Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из игры с ненулевой суммой )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать с пустой суммой или нулевой игрой .
Для использования в других целях, см Нулевая сумма (значения) .

В теории игр и экономической теории игра с нулевой суммой - это математическое представление ситуации, в которой выгода или потеря полезности каждого участника точно уравновешиваются потерями или выигрышем от полезности других участников. Если сложить общие выигрыши участников и вычесть общие потери, они будут равны нулю. Таким образом, разрезание торта , когда взятие большего куска уменьшает количество торта, доступного для других, так же как увеличивает количество, доступное для этого берущего, является игрой с нулевой суммой, если все участники одинаково оценивают каждую единицу торта .

Напротив, ненулевая сумма описывает ситуацию, в которой совокупные прибыли и убытки взаимодействующих сторон могут быть меньше или больше нуля. Игра с нулевой суммой также называется строго соревновательной игрой, в то время как игры с ненулевой суммой могут быть либо соревновательными, либо неконкурентными. Антагонистические игры чаще всего решаются с минимаксной теоремой , которая тесно связана с линейным программированием двойственности , [1] или равновесиями Нэша .

Многие люди имеют когнитивную предвзятость в отношении ситуации с нулевой суммой, известную как предвзятость с нулевой суммой .

Определение [ править ]

Вариант 1Вариант 2
Вариант 1−A, AB, −B
Вариант 2С, -С−D, D
Общая игра с нулевой суммой

Свойство нулевой суммы (если один выигрывает, другой проигрывает) означает, что любой результат ситуации с нулевой суммой является оптимальным по Парето . Обычно любая игра, в которой все стратегии оптимальны по Парето, называется конфликтной. [2]

Игры с нулевой суммой - это конкретный пример игр с постоянной суммой, в которых сумма каждого результата всегда равна нулю. Такие игры являются распределительными, а не интегративными; пирог не может быть увеличен путем хороших переговоров.

Ситуации, когда все участники могут выиграть или пострадать вместе, называются ненулевой суммой. Таким образом, страна с избытком бананов, торгующая с другой страной за избыток яблок, где обе выгоды от сделки, находится в ситуации ненулевой суммы. Другие игры с ненулевой суммой - это игры, в которых сумма выигрышей и проигрышей игроков иногда больше или меньше той, с которой они начали.

Идея оптимального выигрыша по Парето в игре с нулевой суммой порождает обобщенный стандарт относительной эгоистической рациональности, стандарт наказания оппонента, где оба игрока всегда стремятся минимизировать выигрыш оппонента с выгодной для себя ценой, а не предпочитать большее. чем меньше. Стандарт наказания оппонента может использоваться как в играх с нулевой суммой (например, военная игра, шахматы), так и в играх с ненулевой суммой (например, в играх с объединенным выбором). [3]

Решение [ править ]

Для конечных игр с нулевой суммой для двух игроков различные теоретико-игровые концепции решения равновесия по Нэшу , минимакса и максимина дают одно и то же решение. Если игрокам разрешено играть смешанную стратегию , в игре всегда есть равновесие.

Пример [ править ]

Игра с нулевой суммой
Синий
красный
АBC
1
−30
30
10
−10
−20
20
2
10
−10
−20
20
20
−20

Матрица выигрышей в игре - удобное представление. Рассмотрим, например, игру двух игроков с нулевой суммой, изображенную справа или выше.

Порядок игры следующий: первый игрок (красный) тайно выбирает одно из двух действий 1 или 2; второй игрок (синий), не зная о выборе первого игрока, тайно выбирает одно из трех действий A, B или C. Затем варианты раскрываются, и на общую сумму очков каждого игрока влияет выигрыш за этот выбор.

Пример: красный выбирает действие 2, а синий выбирает действие B. Когда выплата распределяется, красный получает 20 очков, а синий теряет 20 очков.

