Волна Стокса

Высота поверхности глубоководной волны согласно теории третьего порядка Стокса . Крутизна волны: ka  = 0,3, где k - волновое число, а a - амплитуда волны . Типичными для этих поверхностных гравитационных волн являются острые гребни и плоские впадины .

Испытания модели с периодическими волнами в волно-буксирном баке Лаборатории океанической инженерии Джера А. Чейза Университета Нью-Гэмпшира .

Волнистый ствол и детеныши около устья реки Арагуари на северо-востоке Бразилии. Вид под углом к ​​устью с самолета на высоте примерно 100 футов (30 м). ^[1] Волны, следующие за фронтом ствола скважины, выглядят как медленно модулированные стоксовы волны.

В динамике жидкости , а Стокс волны является нелинейной и периодической поверхностной волной на невязкой жидкости слоя постоянной средней глубины. Этот тип моделирования берет свое начало в середине 19 века, когда сэр Джордж Стоукс, используя метод рядов возмущений , известный теперь как разложение Стокса, получил приближенные решения для нелинейного волнового движения.

Волновая теория Стокса имеет прямое практическое применение для волн на средней и глубокой воде. Он используется при проектировании береговых и морских сооружений для определения кинематики волн ( возвышение свободной поверхности и скорости потока ). Кинематика волн впоследствии необходима в процессе проектирования для определения волновых нагрузок на конструкцию. ^[2] Для длинных волн (по сравнению с глубиной) - и используя только несколько членов в разложении Стокса - его применимость ограничена волнами малой амплитуды . На таком мелководье кноидальная волна теория часто дает лучшие приближения периодических волн.

Хотя, в строгом смысле, волна Стокса относится к прогрессивным периодическим волнам постоянной формы, этот термин также используется в связи со стоячими волнами ^[3] и даже для случайных волн . ^{[4] [5]}

Примеры [ править ]

Приведенные ниже примеры описывают волны Стокса под действием силы тяжести (без эффектов поверхностного натяжения ) в случае чисто волнового движения, то есть без окружающего среднего тока.

Волна Стокса третьего порядка на глубокой воде [ править ]

Согласно теории третьего порядка Стокса, высота свободной поверхности η , потенциал скорости Φ, фазовая скорость (или скорость) c и фаза волны θ равны для прогрессирующей поверхностной гравитационной волны на глубокой воде, т. Е. Слой жидкости имеет бесконечное глубина: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1-{\tfrac {1}{16}}(ka)^{2}\right]\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}(ka)\,\cos 2\theta +{\tfrac {3}{8}}(ka)^{2}\,\cos 3\theta \right\}\\&+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k}}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),{\text{ and}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}}$

с:

Параметр расширения ka известен как крутизна волны. Фазовая скорость увеличивается с увеличением нелинейности волны ka . Высота волны H , являющаяся разницей между отметкой поверхности η на гребне и впадине , составляет: ^[7]

${\displaystyle H=2a\,\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,k^{2}a^{2}\right).}$

Отметим, что члены второго и третьего порядка в потенциале скорости Φ равны нулю. Только на четвертом уровне появляются вклады, отклоняющиеся от теории первого порядка, т.е. теории волн Эйри . ^[6] До третьего порядка орбитальной скорости поле U  =  ∇ Ф состоит из кругового движения вектора скорости в каждом положении ( х , г ). В результате подъем поверхности глубоководных волн в хорошем приближении оказывается трохоидальным , как уже отмечал Стокс (1847) . ^[8]

Стокс далее заметил, что хотя (в этом эйлеровом описании) поле орбитальной скорости третьего порядка состоит из кругового движения в каждой точке, лагранжевые траектории частиц жидкости не являются замкнутыми кругами. Это связано с уменьшением амплитуды скорости с увеличением глубины под поверхностью. Этот лагранжев дрейф частиц жидкости известен как дрейф Стокса . ^[8]

Волна Стокса второго порядка на произвольной глубине [ править ]

Высота поверхности η и потенциал скорости Φ равны согласно теории Стокса второго порядка поверхностных гравитационных волн на слое жидкости средней глубины h : ^{[6] [9]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\,\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}\\&+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{and}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что для конечной глубины потенциал скорости Φ содержит линейный дрейф во времени, не зависящий от положения ( x и z ). И этот временной сдвиг, и двухчастотный член (содержащий sin 2θ) в Φ исчезают для глубоководных волн.

