Дзета - функция Минакшисундарам-Pleijel является дзета - функция , кодирующая собственные значения лапласиана из компактного риманова многообразия . Его представили Суббарамия Минакшисундарам и Оке Плейджель ( 1949 ). Случай компактной области плоскости рассматривался ранее Торстеном Карлеманом ( 1935 ).
Определение
Для компактного риманова многообразия M размерности N с собственными значениямиот оператора Лапласа-Бельтрами , дзета-функция дана для достаточно большой по
(где, если собственное значение равно нулю, оно опускается в сумме). У многообразия может быть граница, и в этом случае необходимо задать подходящие граничные условия, такие как граничные условия Дирихле или Неймана .
В более общем плане можно определить
для P и Q на многообразии, где- нормированные собственные функции. Это может быть аналитически продолжено до мероморфной функции s для всех комплексных s и голоморфно для.
Единственно возможные полюса - простые полюса в точках. для нечетных N , а в точкахдля N даже. Если N нечетное, то исчезает в . Если N четно, вычеты на полюсах могут быть явно найдены в терминах метрики, и по теореме Винера – Икехары мы находим как следствие соотношение
- ,
где символ указывает, что частное обеих сторон стремится к 1, когда T стремится к . [1]
Функция можно восстановить из интегрируя по всему многообразию M :
- .
Тепловое ядро
Аналитическое продолжение дзета-функции можно найти, выразив ее через тепловое ядро
В частности, у нас есть
где
- след теплового ядра.
Полюса дзета-функции можно найти из асимптотики теплового ядра при t → 0.
Пример
Если многообразие представляет собой круг размерности N = 1, то собственные значения лапласиана равны n 2 для целых n . Дзета-функция
где ζ - дзета-функция Римана .
Приложения
Применяя метод теплового ядра к асимптотическому разложению риманова многообразия (M, g), получаем две следующие теоремы. Оба являются решениями обратной задачи, в которой мы получаем геометрические свойства или величины из спектров операторов.
1) Асимптотическое разложение Минакшисундарама – Плейжеля.
Пусть (M, g) - n- мерное риманово многообразие. Тогда при t → 0 + след теплового ядра имеет асимптотическое разложение вида:
При dim = 2 это означает, что интеграл скалярной кривизны сообщает нам эйлерову характеристику M по теореме Гаусса – Бонне .
В частности,
где S (x) - скалярная кривизна, след кривизны Риччи на M.
2) Асимптотическая формула Вейля.Пусть M - компактное риманово многообразие с собственными значениями с каждым отдельным собственным значением, повторяющимся со своей кратностью. Определим N (λ) как количество собственных значений, меньших или равных, и разреши обозначают объем единичного диска в . потом
в виде . Кроме того, как,
Это также называется законом Вейля , уточненным на основе асимптотического разложения Минакшисундарама – Плейеля.
Рекомендации
- ^ Минакшисундарам, Суббарамия ; Плейель, Оке (1949). «Некоторые свойства собственных функций оператора Лапласа на римановых многообразиях» . Канадский математический журнал . 1 : 242–256. DOI : 10,4153 / CJM-1949-021-5 . ISSN 0008-414X . Руководство по ремонту 0031145 . Архивировано из оригинала на 2012-03-20 . Проверено 12 февраля 2011 .
- Бергер, Марсель ; Годюшон, Поль; Мазе, Эдмонд (1971), Le Spectre d'une Variété riemannienne , Lecture Notes по математике, 194 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0064643 , MR 0282313
- Карлеман, Торстен (1935), «Собственные асимптотические функции фундаментальных мембран вибрант». , 8. Сканд. Мат.-Конгр. (на французском языке): 34–44, Zbl 0012.07001