В теории чисел , A идеально цифра к цифре инвариантный ( PDDI ; также известный как числа Мюнхгаузны [1] ) представляет собой натуральное число в данной системе счисления это равно сумме цифр, каждая из которых возведена в степень. Например, в базе 3 ( тройной ) их три: 1, 12 и 22. Термин «число Мюнхгаузена» был введен голландским математиком и инженером-программистом Дааном ван Беркелем в 2009 году [2], поскольку это напоминает историю Барона. Мюнхгаузен приподнимается на своем собственном хвосте, потому что каждая цифра возведена во власть самой себя. [3] [4]
Определение
Позволять быть натуральным числом. Определим совершенную функцию инвариантной цифры-цифровой для базы быть следующим:
- .
где это количество цифр в числе в базе а также
- значение каждой цифры числа. Поскольку 0 0 обычно не определено, обычно используются два соглашения: в одном оно принимается равным единице, а в другом - равным нулю. [5] [6] Натуральное числоявляется идеальным инвариантом преобразования цифр в цифру, если это фиксированная точка для, что происходит, если . Для первого съезда фиксированная точка для всех , и, таким образом, является тривиальным совершенным инвариантом от цифр к цифрам для всех, и все другие совершенные инварианты преобразования цифр в цифру являются нетривиальными идеальными инвариантами преобразования цифр в цифру . Для второго соглашения оба а также - тривиальные совершенные инварианты преобразования цифр в цифру.
Например, число 3435 в базе является идеальным инвариантом для преобразования цифр в цифру, потому что .
Для , в первом соглашении , это просто количество цифр в представлении с основанием 2 и во втором соглашении , это просто цифра сумма .
Натуральное число является общительным инвариантом от цифры к цифре, если она является периодической точкой для, где для положительного целого числа , и образует цикл периода. Идеальный инвариант преобразования цифр в цифру - это общительный инвариант преобразования цифр в цифру с, а дружественный инвариант преобразования цифр в цифру - это общительный инвариант преобразования цифр в цифру с.
Все натуральные числа являются preperiodic точки для, вне зависимости от базы. Это потому, что все натуральные числа с основанием с участием цифры удовлетворяют . Однако когда, тогда так что любой удовлетворит до того как . Есть конечное число натуральных чисел меньше, чем, поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки меньше, чем , что делает его предпериодической точкой. Это также означает, что существует конечное число идеальных инвариантов и циклов преобразования цифр для любой данной базы..
Количество итераций необходимо для достичь фиксированной точки - это -factorion функционального направления настойчивость в, и undefined, если он никогда не достигает фиксированной точки.
Совершенные инварианты преобразования цифр в цифру и циклы для конкретных
Все числа представлены в базе .
соглашение
База | Нетривиальные совершенные инварианты преобразования цифр в цифры () | Циклы |
---|---|---|
2 | 10 | |
3 | 12, 22 | 2 → 11 → 2 |
4 | 131, 313 | 2 → 10 → 2 |
5 | 2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104 | |
6 | 22352, 23452 | 4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445 |
7 | 13454 | 12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066 |
8 | 405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405 | |
9 | 31, 156262, 1656547 | |
10 | 3435 | |
11 | ||
12 | 3A67A54832 |
соглашение
База | Нетривиальные совершенные инварианты преобразования цифр в цифры (, ) [1] | Циклы |
---|---|---|
2 | ||
3 | 12, 22 | 2 → 11 → 2 |
4 | 130, 131, 313 | |
5 | 103, 2024 г. | 2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9 |
6 | 22352, 23452 | 5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53 |
7 | 13454 | |
8 | 400, 401 | |
9 | 30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084 | |
10 | 3435, 438579088 | |
11 | ||
12 | 3A67A54832 |
Примеры программирования
Python
Следующая программа на Python определяет, является ли целое число инвариантом числа Мюнхгаузена / совершенной цифры в цифру или нет, следуя соглашению..
num = int ( input ( "Enter number:" )) temp = num s = 0.0, а num > 0 : digit = num % 10 num // = 10 s + = pow ( цифра , цифра ) if s == temp : print ( «Число Мюнхгаузена» ) else : print ( «Не число Мюнхгаузена» )
В приведенных ниже примерах реализуется идеальная инвариантная функция преобразования цифр в цифру, описанная в приведенном выше определении, для поиска идеальных инвариантов и циклов преобразования цифр в цифру в Python для этих двух соглашений.
соглашение
def pddif ( x : int , b : int ) -> int : total = 0, а x > 0 : total = total + pow ( x % b , x % b ) x = x // b возвращает итогЗащиту pddif_cycle ( х : INT , б : ИНТ ) -> Список [ ИНТ ]: видел = [] , а х не в видел : видел . append ( x ) x = pddif ( x , b ) cycle = [] пока x не находится в цикле : cycle . append ( x ) x = pddif ( x , b ) цикл возврата
соглашение
def pddif ( x : int , b : int ) -> int : total = 0 while x > 0 : if x % b > 0 : total = total + pow ( x % b , x % b ) x = x // b общая сумма возврата Защиту pddif_cycle ( х : INT , б : ИНТ ) -> Список [ ИНТ ]: видел = [] , а х не в видел : видел . append ( x ) x = pddif ( x , b ) cycle = [] пока x не находится в цикле : cycle . append ( x ) x = pddif ( x , b ) цикл возврата
Ява
Следующая программа на Java определяет, является ли целое число инвариантом числа Мюнхгаузена / совершенной цифры в цифру или нет, следуя соглашению.
import java.util.Scanner ; открытый класс Munchausen { public static void main () { Scanner in = new Scanner ( System . in ); Система . из . println ( "Введите номер:" ); int num = in . nextInt (), temp = число , цифра ; двойная сумма = 0 ; в то время как ( число > 0 ) { цифра = число % 10 ; число / = 10 ; сумма + = Мат . pow ( цифра , цифра ); } если ( сумма == темп ) System . из . print ( «Число Мюнхгаузена» ); else System . из . print ( «Не число Мюнхгаузена» ); } }
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b ван Беркель, Даан (2009). «О любопытном свойстве 3435». arXiv : 0911.3038 [ math.HO ].
- ^ Олри, Регис и Дуэйн Э. Хейнс. «Исторические и литературные корни синдромов Мюнхгаузена» , из литературы, неврологии и нейробиологии: неврологические и психиатрические расстройства, Стэнли Фингер, Франсуа Боллер, Энн Стайлз, ред. Elsevier, 2013. с.136.
- ^ Даан ван Беркель, О любопытном свойстве 3435.
- ^ Паркер, Мэтт (2014). Что делать и что делать в четвертом измерении . Пингвин Великобритания. п. 28. ISBN 9781846147654. Дата обращения 2 мая 2015 .
- ^ Narcisstic Количество , Harvey Heinz
- ^ Уэллс, Дэвид (1997). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin . Лондон: Пингвин. п. 185. ISBN 0-14-026149-4.
Внешние ссылки
- Паркер, Мэтт. «3435» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2017-04-13 . Проверено 1 апреля 2013 .