Параметры Стокса и Урселла [ править ]

Отношение S амплитуд свободной поверхности во втором и первом порядке - согласно теории второго порядка Стокса - составляет: ^[6]

${\displaystyle {\mathcal {S}}=ka\,{\frac {3-\tanh ^{2}\,kh}{4\,\tanh ^{3}\,kh}}.}$

На большой глубине при больших kh отношение S имеет асимптоту

${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\,ka.}$

Для длинных волн, то есть малых kh , отношение S ведет себя как

${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{4}}\,{\frac {ka}{(kh)^{3}}},}$

или, исходя из высоты волны H = 2 a и длины волны λ = 2π / k :

${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\mathcal {U}},}$   с   ${\displaystyle {\mathcal {U}}\equiv {\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}.}$

Здесь U - параметр Урселла (или параметр Стокса). Для длинных волн ( λ » ч ) малой высоты Н , т.е. U « 32π ² / +3 ≈ 100 , второго порядка теории Стокса применим. В противном случае, при достаточно длинные волны ( λ> 7 ч ) заметного высоты Н кноидальные волн описание является более целесообразным. ^[6] Согласно Хеджесу, теория Стокса пятого порядка применима для U <40 , в противном случае предпочтительна теория кноидальных волн пятого порядка . ^{[10] [11]}

Соотношение дисперсии третьего порядка [ править ]

Для волн Стокса под действием силы тяжести дисперсионное соотношение третьего порядка - согласно первому определению скорости Стокса : ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}=&\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\qquad {\text{with}}\\\sigma =&\tanh \,kh.\end{aligned}}}$

Это дисперсионное соотношение третьего порядка является прямым следствием отказа от секулярных членов при включении решения Стокса второго порядка в уравнения третьего порядка (ряда возмущений для периодической волновой задачи).

На большой глубине (короткая длина волны по сравнению с глубиной):

${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),}$

и на мелководье (длинные волны по сравнению с глубиной):

${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$

Как показано выше , длинноволновое стоксово разложение для дисперсионного соотношения будет справедливо только для достаточно малых значений параметра Урселла: U 100 .

Обзор [ править ]

Подход Стокса к проблеме нелинейных волн [ править ]

Основная проблема при нахождении решений для поверхностных гравитационных волн заключается в том, что граничные условия должны применяться в месте свободной поверхности , которое заранее не известно и, таким образом, является частью решения, которое необходимо найти. Сэр Джордж Стоукс решил эту проблему нелинейных волн в 1847 году, расширив соответствующие потенциальные величины потока в ряд Тейлора вокруг средней (или неподвижной) отметки поверхности. ^[12] В результате граничные условия могут быть выражены в терминах величин на средней (или неподвижной) отметке поверхности (которая является фиксированной и известной).

Затем решение нелинейной волновой задачи (включая разложение ряда Тейлора вокруг среднего или неподвижного возвышения поверхности) ищется с помощью ряда возмущений, известного как разложение Стокса, с точки зрения малого параметра, чаще всего крутизны волны . Неизвестные члены в разложении можно решать последовательно. ^{[6] [8]} Часто требуется лишь небольшое количество членов, чтобы обеспечить решение с достаточной точностью для инженерных целей. ^[11] Типичное применение - проектирование прибрежных и морских сооружений , а также судов .

