Мультифрактал является обобщением фрактальной системы , в которой один показатель ( фрактальной размерности ) не достаточно , чтобы описать ее динамику; вместо этого необходим непрерывный спектр показателей (так называемый спектр сингулярностей ). [1]
Мультифрактальные системы распространены в природе. Они включают протяженность береговой линии , полностью развитую турбулентность , реальные сцены, динамику сердцебиения , [2] походку [3] [ неудачная проверка ] и активность [4] активность человеческого мозга , [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] и временные ряды естественной светимости. [12] Модели предлагались в различных контекстах, от турбулентности в динамике жидкости до интернет-трафика, финансов, моделирования изображений, синтеза текстур, метеорологии, геофизики.и больше. [ необходимая цитата ] Происхождение мультифрактальности в последовательных (временных рядах) данных было приписано эффектам математической сходимости, связанным с центральной предельной теоремой, которые имеют в качестве фокусов сходимости семейство статистических распределений, известных как модели экспоненциальной дисперсии Твиди , [13] а также геометрические модели Tweedie. [14] Первый эффект сходимости дает монофрактальные последовательности, а второй эффект сходимости отвечает за изменение фрактальной размерности монофрактальных последовательностей. [15]
Мультифрактальный анализ используется для исследования наборов данных, часто в сочетании с другими методами фрактального и лакунарного анализа. Этот метод влечет за собой искажение наборов данных, извлеченных из шаблонов, для создания мультифрактальных спектров, которые иллюстрируют, как масштабирование изменяется в наборе данных. Методы мультифрактального анализа применялись в различных практических ситуациях, таких как прогнозирование землетрясений и интерпретация медицинских изображений. [16] [17] [18]
Определение
В мультифрактальной системе , поведение вокруг любой точки описывается местным степенным законом :
Показатель называется показателем сингулярности , поскольку он описывает локальную степень особенности или регулярности вокруг точки. [ необходима цитата ]
Ансамбль , образованный все точки , которые разделяют тот же особенность показателя называется сингулярностью многообразия экспоненты ч , и представляет собой фрактальное множество из фрактальной размерности спектр особенностей. Кривая против называется спектром сингулярностей и полностью описывает статистическое распределение переменной. [ необходима цитата ]
На практике мультифрактальное поведение физической системы не характеризуется непосредственно своим спектром сингулярностей . Скорее, анализ данных дает доступ к показателям мультимасштабирования. . Действительно, мультифрактальные сигналы обычно подчиняются свойству масштабной инвариантности, которое дает степенное поведение для величин с разным разрешением в зависимости от их масштаба.. В зависимости от исследуемого объекта эти кратные величины, обозначаемые, могут быть средние местные в коробках размером , градиенты на расстоянии , вейвлет-коэффициенты в масштабе и т. д. Для мультифрактальных объектов обычно наблюдается глобальное степенное масштабирование вида: [ необходима цитата ]
хотя бы в каком-то диапазоне масштабов и для какого-то диапазона заказов . Когда такое поведение наблюдается, говорят о масштабной инвариантности, самоподобии или многомасштабности. [19]
Оценка
Используя так называемый мультифрактальный формализм , можно показать, что при некоторых подходящих предположениях существует соответствие между спектром сингулярностей и многомасштабные показатели через преобразование Лежандра . Хотя определение требует некоторого исчерпывающего локального анализа данных, который приведет к сложным и численно нестабильным расчетам, оценка основан на использовании статистических средних и линейных регрессий в логарифмических диаграммах. Однажды известны, можно вывести оценку благодаря простому преобразованию Лежандра. [ необходима цитата ]
Мультифрактальные системы часто моделируются случайными процессами, такими как мультипликативные каскады . В статистически интерпретируются, поскольку они характеризуют эволюцию распределений в виде идет от большего к меньшему масштабу. Эта эволюция часто называется статистической перемежаемостью и свидетельствует об отходе от гауссовых моделей. [ необходима цитата ]
Моделирование как мультипликативный каскад также приводит к оценке мультифрактальных свойств. Робертс и Кронин 1996 Этот метод работает достаточно хорошо даже для относительно небольших наборов данных. Максимально вероятное соответствие мультипликативного каскада набору данных не только оценивает полный спектр, но и дает разумные оценки ошибок. [20]
Оценка мультифрактального масштабирования по подсчету ящиков
Мультифрактальные спектры могут быть определены из ящика на цифровых изображениях. Сначала выполняется сканирование с подсчетом блоков, чтобы определить, как распределены пиксели; затем это «массовое распределение» становится основой для серии расчетов. [21] [22] [23] Основная идея заключается в том, что для мультифракталов вероятность количества пикселей , появляясь в коробке , зависит от размера коробки , до некоторой степени , который изменяется по изображению, как в уравнении 0.0 ( NB : для монофракталов, напротив, показатель степени не изменяется значимо по набору).вычисляется из распределения пикселей с подсчетом ящиков, как в уравнении 2.0 .
