аффинные (расширенные) диаграммы Дынкина

В математике , то Маккей график конечного-мерное представление V конечной группы G представляет собой взвешенное колчан , кодирующий структуру теории представлений из G . Каждый узел представляет собой неприводимое представление G . Если являются неприводимыми представлениями группы G , то есть стрелка из в тогда и только тогда, когда является составной частью тензорного произведения . Тогда вес стрелки n _ij - это количество раз, в котором эта составляющая встречается . Для конечных подгрупп${\ displaystyle \ chi _ {i}, \ chi _ {j}}$${\ Displaystyle \ чи _ {я}}$${\ displaystyle \ chi _ {j}}$${\ displaystyle \ chi _ {j}}$ ${\ displaystyle V \ otimes \ chi _ {i}}$${\ displaystyle V \ otimes \ chi _ {i}}$Н из GL (2, C ), то Маккей граф H является Маккей график канонического представления H .

Если G имеет n неприводимых характеров, то матрица Картана c _V представления V размерности d определяется как , где δ - символ Кронекера . Результат от Steinberg утверждает , что если г является представителем класса сопряженных с G , то векторы являются собственными векторами гр _V к собственным значениям , где является характер представления V .${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij}}$${\displaystyle ((\chi _{i}(g))_{i}}$${\displaystyle d-\chi _{V}(g)}$${\displaystyle \chi _{V}}$

Соответствие Маккея, названное в честь Джона Маккея , утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между графами Маккея конечных подгрупп SL (2, C ) и расширенными диаграммами Дынкина , которые появляются в классификации ADE простых Алгебры Ли .

Определение

Пусть G - конечная группа, V - представление группы G и ее характер. Пусть неприводимые представления G . Если${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \{\chi _{1},\ldots ,\chi _{d}\}}$

${\displaystyle V\otimes \chi _{i}=\sum _{j}n_{ij}\chi _{j},}$

затем определите граф Маккея группы G относительно V следующим образом:${\displaystyle \Gamma _{G}}$

• Каждое неприводимое представление группы G соответствует узлу в .${\displaystyle \Gamma _{G}}$
• Если n _ij > 0, имеется стрелка от до веса n _ij , записанная как , а иногда и как n _ij немаркированных стрелок.${\displaystyle \chi _{i}}$${\displaystyle \chi _{j}}$${\displaystyle \chi _{i}{\xrightarrow {n_{ij}}}\chi _{j}}$
• Если n _ij = n _ji , мы обозначаем две противоположные стрелки между и как неориентированное ребро веса n _ij . Более того, если n _ij = 1, мы опускаем весовую метку.${\displaystyle \chi _{i}}$${\displaystyle \chi _{j}}$

Мы можем вычислить значение n _ij, используя внутреннее произведение для символов : ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle n_{ij}=\langle V\otimes \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}V(g)\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}.}$

Граф Маккея конечной подгруппы в GL (2, C ) определяется как граф Маккея ее канонического представления.

Для конечных подгрупп SL (2, C ) каноническое представление на C ² самодуально, поэтому n _ij = n _ji для всех i , j . Таким образом, граф Маккея конечных подгрупп SL (2, C ) неориентирован.

Фактически, согласно соответствию Маккея, существует взаимно однозначное соответствие между конечными подгруппами SL (2, C ) и расширенными диаграммами Кокстера-Дынкина типа ADE.

Определим Картана матрица гр _V в V следующим образом :

${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$

где - дельта Кронекера .${\displaystyle \delta _{ij}}$

Некоторые результаты

• Если представление V точное, то каждое неприводимое представление содержится в некоторой тензорной степени и граф Маккея V связен.${\displaystyle V^{\otimes k}}$
• Граф Маккея конечной подгруппы SL (2, C ) не имеет петель, то есть n _ii = 0 для всех i .
• Все стрелки графа Маккея конечной подгруппы в SL (2, C ) имеют вес один.