Еще одно свойство нелинейных волн состоит в том, что фазовая скорость нелинейных волн зависит от высоты волны . В подходе серии возмущений это легко приводит к ложному вековому изменению решения, что противоречит периодическому поведению волн. Стокс решил эту проблему, расширив дисперсионное соотношение до ряда возмущений с помощью метода, теперь известного как метод Линдстедта – Пуанкаре . ^[6]

Применимость [ править ]

Волновая теория Стокса при использовании низкого порядка разложения возмущений (например, до второго, третьего или пятого порядка) справедлива для нелинейных волн на средней и глубокой воде, то есть для длин волн ( λ ), не больших по сравнению со средним значением. глубина ( ч ). На мелководье стоксово разложение низкого порядка не работает (дает нереалистичные результаты) при значительной амплитуде волны (по сравнению с глубиной). Тогда приближения Буссинеска более подходят. Дальнейшие приближения к уравнениям типа Буссинеска (многонаправленные) волны приводят - для одностороннего распространения волн - к уравнению Кортевега – де Фриза или уравнению Бенджамина – Бона – Махони.. Подобно (почти) точным стоксово-волновым решениям ^[14] эти два уравнения имеют уединенные ( солитонные ) решения, помимо периодических волновых решений, известных как кноидальные волны . ^[11]

Современные расширения [ править ]

Уже в 1914 году Уилтон расширил разложение Стокса для глубоководных поверхностных гравитационных волн до десятого порядка, хотя и ввел ошибки на восьмом порядке. ^[15] Теория пятого порядка для конечной глубины была получена Де в 1955 году. ^[16] Для инженерного использования формулировки Фентона пятого порядка удобны и применимы как к первому, так и ко второму определению Стокса фазовой скорости (скорости). ^[17] Разграничение между тем, когда теория Стокса пятого порядка предпочтительнее теории кноидальных волн пятого порядка, проводится для параметров Урселла ниже примерно 40. ^{[10] [11]}

В стоксовских подходах к нелинейной волновой задаче возможен различный выбор системы отсчета и параметров расширения. В 1880 году Стокс сам инвертировал зависимые и независимые переменные, взяв потенциал скорости и функцию тока в качестве независимых переменных, а координаты ( x , z ) в качестве зависимых переменных, причем x и z были горизонтальными и вертикальными координатами соответственно. ^[18]Это имеет то преимущество, что свободная поверхность в системе отсчета, в которой волна является установившейся (то есть движущейся с фазовой скоростью), соответствует линии, на которой функция тока является постоянной. Тогда заранее известно расположение свободной поверхности, а не неизвестная часть решения. Недостатком является уменьшение радиуса сходимости разложения перефразированного ряда. ^[19]

Другой подход заключается в использовании лагранжевой системы отсчета после жидких частиц . Лагранжевые формулировки демонстрируют улучшенную сходимость по сравнению с формулировками как в эйлеровой системе отсчета , так и в системе отсчета с потенциалом и функцией тока в качестве независимых переменных. ^{[20] [21]}

Точное решение для нелинейных чистых капиллярных волн постоянной формы и для бесконечной глубины жидкости было получено Крэппером в 1957 году. Обратите внимание, что эти капиллярные волны - короткие волны, вызванные поверхностным натяжением , если влияние гравитации незначительно - имеют острые впадины и плоские поверхности. гребни. Это контрастирует с нелинейными поверхностными гравитационными волнами, которые имеют острые гребни и плоские впадины. ^[22]

Используя компьютерные модели, Шварц (1974) продолжил стоксовское разложение для поверхностных гравитационных волн вплоть до высокого (117-го) порядка . Шварц обнаружил , что амплитуда (или в ₁ ) из первого порядка фундаментальных достигает максимума перед тем максимальной высоты волны H достигается. Следовательно, крутизна волны ka с точки зрения амплитуды волны не является монотонной функцией вплоть до самой высокой волны, и Шварц вместо этого использует kH в качестве параметра разложения. Для оценки самой высокой волны на глубокой воде Шварц использовал аппроксимации Паде и графики Домба – Сайкса. для улучшения сходимости разложения Стокса. Расширенные таблицы волн Стокса на разных глубинах, рассчитанные другим методом (но в соответствии с результатами других), представлены в Williams ( 1981 , 1985 ).