( Ур. 0.0 )
- = произвольный масштаб ( размер ящика при подсчете ящиков), в котором исследуется набор
- = индекс для каждого блока, наложенного на набор для
- = количество пикселей или масса в любом поле, , по размеру
- = общее количество блоков, содержащих более 0 пикселей, для каждого
- общая масса или сумма пикселей во всех полях для этого
( Уравнение 1.0 )
- вероятность этой массы при относительно общей массы для размера коробки
( Уравнение 2.0 )
используется для наблюдения за поведением распределения пикселей при определенном искажении, как в уравнениях 3.0 и 3.1 :
- = произвольный диапазон значений для использования в качестве показателей для искажения набора данных
- сумма всех вероятностей масс, искаженная при увеличении до этого Q, для этого размера коробки
( Ур. 3.0 )
- Когда , Уравнение 3.0 равно 1, обычной сумме всех вероятностей, и когда, каждый член равен 1, поэтому сумма равна количеству подсчитанных коробок, .
- как вероятность искаженной массы в ящике сравнивается с искаженной суммой по всем ящикам с этим размером ящика
( Уравнение 3.1 )
Эти искажающие уравнения далее используются для выяснения того, как набор ведет себя при масштабировании, разрешении или разделении на серию -размерные части и искажены на Q, чтобы найти разные значения для размера набора, как показано ниже:
- Важной особенностью уравнения 3.0 является то, что оно также может варьироваться в зависимости от масштаба, возведенного в степень.в уравнении 4.0 :
( Ур. 4.0 )
Таким образом, ряд значений для можно найти из наклонов линии регрессии для журнала уравнения 3.0 по сравнению с журналом для каждого , на основе уравнения 4.1 :
( Уравнение 4.1 )
- Для обобщенного измерения:
( Уравнение 5.0 )
( Уравнение 5.1 )
( Уравнение 5.2 )
( Ур. 5.3 )
- оценивается как наклон линии регрессии для log A, Q по сравнению с log где:
( Уравнение 6.0 )
- потом находится из уравнения 5.3 .
- Значение оценивается как наклон линии логарифмической регрессии для против , где:
( Уравнение 6.1 )
На практике распределение вероятностей зависит от того, как производится выборка набора данных, поэтому были разработаны алгоритмы оптимизации для обеспечения адекватной выборки. [21]
Приложения
Мультифрактальный анализ успешно используется во многих областях, включая физические, информационные и биологические науки. [24] Например, количественная оценка остаточных трещин на поверхности железобетонных стен, сдвинутых на сдвиг. [25]
Анализ искажения набора данных
Мультифрактальный анализ использовался в нескольких научных областях для характеристики различных типов наборов данных. [26] [4] [7] По сути, мультифрактальный анализ применяет искажающий фактор к наборам данных, извлеченным из шаблонов, чтобы сравнить, как данные ведут себя при каждом искажении. Это делается с помощью графиков, известных как мультифрактальные спектры , аналогично просмотру набора данных через «искажающую линзу», как показано на рисунке . [21] На практике используются несколько типов мультифрактальных спектров.
D Q против Q
Одним из практических мультифрактальных спектров является график зависимости D Q от Q, где D Q - это обобщенное измерение для набора данных, а Q - произвольный набор показателей. Таким образом, выражение обобщенное измерение относится к набору измерений для набора данных (подробные вычисления для определения обобщенного измерения с использованием подсчета ячеек описаны ниже ).
Порядок размеров
Общий шаблон графика D Q vs Q может использоваться для оценки масштабирования в шаблоне. График обычно уменьшается, сигмоидальный вокруг Q = 0, где D (Q = 0) ≥ D (Q = 1) ≥ D (Q = 2) . Как показано на рисунке , изменение этого графического спектра может помочь различать шаблоны. На изображении представлены спектры D (Q), полученные в результате мультифрактального анализа бинарных изображений не-, моно- и мультифрактальных множеств. Как и в случае с образцами изображений, не- и монофракталы имеют более плоский спектр D (Q), чем мультифракталы.
