В логике , то монадическая исчисление предикатов (также называемая монадической логикой первого порядка ) является фрагментом логики первого порядка , в котором все символы отношений в подписи являются монадическими (то есть, они принимают только один аргумент), и нет никакой функции символы. Таким образом, все атомарные формулы имеют вид , где - символ отношения, а - переменная .
Монадическое исчисление предикатов можно противопоставить полиадическому исчислению предикатов, которое позволяет использовать символы отношения, которые принимают два или более аргумента.
Выразительность [ править ]
Отсутствие символов полиадических отношений сильно ограничивает то, что может быть выражено в монадическом исчислении предикатов. Он настолько слаб, что, в отличие от полного исчисления предикатов, разрешим - существует процедура принятия решения, которая определяет, является ли данная формула монадического исчисления предикатов логически верной (верной для всех непустых областей ). [1] [2] Однако добавление одного символа двоичного отношения к монадической логике приводит к неразрешимой логике.
Связь с логикой терминов [ править ]
Необходимость выйти за пределы монадической логики не оценили до работы по логике отношений , по Августом Де Моргана и Чарльза Сандерса Пирса в девятнадцатом веке, и Фреге в его 1879 Begriffsschrifft . До работы этих трех человек термин логика (силлогистическая логика) широко считался подходящим для формального дедуктивного мышления.
Все выводы в терминологической логике могут быть представлены в монадическом исчислении предикатов. Например силлогизм
- Все собаки - млекопитающие.
- Ни одно млекопитающее не является птицей.
- Таким образом, ни одна собака не является птицей.
можно записать на языке монадического исчисления предикатов как
![{\ Displaystyle [(\ forall x \, D (x) \ Rightarrow M (x)) \ земля \ neg (\ существует у \, M (y) \ земля B (y))] \ Rightarrow \ neg (\ существует z \, D (z) \ земля B (z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9148f8af6169e4ebc7940575279b283c91273d88)
где , и обозначают предикаты быть, соответственно, собакой, млекопитающим и птицей.
И наоборот, монадическое исчисление предикатов ненамного более выразительно, чем логика терминов. Каждая формула в монадическом исчислении предикатов эквивалентна формуле, в которой кванторы появляются только в замкнутых подформулах вида
или же
Эти формулы несколько обобщают основные суждения, рассматриваемые в терминологической логике. Например, эта форма допускает такие утверждения, как « Каждое млекопитающее является либо травоядным, либо плотоядным животным (или и тем, и другим) » ,. Однако рассуждения о таких утверждениях все еще можно рассматривать в рамках терминологической логики, хотя и не только с помощью 19 классических аристотелевских силлогизмов .
Принимая логику высказываний как данность, каждая формула в монадическом исчислении предикатов выражает нечто, что аналогичным образом может быть сформулировано в терминологической логике. С другой стороны, современный взгляд на проблему множественной общности в традиционной логике заключает, что кванторы не могут эффективно вкладываться, если нет полиадических предикатов, связывающих связанные переменные.
Варианты [ править ]
Формальную систему, описанную выше, иногда называют чистым монадическим исчислением предикатов, где «чистый» означает отсутствие функциональных букв. Разрешение монадических функциональных букв изменяет логику только поверхностно [ необходима цитата ] , тогда как допуск даже одной двоичной функциональной буквы приводит к неразрешимой логике.
Монадическая логика второго порядка допускает предикаты более высокой степени арности в формулах, но ограничивает количественную оценку второго порядка унарными предикатами, т.е. единственными допустимыми переменными второго порядка являются переменные подмножества .
Сноски [ править ]
- ^ Генрих Беманн , Beiträge zur Algebra der Logik, insbesondere zum Entscheidungsproblem , в Mathematische Annalen (1922)
- ^ Löwenheim , Л. (1915) "Über Möglichkeiten им Relativkalkül," Mathematische Annalen 76: 447-470. Переведено как «Возможности в исчислении родственников» у Жана ван Хейеноорта, 1967. Справочник по математической логике , 1879-1931 гг. Harvard Univ. Пресс: 228-51.