Существует несколько точных соотношений между интегральными свойствами, такими как кинетическая и потенциальная энергия , импульс горизонтальной волны и радиационное напряжение, как обнаружил Лонге-Хиггинс (1975) . Он показывает для глубоководных волн, что многие из этих интегральных свойств имеют максимум до достижения максимальной высоты волны (в поддержку выводов Шварца). Cokelet (1978) , используя метод, аналогичный методу Шварца, вычислил и занес в таблицу интегральные свойства для широкого диапазона конечных глубин воды (все достигают максимума ниже самой высокой высоты волны). Кроме того, эти интегральные свойства играют важную роль в законах сохранения волн на воде, поскольку harvtxt error: no target: CITEREFCokelet1978 (help)Теорема Нётер . ^[25]

В 2005 году Хэммак, Хендерсон и Сегур представили первые экспериментальные доказательства существования трехмерных прогрессивных волн постоянной формы в глубокой воде, то есть бипериодических и двухмерных прогрессивных волн постоянной формы. ^[26] Существование этих трехмерных устойчивых глубоководных волн было обнаружено в 2002 году в результате бифуркационного исследования двумерных волн Стокса, проведенного Крейгом и Николлсом с использованием численных методов. ^[27]

Конвергенция и нестабильность [ править ]

Конвергенция [ править ]

Сходимость разложения Стокса впервые была доказана Леви-Чивита (1925) для случая волн малой амплитуды - на свободной поверхности жидкости бесконечной глубины. Вскоре это было распространено Струиком (1926) на случай волн конечной глубины и малой амплитуды. ^[28]

Ближе к концу ХХ века было показано, что для волн конечной амплитуды сходимость стоксова разложения сильно зависит от постановки периодической волновой задачи. Например, обратная формулировка задачи о периодических волнах, используемая Стоксом, с пространственными координатами как функцией потенциала скорости и функции тока , не сходится для волн большой амплитуды. В то время как другие формулировки сходятся гораздо быстрее, например, в эйлеровой системе отсчета (с потенциалом скорости или функцией тока как функцией пространственных координат). ^[19]

Самая высокая волна [ править ]

Максимальная крутизна волны для периодических и распространяющихся глубоководных волн составляет H / λ ≈ 0,1412 , поэтому высота волны составляет примерно одну седьмую (1/7) длины волны λ. ^[24] И поверхностные гравитационные волны такой максимальной высоты имеют острый гребень волны - с углом 120 ° (в жидкой области) - также для конечной глубины, как показал Стокс в 1880 году. ^[18]

Точная оценка самой высокой крутизны волны на большой глубине ( H / λ ≈ 0,142 ) была сделана еще в 1893 году Джоном Генри Мичеллом с помощью численного метода. ^[29] Более подробное исследование поведения самой высокой волны вблизи остроугольного гребня было опубликовано Малкольмом А. Грантом в 1973 году. ^[30] Существование самой высокой волны на глубокой воде с остроугольным гребнем. 120 ° было доказано Джоном Толандом в 1978 г. ^[31] Выпуклость η (x) между последовательными максимумами с остроугольным гребнем 120 ° была независимо доказана CJ Amick et al и Павлом И. Плотниковым в 1982 году. ^{[32] [33]}

Наивысшая волна Стокса - под действием силы тяжести - может быть аппроксимирована следующим простым и точным представлением высоты свободной поверхности η ( x , t ): ^[34]

${\displaystyle {\frac {\eta }{\lambda }}=A\,\left[\cosh \,\left({\frac {x-ct}{\lambda }}\right)-1\right],}$  с для  ${\displaystyle A={\frac {1}{{\sqrt {3}}\,\sinh \left({\frac {1}{2}}\right)}}\approx 1.108,}$  ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\,\lambda \leq (x-ct)\leq {\tfrac {1}{2}}\,\lambda ,}$

и сдвинуты по горизонтали на целое число длин волн, чтобы представить другие волны в регулярной последовательности волн. Это приближение везде с точностью до 0,7% по сравнению с «точным» решением для самой высокой волны. ^[34]