Примеры

• Предположим, что G = A × B и существуют канонические неприводимые представления c _A и c _B групп A и B соответственно. Если , i = 1, ..., k , неприводимые представления A и , j = 1, ..., ℓ , неприводимые представления B , то${\displaystyle \chi _{i}}$${\displaystyle \psi _{j}}$

${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}\quad 1\leq i\leq k,\,\,1\leq j\leq \ell }$

неприводимые представления , где . В этом случае мы имеем${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}(a,b)=\chi _{i}(a)\psi _{j}(b),(a,b)\in A\times B}$

${\displaystyle \langle (c_{A}\times c_{B})\otimes (\chi _{i}\times \psi _{\ell }),\chi _{n}\times \psi _{p}\rangle =\langle c_{A}\otimes \chi _{k},\chi _{n}\rangle \cdot \langle c_{B}\otimes \psi _{\ell },\psi _{p}\rangle .}$

Следовательно, есть стрелка на графике Маккея G между и тогда и только тогда, когда есть стрелка на графике Маккея для A между и и есть стрелка на графике Маккея для B между и . В этом случае вес на стрелку в McKay графе G является произведением весов двух соответствующих стрелок на графиках McKay из A и B .${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}}$${\displaystyle \chi _{k}\times \psi _{\ell }}$${\displaystyle \chi _{i}}$${\displaystyle \chi _{k}}$${\displaystyle \psi _{j}}$${\displaystyle \psi _{\ell }}$

• Феликс Клейн доказал, что конечные подгруппы SL (2, C ) являются бинарными полиэдральными группами; все сопряжены подгруппам в SU (2, C ). Соответствие Маккея утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между графами Маккея этих бинарных полиэдральных групп и расширенными диаграммами Дынкина. Например, бинарная группа тетраэдра порождается матрицами SU (2, C ):${\displaystyle {\overline {T}}}$

${\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ \ V=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ \ U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &\varepsilon ^{3}\\\varepsilon &\varepsilon ^{7}\end{array}}\right),}$

где ε - примитивный корень восьмой степени из единицы. Фактически у нас есть

${\displaystyle {\overline {T}}=\{U^{k},SU^{k},VU^{k},SVU^{k}\mid k=0,\ldots ,5\}.}$

Классы сопряженности :${\displaystyle {\overline {T}}}$

${\displaystyle C_{1}=\{U^{0}=I\},}$

${\displaystyle C_{2}=\{U^{3}=-I\},}$

${\displaystyle C_{3}=\{\pm S,\pm V,\pm SV\},}$

${\displaystyle C_{4}=\{U^{2},SU^{2},VU^{2},SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{5}=\{-U,SU,VU,SVU\},}$

${\displaystyle C_{6}=\{-U^{2},-SU^{2},-VU^{2},-SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{7}=\{U,-SU,-VU,-SVU\}.}$

Таблица символов из IS${\displaystyle {\overline {T}}}$

Классы сопряженности	${\displaystyle C_{1}}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle C_{3}}$	${\displaystyle C_{4}}$	${\displaystyle C_{5}}$	${\displaystyle C_{6}}$	${\displaystyle C_{7}}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$
${\displaystyle \chi _{4}}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{5}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$
${\displaystyle \chi _{6}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -\omega ^{2}}$	${\displaystyle -\omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega }$

Вот . Каноническое представление V здесь обозначено через  c . Используя внутреннее произведение, мы находим, что граф Маккея является расширенной диаграммой Кокстера – Дынкина типа .${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/3}}$${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$

Смотрите также

• Классификация ADE
• Бинарная тетраэдрическая группа

использованная литература

• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7
• Джеймс, Гордон; Либек, Мартин (2001). Представления и характеры групп (2-е изд.) . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00392-X.
• Кляйн, Феликс (1884), "Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade", Teubner , Leibniz
• Маккей, Джон (1980), "Графы, особенности и конечные группы", Proc. Symp. Чистая математика. , Труды симпозиумов по чистой математике, Амер. Математика. Soc,. 37 : 183-186, DOI : 10,1090 / pspum / 037/604577 , ISBN 9780821814406
• Маккей, Джон (1982), «Представления и графы Кокстера», «Геометрическая вена», Coxeter Festschrift , Берлин: Springer-Verlag
• Рименшнайдер, Освальд (2005), Соответствие Маккея для факторных особенностей поверхности , Сингулярности в геометрии и топологии, Труды Летней школы и семинара по сингулярностям в Триесте, стр. 483–519
• Steinberg, Роберт (1985), "Подгруппа , Дынкина и аффинных элементов кокстеровских", Тихоокеанский журнал математика , 18 : 587-598, DOI : 10.2140 / pjm.1985.118.587${\displaystyle SU_{2}}$