Обобщенное измерение также дает важную конкретную информацию. D (Q = 0) равно измерению емкости , которое - в анализе, показанном на рисунках здесь, - является измерением подсчета ящиков . D (Q = 1) равно информационному измерению , а D (Q = 2) - корреляционному измерению . Это относится к «мульти» в мультифрактале, где мультифракталы имеют несколько измерений в спектрах D (Q) по сравнению с Q, но монофракталы остаются довольно плоскими в этой области. [21] [22]
против
Еще один полезный мультифрактальный спектр - это график против (см. расчеты ). Эти графики обычно поднимаются до максимума, который приближается к фрактальной размерности при Q = 0, а затем падают. Как и спектры D Q по сравнению с Q, они также показывают типичные паттерны, полезные для сравнения нефрактальных, монофрактальных и мультифрактальных паттернов. В частности, для этих спектров не- и монофракталы сходятся на определенных значениях, тогда как спектры мультифрактальных паттернов обычно образуют горбы на более широкой площади.
Обобщенные измерения распределения численности видов в космосе
Одно из применений D q по сравнению с Q в экологии - характеристика распределения видов. Традиционно относительная численность видов рассчитывается для района без учета местонахождения особей. Эквивалентным представлением относительной численности видов являются ранги видов, используемые для создания поверхности, называемой поверхностью видового ранга [27], которую можно анализировать с использованием обобщенных измерений для обнаружения различных экологических механизмов, подобных тем, которые наблюдаются в нейтральной теории биоразнообразия , метасообществе. динамика , или нишевая теория . [27] [28]
Смотрите также
- Дробное броуновское движение
- Анализ колебаний без тренда
- Распределения твиди
- Марковский переключающий мультифрактал
- Взвешенная планарная стохастическая решетка (WPSL) [29]
Рекомендации
- ^ Харт, Дэвид (2001). Мультифракталы . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 978-1-58488-154-4.
- ^ Иванов, Пламен Ч .; Амарал, Луис А. Нуньес; Goldberger, Ary L .; Хавлин, Шломо; Розенблюм, Майкл Дж .; Struzik, Zbigniew R .; Стэнли, Х. Юджин (1999-06-03). «Мультифрактальность в динамике сердцебиения человека». Природа . 399 (6735): 461–465. arXiv : cond-mat / 9905329 . DOI : 10,1038 / 20924 . ISSN 0028-0836 . PMID 10365957 . S2CID 956569 .
- ^ Саймон, Шелдон Р .; Павел, Игорь Л .; Мансур, Джозеф; Манро, Майкл; Абернети, Питер Дж .; Радин, Эрик Л. (январь 1981 г.). «Пиковая динамическая сила в походке человека». Журнал биомеханики . 14 (12): 817–822. DOI : 10.1016 / 0021-9290 (81) 90009-9 . PMID 7328088 .
- ^ а б Франса, Лукас Габриэль Соуза; Монтойя, Педро; Миранда, Хосе Гарсиа Вивас (2019). «О мультифракталах: нелинейное исследование данных актиграфии». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 514 : 612–619. arXiv : 1702.03912 . DOI : 10.1016 / j.physa.2018.09.122 . ISSN 0378-4371 . S2CID 18259316 .
- ^ Папо, Дэвид; Гоньи, Хоакин; Булду, Хавьер М. (2017). «От редакции: О связи динамики и структуры в мозговых сетях». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 27 (4): 047201. Bibcode : 2017Chaos..27d7201P . DOI : 10.1063 / 1.4981391 . ISSN 1054-1500 . PMID 28456177 .
- ^ Чучу, Филипп; Вароко, Гаэль; Абри, Патрис; Садагиани, Сепидех; Кляйншмидт, Андреас (2012). «Безмасштабные и мультифрактальные свойства сигналов фМРТ во время отдыха и выполнения задания» . Границы физиологии . 3 : 186. DOI : 10,3389 / fphys.2012.00186 . ISSN 1664-042X . PMC 3375626 . PMID 22715328 .