Другое точное приближение - хотя и менее точное, чем предыдущее - движения жидкости на поверхности самой крутой волны - по аналогии с колебанием маятника в « напольных» часах . ^[35]

Нестабильность [ править ]

На более глубокой воде волны Стокса нестабильны. ^[36] Это было показано Т. Брук Вениамина и Jim E. Фейра в 1967 г. ^{[37] [38]} Бенджамина-Фейра неустойчивость представляет собой боковой полосы или модуляционной неустойчивости, с боковой полосы модуляций , распространяющихся в том же направлении как несущая волна ; волны становятся неустойчивыми на более глубокой воде для относительной глубины kh > 1,363 (где k - волновое число, а h - средняя глубина воды). ^[39] Неустойчивость Бенджамина – Фейра может быть описана нелинейным уравнением Шредингера, вставив волну Стокса с боковыми полосами. ^[36] Впоследствии, с помощью более точного анализа, было показано - теоретически и экспериментально - что стоксова волна и ее боковые полосы демонстрируют повторение Ферми – Паста – Улама – Цинго : циклическое чередование между модуляцией и демодуляцией. ^[40]

В 1978 году Лонге-Хиггинс с помощью численного моделирования полностью нелинейных волн и модуляций (распространяющихся в направлении несущей волны) представил подробный анализ области нестабильности в глубокой воде: как для супергармоник (для возмущений в пространственном масштабов меньше длины волны ) ^[41] и субгармоник (для возмущений на пространственных масштабах больше, чем ). ^[42] В исследованиях Лонге-Хиггинса двумерного волнового движения, а также в последующих исследованиях трехмерной модуляции Маклином и др. Были обнаружены новые типы нестабильностей - они связаны с резонансными волновыми взаимодействиями между пятью (или подробнее) волновые составляющие. ^{[43] [44]}${\displaystyle 2\pi /k}$${\displaystyle 2\pi /k}$^[45]

Расширение Стокса [ править ]

Управляющие уравнения для потенциального потока [ править ]

Во многих случаях колебательный поток в жидкости внутри поверхностных волн может быть точно описан с помощью теории потенциального потока , за исключением пограничных слоев около свободной поверхности и дна (где важна завихренность из-за вязких эффектов , см. Пограничный слой Стокса ). ^[46] Затем скорость потока у может быть описана как градиент о наличии потенциальной скорости Ф :

${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\nabla }}\Phi .}$

( А )

Следовательно, предполагая несжимаемой , поле скоростей у является бездивергентное и скорость потенциал удовлетворяет Ф уравнение Лапласа ^[46]

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$

( В )

в жидком интерьере.

Область жидкости описывается с использованием трехмерных декартовых координат ( x , y , z ), где x и y являются горизонтальными координатами, а z - вертикальной координатой - с положительным направлением z, противоположным направлению ускорения свободного падения . Время обозначается t . Свободная поверхность расположена в точке z = η ( x , y , t ) , а дно области жидкости находится в точке z = - h ( x ,у ) .

Граничные условия на свободной поверхности для поверхностных гравитационных волн - с использованием описания потенциального потока - состоят из кинематического и динамического граничных условий. ^[47] В кинематическом граничном условии гарантирует , что нормальная компонента из жидкости х скоростей поток , в матричной форме, на свободную поверхность равна нормальная составляющая скорости движения свободной поверхности г = η ( х , у , т ) :${\displaystyle {\bf {u}}=[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial y}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).}$

( С )

Динамическое граничное условие утверждает , что без поверхностного натяжения эффектов, атмосферное давление чуть выше свободной поверхности жидкости равно давлению чуть ниже поверхности. Для нестационарного потенциального потока это означает, что уравнение Бернулли должно применяться на свободной поверхности. В случае постоянного атмосферного давления динамическое граничное условие принимает следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}+g\,\eta =0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t),}$

( D )

где постоянное атмосферное давление без ограничения общности принято равным нулю .

