В математике и логике , множественное число Количественная теория , что индивидуальная переменная х может принимать множественное число , а также в единственном числе, значения. Помимо замены x на отдельные объекты, такие как Алиса, число 1, самое высокое здание в Лондоне и т. Д., Мы можем заменить как Алису, так и Боба, или все числа от 0 до 10, или все здания в Лондоне более 20 этажей. .
Суть теории состоит в том, чтобы придать логике первого порядка силу теории множеств , но без какого-либо « экзистенциального обязательства » по отношению к таким объектам, как множества. Классические экспозиции - Boolos 1984 и Lewis 1991.
История
Эта точка зрения обычно ассоциируется с Джорджем Булосом , хотя она старше (см., В частности, Simons 1982), и связана с точкой зрения на классы, которую защищал Джон Стюарт Милль и другие философы- номиналисты . Милль утверждал, что универсалии или «классы» не являются чем-то особенным, имеющим объективное существование, отличным от индивидуальных объектов, подпадающих под них, но «представляют собой не больше и не меньше, чем индивидуальные вещи в классе». (Мельница 1904 г., II. II. 2, также I. IV. 3).
Похожая позиция также обсуждалась Бертраном Расселом в главе VI Рассела (1903), но позже была отклонена в пользу теории «отсутствия классов». См. Также Gottlob Frege 1895 для критики более ранней точки зрения, защищаемой Эрнстом Шредером .
Общая идея восходит к Лейбницу . (Леви 2011, стр. 129–133).
Интерес к множественным числам возродился в 1970-х годах в лингвистике Ремко Ша , Годехарда Линка , Фреда Ландмана , Фридерике Мольтманн , Роджера Шварцшильда , Питера Лазерсона и других, которые разработали идеи семантики множественного числа.
Предпосылки и мотивация
Многоступенчатые (переменно полиадические) предикаты и отношения
Предложения вроде
- Алиса и Боб сотрудничают.
- Алиса, Боб и Кэрол сотрудничают.
Говорят, что они включают многоуровневый (также известный как изменчиво полиадический , а также анадический ) предикат или отношение (в данном примере «сотрудничают»), что означает, что они обозначают одно и то же понятие, даже если у них нет фиксированной арности (ср. Linnebo И Николас 2008). Понятие многоуровневого отношения / предиката появилось еще в 1940-х годах и широко использовалось Куайном (см. Morton 1975). Множественная квантификация имеет дело с формализацией количественной оценки по аргументам переменной длины таких предикатов, например, « xx кооперировать», где xx - переменная множественного числа. Обратите внимание, что в этом примере семантически бессмысленно создавать экземпляр xx с именем одного человека.
Номинализм
Вообще говоря, номинализм отрицает существование универсалий ( абстрактных сущностей ), таких как множества, классы, отношения, свойства и т. Д. Таким образом, логика (логики) множественного числа была разработана как попытка формализовать рассуждения о множественных числах, таких как те, которые участвуют в многоуровневых предикатах. , видимо, не прибегая к понятиям, отрицаемым номиналистами, например к множествам.
Стандартная логика первого порядка затрудняет представление некоторых предложений множественным числом. Наиболее известна фраза Гича-Каплана «некоторые критики восхищаются только друг другом». Каплан доказал, что он не подлежит первичной коррекции (доказательство можно найти в этой статье). Следовательно, его пересказ на формальном языке обязывает нас к количественной оценке (т. Е. Существованию) множеств. Но некоторые [ кто? ] считают неправдоподобным, что приверженность множествам важна для объяснения этих предложений.
Обратите внимание, что отдельные экземпляры предложения, такие как «Алиса, Боб и Кэрол восхищаются только друг другом», не обязательно должны включать множества и эквивалентны соединению следующих предложений первого порядка:
- ∀x (если Алиса восхищается x, то x = Боб или x = Кэрол)
- ∀x (если Боб восхищается x, то x = Алиса или x = Кэрол)
- ∀x (если Кэрол восхищается x, то x = Алиса или x = Боб)
где x распространяется на всех критиков (считается, что критики не могут восхищаться собой). Но это, похоже, пример того, что «некоторые люди восхищаются только друг другом», что не подлежит первоочередной критике.
Булос утверждал, что монадическая квантификация 2-го порядка может быть систематически интерпретирована в терминах множественной квантификации, и что, следовательно, монадическая квантификация 2-го порядка «онтологически невинна». [1]
Позже Оливер и Смайли (2001), Райо (2002), Йи (2005) и Маккей (2006) утверждали, что такие предложения, как
- Они товарищи по плаванию
- Они встречаются вместе
- Они подняли пианино
- Они окружают здание
- Они восхищаются только друг другом
также не могут быть интерпретированы в монадической логике второго порядка. Это потому, что такие предикаты, как «сослуживцы», «встречаются вместе», «окружают здание», не являются распределительными . Предикат F является дистрибутивным, если всякий раз, когда некоторые вещи являются F, каждая из них является F. Но в стандартной логике каждый монадический предикат дистрибутивен . Однако такие предложения также кажутся невиновными в отношении каких-либо экзистенциальных предположений и не предполагают количественной оценки.
