В алгебре и алгебраической геометрии , то мульти-однородный Без теоремы является обобщением нескольких однородных многочленов теоремы Беза , которая подсчитывает количество выделенных общих нулей набора однородных многочленов . Это обобщение принадлежит Игорю Шафаревичу . [1]
Мотивация
Учитывая полиномиальное уравнение или систему полиномиальных уравнений, часто бывает полезно вычислить или ограничить количество решений без явного вычисления решений.
В случае одного уравнения эта проблема решается основной теоремой алгебры , которая утверждает, что количество комплексных решений ограничено степенью полинома с равенством, если решения считаются с их кратностями .
В случае системы из n полиномиальных уравнений от n неизвестных проблема решается теоремой Безу , которая утверждает, что если количество комплексных решений конечно, то их количество ограничено произведением степеней решений. Более того, если число решений на бесконечности также конечно, то произведение степеней равно количеству решений, подсчитанных с кратностями и включающих решения на бесконечности.
Однако довольно часто число решений на бесконечности бесконечно. В этом случае произведение степеней многочленов может быть намного больше, чем количество корней, и полезны более точные оценки.
Мульти-однородная теорема Безу обеспечивает такой лучший корень, когда неизвестные могут быть разделены на несколько подмножеств, так что степень каждого многочлена в каждом подмножестве ниже, чем общая степень многочлена. Например, пусть- многочлены степени два, которые имеют степень один от n неопределенных а также первой степени в (то есть многочлены билинейны . В этом случае теорема Безу ограничивает количество решений величиной
в то время как мультиоднородная теорема Безу дает оценку (с использованием приближения Стирлинга )
Заявление
Мульти-однородный многочлен является многочленом , который является однородным относительно нескольких наборов переменных.
Точнее, рассмотрим k натуральных чисел, А для я = 1, ..., K , то неопределенный Многочлен от всех этих неопределенных является мультиоднородным и мультистепенным. если он однороден по степени в
Мульти-проективное многообразием является проективным подмногообразием произведения проективных пространств
где обозначим проективное пространство размерности n . Мультипроективное многообразие можно определить как множество общих нетривиальных нулей идеала мультиоднородных многочленов, где «нетривиальное» означает, чтоне являются одновременно 0 для каждого i .
Теорема Безу утверждает, что n однородных многочленов степенив n + 1 неопределенных определяет либо алгебраическое множество положительной размерности , либо нульмерное алгебраическое множество, состоящее из очки подсчитываются с учетом их кратности.
Для формулировки обобщения теоремы Безу удобно ввести новые неопределенные и представлять многоступенчатую по линейной форме В дальнейшем «множественная степень» будет относиться к этой линейной форме, а не к последовательности степеней.
Параметр мульти-однородный Без теорема состоит в следующем.
С указанными выше обозначениями n мультиоднородных многочленов нескольких степеней определяют либо мультипроективное алгебраическое множество положительной размерности, либо нульмерное алгебраическое множество, состоящее из B точек, подсчитанных с кратностями, где B - коэффициент
в произведении линейных форм
Неоднородный корпус
Мультиоднородная граница Безу на количество решений может использоваться для неоднородных систем уравнений, когда многочлены могут быть (мульти) - гомогенизированы без увеличения общей степени. Однако в этом случае оценка может быть неточной, если есть решения «на бесконечности».
Без понимания изучаемой проблемы может быть трудно сгруппировать переменные для «хорошей» мульти-гомогенизации. К счастью, существует множество проблем, когда такая группировка является прямым результатом моделируемой проблемы. Например, в механике уравнения обычно однородны или почти однородны по длине и массе.
Рекомендации
- ^ Шафаревич, IR (2012) [1977]. Основная алгебраическая геометрия . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 213 . Перевод Хирша, К.А. Спрингера. ISBN 978-3-642-96200-4.