Оба граничных условия содержат потенциал Φ, а также отметку поверхности η . (Динамическое) граничное условие в терминах только потенциала Φ может быть построено путем взятия материальной производной динамического граничного условия и использования кинематического граничного условия: ^{[46] [47] [48]}

${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$

${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$

${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).}$

( E )

В нижней части жидкого слоя непроницаемость требует, чтобы нормальная составляющая скорости потока исчезла: ^[46]

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial n}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial h}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial h}{\partial y}}\right)^{2}}}}\,\left\{{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial h}{\partial x}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+{\frac {\partial h}{\partial y}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right\}=0,\qquad {\text{ at }}z=-h(x,y),}$

( F )

где h ( x , y ) - глубина пласта ниже исходной точки z = 0, а n - компонент координат в направлении, нормальном к пласту .

Для постоянных волн над горизонтальным дном средняя глубина h является постоянной, и граничное условие на дне становится:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.}$

Ряд Тейлора в граничных условиях свободной поверхности [ править ]

Граничные условия для свободной поверхности (D) и (E) применяются на еще неизвестной отметке свободной поверхности z = η ( x , y , t ) . Они могут быть преобразованы в граничные условия на фиксированной отметке z = constant с помощью разложений поля потока вокруг этой отметки в ряд Тейлора . ^[46] Без ограничения общности среднюю высоту поверхности, вокруг которой построены серии Тейлора, можно взять при z = 0.. Это гарантирует, что расширение происходит примерно на возвышении в непосредственной близости от фактического превышения свободной поверхности. Сходимость ряда Тейлора для стационарного движения малой амплитуды была доказана Леви-Чивита (1925) .

Используются следующие обозначения: ряд Тейлора некоторого поля f ( x , y , z , t ) вокруг z = 0 - и вычисленный при z = η ( x , y , t ) - равен: ^[49]

${\displaystyle f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots }$

с нулевым нижним индексом означает оценку при z = 0 , например: [ f ] ₀ = f ( x , y , 0, t ) .

Применяя разложение Тейлора к граничному условию свободной поверхности Ур. (E) в терминах потенциала Φ дает: ^{[46] [49]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\left[{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}+{\biggl [}{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right){\biggr ]}_{0}\\&\quad +\cdots =0,\end{aligned}}}$

( G )

показывающий члены до троекратного произведения η , Φ и u , необходимые для построения разложения Стокса до третьего порядка O (( ka ) ³ ). Здесь ka - крутизна волны, k - характерное волновое число, а a - характерная амплитуда волны для исследуемой задачи. Поля η , Φ и u предполагаются равными O ( ka ).

Граничное условие динамической свободной поверхности Ур. (D) можно оценить в терминах величин при z = 0 как: ^{[46] [49]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+g\,\eta \right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t\,\partial z}}\right]_{0}+{\biggl [}{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}{\biggr ]}_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{3}\Phi }{\partial t\,\partial z^{2}}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}\right)\right]_{0}+\cdots =0.\end{aligned}}}$

( H )

Преимущества этих разложений в ряд Тейлора полностью проявляются в сочетании с подходом ряда возмущений для слабонелинейных волн ( ka 1) .

Подход с использованием серии возмущений [ править ]

В серии возмущений в терминах небольшого упорядочения параметра ε «1 - который впоследствии оказывается пропорциональна (и порядка) наклона волнового ка , увидеть решение серии в этом разделе . ^[50] Итак, возьмем ε = ka :

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}}$

При применении в уравнениях потока они должны быть действительными независимо от конкретного значения ε . Приравнивая по степеням ε , каждый член, пропорциональный ε определенной степени, должен быть равен нулю. В качестве примера того, как работает подход рядов возмущений, рассмотрим нелинейное граничное условие (G) ; он становится: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$

Результирующие граничные условия при z = 0 для первых трех порядков следующие:

Первый заказ:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}=0,}$

( J1 )

Второго порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right),}$

( J2 )