Таким образом, можно предложить единое описание терминов множественного числа, которое допускает как распределительное, так и недистрибутивное удовлетворение предикатов, защищая эту позицию от «сингулярного» предположения, что такие предикаты являются предикатами множеств индивидов (или мереологических сумм).
Несколько писателей [ кто? ] предположили, что множественная логика открывает перспективу упрощения основ математики , избежания парадоксов теории множеств и упрощения сложных и неинтуитивных наборов аксиом, необходимых для их устранения. [ требуется разъяснение ]
Недавно Линнебо и Николас (2008) предположили, что естественные языки часто содержат сверхмножественные переменные (и связанные с ними квантификаторы), такие как «эти люди, эти люди и эти другие люди соревнуются друг с другом» (например, как команды в онлайн-игре), в то время как Николас (2008) утверждал, что для объяснения семантики массовых существительных, таких как «вино» и «мебель», следует использовать логику множественного числа.
Формальное определение
В этом разделе представлена простая формулировка множественной логики / количественной оценки, примерно такая же, как у Булоса в номиналистическом платонизме (Boolos 1985).
Синтаксис
Второстепенные единицы определяются как
- Предикатные символы , и т. д. (с соответствующими артикулами, оставленными неявными)
- Сингулярные символы переменных , , так далее.
- Множественные символы переменных , , так далее.
Полные предложения определяются как
- Если является n- мерным предикатным символом, и - символы сингулярных переменных, то это приговор.
- Если это предложение, значит, тоже
- Если а также предложения, значит, тоже
- Если это приговор и - сингулярный переменный символ, то это приговор
- Если - сингулярный переменный символ и является множественным переменным символом, тогда это предложение (где ≺ обычно интерпретируется как отношение "является одним из")
- Если это приговор и является множественным переменным символом, тогда это приговор
Последние две строки - единственный существенно новый компонент синтаксиса множественной логики. Другие логические символы, определяемые с их помощью, могут свободно использоваться как сокращенные обозначения.
Эта логика оказывается равноинтерпретируемой монадической логике второго порядка .
Теория моделей
Теория / семантика моделей множественной логики - это то, где обналичивается отсутствие логики наборов. Модель определяется как кортеж где это домен, это собрание оценок для каждого имени предиката в обычном понимании, и является тарской последовательностью (присвоение значений переменным) в обычном смысле (т. е. отображение сингулярных символов переменных в элементы ). Новый компонент представляет собой двоичное отношение, связывающее значения в домене с множеством переменных символов.
Удовлетворение выражается как
- если только
- если только
- если только а также
- если есть такой, что
- если только
- если есть такой, что
Где для сингулярных символов переменных, означает, что для всех сингулярных переменных символов Кроме как , считается, что , а для множественных переменных символов, означает, что для всех символов множественного числа переменных Кроме как , а для всех объектов домена , считается, что .
Как и в синтаксисе, только два последних по-настоящему новы во множественном числе. Булос замечает, что с помощью отношений присваивания , домен не обязательно должен включать в себя наборы, и поэтому множественная логика достигает онтологической невиновности, сохраняя при этом способность говорить о расширениях предиката. Таким образом, схема понимания множественной логикине приводит к парадоксу Рассела, потому что количественная оценка множественных переменных не дает количественной оценки по предметной области. Другой аспект логики, как его определяет Булос, имеет решающее значение для обхода парадокса Рассела, - это тот факт, что предложения формы имеют неправильный формат: имена предикатов могут сочетаться только с сингулярными символами переменных, но не с множественными символами переменных.
Это можно рассматривать как простейший и наиболее очевидный аргумент в пользу того, что множественная логика, как ее определил Булос, онтологически невиновна.
Смотрите также
Заметки
- ^ Харман, Гилберт; Лепор, Эрнест (2013), Товарищ WVO Quine , Blackwell Companions to Philosophy, John Wiley & Sons, стр. 390, ISBN 9781118608029.
Рекомендации
- Джордж Булос , 1984, «Быть - значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных)», Journal of Philosophy 81: 430–449. In Boolos 1998, 54–72.
- --------, 1985, «Номиналистский платонизм». Философское обозрение 94: 327–344. In Boolos 1998, 73–87.
- --------, 1998. Логика, логика и логика . Издательство Гарвардского университета.