- ^ а б Франса, Лукас Г. Соуза; Миранда, Хосе Г. Вивас; Лейте, Марко; Шарма, Нирадж К .; Уокер, Мэтью С .; Лемье, Луи; Ван, Юйцзян (2018). «Фрактальные и мультифрактальные свойства электрографических записей активности мозга человека: на пути к его использованию в качестве сигнального признака для машинного обучения в клинических приложениях» . Границы физиологии . 9 : 1767. arXiv : 1806.03889 . Bibcode : 2018arXiv180603889F . DOI : 10.3389 / fphys.2018.01767 . ISSN 1664-042X . PMC 6295567 . PMID 30618789 .
- ^ Илен, Эспен А.Ф .; Верейкен, Беатрикс (2010). «Взаимодействие-доминирующая динамика в человеческом познании: за пределами 1 / α колебания». Журнал экспериментальной психологии: Общие . 139 (3): 436–463. DOI : 10.1037 / a0019098 . ISSN 1939-2222 . PMID 20677894 .
- ^ Чжан, Яньли; Чжоу, Вэйдун; Юань, Шаша (2015). «Мультифрактальный анализ и автоматическое обнаружение припадков на основе вектора релевантности в интракраниальной ЭЭГ». Международный журнал нейронных систем . 25 (6): 1550020. DOI : 10,1142 / s0129065715500203 . ISSN 0129-0657 . PMID 25986754 .
- ^ Грудное вскармливание, Джон; Wink, Alle Meije; Бернард, Фредерик А .; Барнс, Анна; Буллмор, Эдвард (2008). «Эндогенная мультифрактальная динамика мозга зависит от возраста, холинергической блокады и когнитивных способностей» . Журнал методов неврологии . 174 (2): 292–300. DOI : 10.1016 / j.jneumeth.2008.06.037 . ISSN 0165-0270 . PMC 2590659 . PMID 18703089 .
- ^ Зорик, Тодд; Манделькерн, Марк А. (03.07.2013). «Мультифрактальный флуктуационный анализ ЭЭГ человека без тренда: предварительное исследование и сравнение с методом максимума модуля вейвлет-преобразования» . PLOS ONE . 8 (7): e68360. Bibcode : 2013PLoSO ... 868360Z . DOI : 10.1371 / journal.pone.0068360 . ISSN 1932-6203 . PMC 3700954 . PMID 23844189 .
- ^ Гастон, Кевин Дж .; Ричард Ингер; Бенни, Джонатан; Дэвис, Томас В. (24 апреля 2013 г.). «Искусственный свет изменяет естественные режимы яркости ночного неба» . Научные отчеты . 3 : 1722. Bibcode : 2013NatSR ... 3E1722D . DOI : 10.1038 / srep01722 . ISSN 2045-2322 . PMC 3634108 .
- ^ Кендал, WS; Йоргенсен, BR (2011). «Твидовая конвергенция: математическая основа для степенного закона Тейлора, 1 / f- шум и мультифрактальность» . Phys. Rev. E . 84 (6 Pt 2): 066120. Bibcode : 2011PhRvE..84f6120K . DOI : 10.1103 / physreve.84.066120 . PMID 22304168 .
- ^ Йоргенсен, B; Коконенджи, CC (2011). «Дисперсионные модели геометрических сумм» . Braz J Probab Stat . 25 (3): 263–293. DOI : 10.1214 / 10-bjps136 .
- ^ Кендал, WS (2014). «Мультифрактальность, связанная с двойным центральным предельным эффектом сходимости». Physica . 401 : 22–33. Bibcode : 2014PhyA..401 ... 22K . DOI : 10.1016 / j.physa.2014.01.022 .
- ^ Lopes, R .; Бетруни, Н. (2009). «Фрактальный и мультифрактальный анализ: обзор». Анализ медицинских изображений . 13 (4): 634–649. DOI : 10.1016 / j.media.2009.05.003 . PMID 19535282 .
- ^ Морено, Пенсильвания; Велес, ЧП; Martínez, E .; Гаррета, LE; Díaz, NS; Amador, S .; Тишер, I .; Gutiérrez, JM; Найк, АК; Тобар, ФН; Гарсия, Ф. (2011). «Геном человека: мультифрактальный анализ» . BMC Genomics . 12 : 506. DOI : 10.1186 / 1471-2164-12-506 . PMC 3277318 . PMID 21999602 .
- ^ Atupelage, C .; Nagahashi, H .; Yamaguchi, M .; Сакамото, М .; Хасигучи, А. (2012). «Дескриптор мультифрактального признака для гистопатологии» . Аналитическая клеточная патология . 35 (2): 123–126. DOI : 10.1155 / 2012/912956 . PMC 4605731 . PMID 22101185 .