Третий порядок:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)-\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right).\end{aligned}}}$

( J3 )

Аналогичным образом - из динамического граничного условия (H) - условия при z = 0 на порядках 1, 2 и 3 становятся:

Первый заказ:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}+g\,\eta _{1}=0,}$

( K1 )

Второго порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial t}}+g\,\eta _{2}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2},}$

( K2 )

Третий порядок:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial t}}+g\,\eta _{3}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t\,\partial z}}-\eta _{2}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\\&-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{3}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z^{2}}}-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2}\right).\end{aligned}}}$

( K3 )

Для линейных уравнений (A) , (B) и (F) метод возмущений приводит к ряду уравнений, не зависящих от решений возмущений в других порядках:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{rcl}\mathbf {u} _{j}&=&{\boldsymbol {\nabla }}\Phi _{j},\\[1ex]\nabla ^{2}\Phi _{j}&=&0,\\[1ex]\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{j}}{\partial n}}&=&0\quad {\text{ at }}z=-h,\end{array}}\right\}\qquad {\text{for all orders }}j\in \mathbb {N} ^{+}.}$

( L )

Вышеупомянутые уравнения возмущений можно решать последовательно, т.е. начиная с первого порядка, затем переходя ко второму порядку, третьему порядку и т. Д.

Применение к прогрессирующим периодическим волнам постоянной формы [ править ]

Волны постоянной формы распространяются с постоянной фазовой скоростью (или быстротой ), обозначаемой как c . Если установившееся волновое движение происходит в горизонтальном x- направлении, величины потока η и u не зависят отдельно от x и времени t , а являются функциями x - ct : ^[52]

${\displaystyle \eta (x,t)=\eta (x-ct)\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} (x,z,t)=\mathbf {u} (x-ct,z).}$

Кроме того, волны являются периодическими - и поскольку они также имеют постоянную форму - как в горизонтальном пространстве x, так и во времени t , с длиной волны λ и периодом τ соответственно. Обратите внимание, что сама функция Φ ( x , z , t ) не обязательно является периодической из-за возможности постоянного (линейного) дрейфа по x и / или t : ^[53]

${\displaystyle \Phi (x,z,t)=\beta x-\gamma t+\varphi (x-ct,z),}$

причем φ ( x , z , t ), а также производные ∂ Φ / ∂ t и ∂ Φ / ∂ x являются периодическими. Здесь β - средняя скорость потока ниже уровня желоба , а γ относится к гидравлическому напору, наблюдаемому в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью волны c (так что поток становится устойчивым в этой системе отсчета).

Чтобы применить разложение Стокса к прогрессивным периодическим волнам, полезно описать их рядами Фурье как функцию фазы волны θ ( x , t ): ^{[45] [53]}

${\displaystyle \theta =kx-\omega t=k\left(x-ct\right),}$

в предположении, что волны распространяются в направлении x . Здесь k = 2π / λ - волновое число , ω = 2π / τ - угловая частота и c = ω / k (= λ / τ ) - фазовая скорость .

Теперь возвышение свободной поверхности η ( x , t ) периодической волны можно описать как ряд Фурье : ^{[11] [53]}

${\displaystyle \eta =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos \,(n\theta ).}$

Аналогичным образом соответствующее выражение для потенциала скорости Φ ( x , z , t ) имеет следующий вид: ^[53]

${\displaystyle \Phi =\beta x-\gamma t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\,{\biggl [}\cosh \,\left(nk\,(z+h)\right){\biggr ]}\,\sin \,(n\theta ),}$

удовлетворяющее как уравнению Лапласа ∇ ² Φ = 0 в недрах жидкости, так и граничному условию ∂ Φ / ∂ z = 0 в слое z = - h .

Для данного значения волнового числа k параметры: A _n , B _n (с n = 1, 2, 3, ... ), c , β и γ еще предстоит определить. Все они могут быть разложены в ряд возмущений по ε . Фентон (1990) предоставляет эти значения для волновой теории Стокса пятого порядка.