- Берджесс, JP, "От Фреге до Фридмана: мечта сбылась?"
- --------, 2004 г., «E Pluribus Unum: множественная логика и теория множеств», Philosophia Mathematica 12 (3): 193–221.
- Кэмерон, младший, 1999, "Множественная ссылка", соотношение .
- Кочьярелла, Нино (2002). «О логике множества классов». Studia Logica . 70 (3): 303–338. DOI : 10,1023 / A: 1015190829525 .
- Де Руильан, П., 2002, «О том, что есть», Труды Аристотелевского общества : 183–200.
- Готтлоб Фреге , 1895, "Критическое разъяснение некоторых моментов в" Vorlesungen Ueber Die Algebra der Logik " Э. Шредера , Archiv für systematische Philosophie : 433–456.
- Ландман, Ф., 2000. События и множественность . Kluwer.
- Laycock, Генри (2006), слова без объектов , Oxford: Clarendon Press, DOI : 10,1093 / 0199281718.001.0001 , ISBN 9780199281718
- Дэвид К. Льюис , 1991. Части классов . Лондон: Блэквелл.
- Линнебо, Эйстейн; Николас, Дэвид (2008). «Сверхмножественные числа в английском» (PDF) . Анализ . 68 (3): 186–97. DOI : 10.1093 / Analys / 68.3.186 . Архивировано из оригинального (PDF) 20 июля 2011 года . Проверено 29 ноября 2008 .
- Маккей, Томас Дж. (2006), Предсказание множественного числа , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927814-5
- Джон Стюарт Милль , 1904, Система логики , 8-е изд. Лондон:.
- Мольтманн, Фридерике , 1997, Части и целые в семантике . Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк. ISBN 9780195154931
- Мольтманн, Фридерике , «Множественная ссылка и ссылка на множественность». Лингвистические факты и семантический анализ ». В М. Каррара, А. Арапинис и Ф. Мольтманн (ред.): Единство и множественность. Логика, философия и семантика. Oxford University Press, Oxford, 2016, pp. 93-120.
- Николас, Дэвид (2008). «Массовые существительные и множественное число» (PDF) . Лингвистика и философия . 31 (2): 211–244. CiteSeerX 10.1.1.510.3305 . DOI : 10.1007 / s10988-008-9033-2 . Архивировано из оригинального (PDF) 19 февраля 2012 года.
- Оливер, Алекс; Смайли, Тимоти (2001). «Стратегии логики множественного числа». Philosophical Quarterly . 51 (204): 289–306. DOI : 10.1111 / j.0031-8094.2001.00231.x .
- Оливер, Алекс (2004). «Всесезонный прогноз». Разум . 113 (452): 609–681. DOI : 10,1093 / ум / 113.452.609 .
- Райо, Агустин (2002). «Слово и предметы». Нет . 36 (3): 436–64. DOI : 10.1111 / 1468-0068.00379 .
- --------, 2006, «За пределами множественного числа», в Rayo and Uzquiano (2006).
- --------, 2007, «Множественное число», готовится к публикации в Philosophy Compass .
- -------- и Габриэль Ускиано, ред., 2006. Absolute Generality Oxford University Press.
- Бертран Рассел Б., 1903. Принципы математики . Oxford Univ. Нажмите.
- Питер Саймонс , 1982, «Множественная ссылка и теория множеств» , изд. Барри Смит , « Части и моменты: исследования в области логики и формальной онтологии» . Мюнхен: Philosophia Verlag.
- --------, 1987. Части . Издательство Оксфордского университета.
- Ускиано, Габриэль (2003). «Множественная количественная оценка и классы». Философия математики . 11 (1): 67–81. DOI : 10.1093 / philmat / 11.1.67 .
- Йи, Бён-Ук (1999). «Два - это собственность?». Журнал философии . 95 (4): 163–190. DOI : 10.2307 / 2564701 . JSTOR 2564701 .
- --------, 2005, «Логика и значение множественного числа, часть I», Journal of Philosophical Logic 34: 459–506.
- Адам Мортон . «Сложные личности и разноплановые отношения». Nos (1975): 309-318. JSTOR 2214634
- Сэмюэл Леви (2011) «Логическая теория в Лейбнице» в Брэндоне С. Луке (ред.) Континуум, компаньон Лейбница , Continuum International Publishing Group, ISBN 0826429750
Внешние ссылки
- Линнебо, Ойстейн. «Множественная количественная оценка» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
- Мольтманн, Фридерике . (Август 2012) « Множественная ссылка и ссылка на множественность. Переоценка лингвистических фактов »
- Более обширная библиография
- https://web.archive.org/web/20150211224457/http://lumiere.ens.fr/~amari/genius/PapersSeminar/Nicolas-Semantics-for-plurals-Handout-0110.pdf