Модуляционная нестабильность

В области нелинейной оптики и гидродинамики , модуляционной неустойчивости или боковой нестабильности представляет собой явление , при котором отклонения от периодического сигнала усиливаются нелинейности, что приводит к генерации спектральных -sidebands и возможного распада сигнала в последовательность импульсов . ^{[1] [2] [3]}

Широко распространено мнение, что это явление было впервые обнаружено - и смоделировано - для периодических поверхностных гравитационных волн ( волн Стокса ) на глубокой воде Т. Брук Бенджамином и Джимом Э. Фейром в 1967 году. ^[4] Поэтому оно также известно как неустойчивость Бенджамина-Фейра . Однако пространственная модуляционная нестабильность мощных лазеров в органических растворителях наблюдалась российскими учеными Н. Ф. Пилиптецким и А. Р. Рустамовым в 1965 г. ^[5], а математический вывод модуляционной неустойчивости был опубликован В. И. Беспаловым и В. И. Талановым в 1966 г. ^[6]. Модуляционная неустойчивость - возможный механизм генерации волн-убийц . ^[7][8]

Начальная нестабильность и усиление [ править ]

Нестабильность модуляции возникает только при определенных обстоятельствах. Наиболее важным условием является аномальная дисперсия групповой скорости , при которой импульсы с более короткими длинами волн распространяются с более высокой групповой скоростью, чем импульсы с более длинными волнами. ^[3] (Это условие предполагает фокусирующую керровскую нелинейность , в результате чего показатель преломления увеличивается с увеличением оптической интенсивности.) ^[3]

Неустойчивость сильно зависит от частоты возмущения. На определенных частотах возмущение будет иметь небольшой эффект, в то время как на других частотах возмущение будет расти экспоненциально . Общий спектр усиления можно получить аналитически , как показано ниже. Случайные возмущения, как правило, содержат широкий диапазон частотных компонентов и поэтому вызывают генерацию спектральных боковых полос, которые отражают лежащий в основе спектр усиления.

Тенденция возмущающего сигнала к росту превращает модуляционную нестабильность в форму усиления . Настроив входной сигнал на максимум спектра усиления, можно создать оптический усилитель .

Математический вывод спектра усиления [ править ]

Спектр усиления можно получить ^[3] , начав с модели модуляционной неустойчивости, основанной на нелинейном уравнении Шредингера

${\ displaystyle {\ frac {\ partial A} {\ partial z}} + я \ beta _ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial t ^ {2}}} = я \ гамма | A | ^ {2} A,}$

который описывает эволюцию комплексной медленно меняющейся огибающей со временем и расстоянием распространения . В мнимой единице удовлетворяет модель включает групповую скорость дисперсию , описанную параметр , и Керру нелинейность с величиной A периодическим сигналом постоянной мощности предполагаются. Это дается решением${\ displaystyle A}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i ^ {2} = - 1.}$${\ displaystyle \ beta _ {2}}$${\ displaystyle \ gamma.}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle A = {\ sqrt {P}} e ^ {i \ gamma Pz},}$

где колебательный фазовый фактор учитывает разницу между линейным показателем преломления и модифицированным показателем преломления , вызванным эффектом Керра. Начало неустойчивости можно исследовать, возмущая это решение как${\ displaystyle e ^ {я \ gamma Pz}}$

${\ displaystyle A = \ left ({\ sqrt {P}} + \ varepsilon (t, z) \ right) e ^ {i \ gamma Pz},}$

где - член возмущения (который для математического удобства умножен на тот же фазовый коэффициент, что и ). Подставляя это обратно в нелинейное уравнение Шредингера, мы получаем уравнение возмущения вида${\ Displaystyle \ varepsilon (т, я)}$${\ displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial t^{2}}}=i\gamma P\left(\varepsilon +\varepsilon ^{*}\right),}$

где предполагалось возмущение малым, так что комплексно сопряженное из обозначается как Нестабильность теперь могут быть обнаружены путем поиска решений уравнения возмущений , которые растут в геометрической прогрессии. Это можно сделать с помощью пробной функции общего вида${\displaystyle |\varepsilon |^{2}\ll P.}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon ^{*}.}$

${\displaystyle \varepsilon =c_{1}e^{ik_{m}z-i\omega _{m}t}+c_{2}e^{-ik_{m}^{*}z+i\omega _{m}t},}$

где и - волновое число и (действительная) угловая частота возмущения, а и - постоянные. Нелинейное уравнение Шредингера строится путем удаления несущей волны моделируемого света, поэтому частота возмущенного света формально равна нулю. Следовательно, и представляют не абсолютные частоты и волновые числа, а разницу между ними и исходным лучом света. Можно показать, что пробная функция действительна, при условии и при условии${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle \omega _{m}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle \omega _{m}}$${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle c_{2}=c_{1}^{*}}$

${\displaystyle k_{m}=\pm {\sqrt {\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}+2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}}.}$

Это дисперсионное соотношение существенно зависит от знака члена в квадратном корне: если положительное, волновое число будет действительным , что соответствует простым колебаниям вокруг невозмущенного раствора, а если оно отрицательное, волновое число станет мнимым , что соответствует экспоненциальному росту. и, следовательно, нестабильность. Следовательно, нестабильность возникнет, когда

${\displaystyle \beta _{2}^{2}\omega _{m}^{2}+2\gamma P\beta _{2}<0,}$   это для   ${\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}}.}$

Это условие описывает требование аномальной дисперсии (например, отрицательной). Спектр усиления можно описать, задав параметр усиления таким образом, чтобы мощность возмущающего сигнала возрастала с расстоянием, так как усиление, таким образом, определяется выражением${\displaystyle \gamma \beta _{2}}$${\displaystyle g\equiv 2|\Im \{k_{m}\}|,}$${\displaystyle P\,e^{gz}.}$

${\displaystyle g={\begin{cases}2{\sqrt {-\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}-2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}},&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\\[2ex]0,&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}\geq -2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\end{cases}}}$

где, как отмечалось выше, - разница между частотой возмущения и частотой первоначального света. Скорость роста максимальна для${\displaystyle \omega _{m}}$${\displaystyle \omega ^{2}=-\gamma P/\beta _{2}.}$

Модуляционная нестабильность в мягких системах [ править ]

Модуляционная неустойчивость оптических полей наблюдалась в фотохимических системах, а именно в фотополимеризуемой среде. ^{[9] [10] [11] [12]} Модуляционная нестабильность возникает из-за присущей системам оптической нелинейности из-за вызванных фотореакцией изменений показателя преломления. ^[13] Модуляционная нестабильность пространственно и временно некогерентного света возможна из-за не мгновенного отклика фотореактивных систем, который, следовательно, реагирует на среднюю по времени интенсивность света, в которой фемтосекундные флуктуации компенсируются. ^[14]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Захаров В.Е . ; Островский, Л.А. (2009). «Модуляционная нестабильность: начало» (PDF) . Physica D: нелинейные явления . 238 (5): 540–548. Bibcode : 2009PhyD..238..540Z . DOI : 10.1016 / j.physd.2008.12.002 .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}