Для прогрессивных периодических волн производные по x и t функций f ( θ , z ) от θ ( x , t ) могут быть выражены как производные по θ :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=+k\,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\omega \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.}$

Важным моментом для нелинейных волн - в отличие от линейной теории волн Эйри - является то, что фазовая скорость c также зависит от амплитуды волны a , помимо ее зависимости от длины волны λ = 2π / k и средней глубины h . Пренебрежение зависимостью c от амплитуды волны приводит к появлению вековых членов в составе вкладов высшего порядка в решение ряда возмущений. Стокс (1847) уже применил необходимую нелинейную поправку к фазовой скорости c , чтобы предотвратить секулярное поведение. Общий подход к этому теперь известен какМетод Линдштедта – Пуанкаре . Поскольку волновое число k задано и, следовательно, фиксировано, нелинейное поведение фазовой скорости c = ω / k учитывается также путем разложения угловой частоты ω в ряд возмущений: ^[9]

${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \,\omega _{1}+\varepsilon ^{2}\,\omega _{2}+\cdots .}$

Здесь ω ₀ окажется связанным с волновым числом k линейным дисперсионным соотношением . Однако производные по времени, через ∂ f / ∂ t = - ω ∂ f / ∂ θ , теперь также дают вклады, содержащие ω ₁ , ω ₂ и т. Д., В определяющие уравнения на более высоких порядках в ряду возмущений. Регулируя ω ₁ , ω ₂ и т. Д., Можно предотвратить секулярное поведение. Для поверхностных гравитационных волн установлено, что ω ₁ = 0и первый ненулевой вклад в дисперсионное соотношение исходит от ω ₂ (см., например, подраздел « Дисперсионное соотношение третьего порядка » выше). ^[9]

Два определения скорости волны Стокса [ редактировать ]

Для нелинейных поверхностных волн, как правило, существует неоднозначность в разделении полного движения на волновую часть и среднюю часть. Как следствие, появляется некоторая свобода выбора фазовой скорости (скорости) волны. Стокс (1847) идентифицировал два логических определения фазовой скорости, известных как первое и второе определение скорости волны Стокса: ^{[6] [11] [54]}

1. Первое определение скорости волны Стокса имеет для чисто волнового движения среднее значение горизонтальной эйлеровой скорости потока Ū _E в любом месте ниже уровня впадины, равное нулю. Из-за безвихревости потенциального потока, наряду с горизонтальным морским дном и периодичностью средней горизонтальной скорости, средняя горизонтальная скорость является постоянной между уровнем дна и желоба. Таким образом , в первом определении Стокса волна рассматривается из системы отсчета , движущейся со средней горизонтальной скорости Ū _E . Это выгодный подход, когда средняя эйлерова скорость потока Ū _E известно, например, из измерений.
2. Второе определение скорости волны Стокса относится к системе отсчета, в которой средний горизонтальный перенос массы волнового движения равен нулю. Это отличается от первого определения из-за переноса массы в зоне всплеска , то есть между уровнем впадины и гребня, в направлении распространения волны. Этот вызванный волнами перенос массы вызван положительной корреляцией между возвышением поверхности и горизонтальной скоростью. В системе отсчета для второго определения Стокса индуцированный волной перенос массы компенсируется встречным потоком (так что Ū _E  <0 для волн, распространяющихся в положительном x-направление). Это логическое определение волн, генерируемых в волновом желобе в лаборатории, или волн, движущихся перпендикулярно к пляжу.

Как указал Майкл Э. Макинтайр, средний горизонтальный перенос массы будет (близок) к нулю для группы волн, приближающихся к неподвижной воде, а также в глубокой воде перенос массы, вызванный волнами, уравновешенными противоположным переносом массы в обратном потоке. поток (откат). ^[55] Это связано с тем, что в противном случае потребуется большая средняя сила для ускорения водоема, в котором распространяется группа волн.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Джун Чжан, апплет волн Стокса , Техасский университет A&M , получено 9 августа 2012 г.