- ^ А. Дж. Робертс и А. Кронин (1996). «Объективная оценка мультифрактальной размерности конечных наборов данных». Physica . 233 (3): 867–878. arXiv : chao-dyn / 9601019 . Bibcode : 1996PhyA..233..867R . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (96) 00165-3 .
- ^ Робертс, AJ (7 августа 2014 г.). «Мультифрактальная оценка - максимальная вероятность» . Университет Аделаиды . Дата обращения 4 июня 2019 .
- ^ а б в г Карпериен, А. (2002), Что такое мультифракталы? , ImageJ, заархивировано из оригинала 10 февраля 2012 г. , получено 10 февраля 2012 г.
- ^ а б Chhabra, A .; Дженсен, Р. (1989). «Прямое определение спектра особенностей f (α)». Письма с физическим обзором . 62 (12): 1327–1330. Bibcode : 1989PhRvL..62.1327C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.62.1327 . PMID 10039645 .
- ^ Посадас, И; Giménez, D .; Bittelli, M .; ВАЗ, ЦМП; Флури, М. (2001). «Мультифрактальная характеристика распределения почвенных частиц по размерам». Журнал Американского общества почвоведов . 65 (5): 1361. Bibcode : 2001SSASJ..65.1361P . DOI : 10,2136 / sssaj2001.6551361x .
- ^ Lopes, R .; Бетруни, Н. (2009). «Фрактальный и мультифрактальный анализ: обзор». Анализ медицинских изображений . 13 (4): 634–649. DOI : 10.1016 / j.media.2009.05.003 . PMID 19535282 .
- ^ Эбрагимханлу, Арвин; Фархидзаде, Алиреза; Саламоне, Сальваторе (01.01.2016). «Мультифрактальный анализ трещин в железобетонных стенах сдвига». Структурный мониторинг здоровья . 15 (1): 81–92. DOI : 10.1177 / 1475921715624502 . ISSN 1475-9217 . S2CID 111619405 .
- ^ Trevino, J .; Liew, SF; Но, H .; Cao, H .; Даль Негро, Л. (2012). «Геометрическая структура, мультифрактальные спектры и локализованные оптические моды апериодических спиралей Фогеля» . Оптика Экспресс . 20 (3): 3015–33. Bibcode : 2012OExpr..20.3015T . DOI : 10,1364 / OE.20.003015 . PMID 22330539 .
- ^ а б Саравиа, Леонардо А. (2015-08-01). «Новый метод анализа численности видов в космосе с использованием обобщенных измерений» . Методы экологии и эволюции . 6 (11): 1298–1310. DOI : 10.1111 / 2041-210X.12417 . ISSN 2041-210X .
- ^ Саравиа, Леонардо А. (01.01.2014). «mfSBA: Мультифрактальный анализ пространственных закономерностей в экологических сообществах» . F1000 Исследования . 3 : 14. DOI : 10,12688 / f1000research.3-14.v2 . PMC 4197745 . PMID 25324962 .
- ^ Hassan, MK; Hassan, MZ; Павел, Н.И. (2010). «Безмасштабная топология сети и мультифрактальность в взвешенной планарной стохастической решетке». Новый журнал физики . 12 (9): 093045. arXiv : 1008.4994 . Bibcode : 2010NJPh ... 12i3045H . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 12/9/093045 . S2CID 1934801 .
дальнейшее чтение
- Венециано, Даниэле; Эссиам, Альберт К. (1 июня 2003 г.). «Течение пористой среды с мультифрактальной гидравлической проводимостью» . Исследование водных ресурсов . 39 (6): 1166. Bibcode : 2003WRR .... 39.1166V . DOI : 10.1029 / 2001WR001018 . ISSN 1944-7973 .
Внешние ссылки
- Стэнли HE, Микин П. (1988). «Мультифрактальные явления в физике и химии» (Обзор) . Природа . 335 (6189): 405–9. Bibcode : 1988Natur.335..405S . DOI : 10.1038 / 335405a0 . S2CID 4318433 .
- Арнеодо, Ален; Аудит, Бенджамин; Кестенер, Пьер; Ру, Стефан (2008). «Мультифрактальный анализ на основе вейвлетов» . Scholarpedia . 3 (3): 4103. Bibcode : 2008SchpJ ... 3.4103A . DOI : 10,4249 / scholarpedia.4103 . ISSN 1941-6016 .
- Фильмы визуализаций мультифракталов