В этом примере игры оба игрока знают матрицу выплат и пытаются максимизировать количество своих очков. Красный мог рассуждать следующим образом: «С действием 2 я могу потерять до 20 очков и выиграть только 20, а с действием 1 я могу проиграть только 10, но могу выиграть до 30, поэтому действие 1 выглядит намного лучше». По аналогичным соображениям синий выберет действие C. Если оба игрока предпримут эти действия, красный получит 20 очков. Если Синий предвидит рассуждение Красного и выбор действия 1, Синий может выбрать действие Б, чтобы выиграть 10 очков. Если красный, в свою очередь, предвидит этот трюк и переходит к действию 2, это приносит красному 20 очков.

Эмиль Борель и Джон фон Нейман пришли к фундаментальному пониманию того, что вероятность дает выход из этой головоломки. Вместо принятия решения о том, какое действие следует предпринять, два игрока назначают вероятности своим действиям, а затем используют случайное устройство, которое в соответствии с этими вероятностями выбирает действие за них. Каждый игрок вычисляет вероятности, чтобы минимизировать максимальную ожидаемую потерю очков независимо от стратегии оппонента. Это приводит к проблеме линейного программирования с оптимальными стратегиями для каждого игрока. Этот минимаксный метод может вычислить, вероятно, оптимальные стратегии для всех игр с нулевой суммой для двух игроков.

В приведенном выше примере оказывается, что красный должен выбрать действие 1 с вероятностью 4/7 и действие 2 с вероятностью 3/7, а Синий должен присвоить вероятности 0, 4/7, и 3/7 к трем действиям A, B и C. Красный тогда выиграет 20/7 очков в среднем за игру.

Решение [ править ]

Равновесие по Нэшу для двух игроков, игры с нулевой суммой в можно найти путем решения линейного программирования проблемы. Предположим, что игра с нулевой суммой имеет матрицу выплат M, где элемент M i , j - это выигрыш, полученный, когда минимизирующий игрок выбирает чистую стратегию i, а максимизирующий игрок выбирает чистую стратегию j (т. Е. Игрок, пытающийся минимизировать выигрыш, выбирает строку и игрок, пытающийся максимизировать выигрыш, выбирает столбец). Предположим, что каждый элемент Mположительный. В игре будет хотя бы одно равновесие по Нэшу. Равновесие по Нэшу можно найти (Рагхаван, 1994, с. 740), решив следующую линейную программу, чтобы найти вектор u :

Свести к минимуму:
С учетом ограничений:
u ≥ 0
M u ≥ 1 .

Первое ограничение говорит, что каждый элемент вектора u должен быть неотрицательным, а второе ограничение говорит, что каждый элемент вектора M u должен быть не меньше 1. Для результирующего вектора u обратная величина суммы его элементов равна значению игра. Умножение u на это значение дает вектор вероятности, дающий вероятность того, что максимизирующий игрок выберет каждую из возможных чистых стратегий.

Если игровая матрица не имеет всех положительных элементов, просто добавьте константу к каждому элементу, который достаточно велик, чтобы сделать их все положительными. Это увеличит ценность игры на эту константу и не повлияет на равновесные смешанные стратегии для равновесия.

Равновесная смешанная стратегия для минимизирующего игрока может быть найдена путем решения двойственной заданной линейной программы. Или его можно найти, используя описанную выше процедуру для решения модифицированной матрицы выигрыша, которая представляет собой транспонирование и отрицание M (добавляя константу, чтобы она была положительной), а затем решая полученную игру.

Если все решения линейной программы будут найдены, они будут составлять все равновесия Нэша для игры. И наоборот, любую линейную программу можно преобразовать в игру для двух игроков с нулевой суммой, используя замену переменных, которая переводит ее в форму приведенных выше уравнений, и, таким образом, такие игры в целом эквивалентны линейным программам. [4]

Универсальное решение [ править ]

Если избегание игры с нулевой суммой - это выбор действия с некоторой вероятностью для игроков, избегание всегда является стратегией равновесия по крайней мере для одного игрока в игре с нулевой суммой. Для любых игр с нулевой суммой для двух игроков, в которых ничья с нулевым результатом невозможна или недостоверна после начала игры, например, в покере, не существует другой стратегии равновесия по Нэшу, кроме избегания игры. Даже если после начала игры с нулевой суммой есть достоверная ничья с нулевым результатом, это не лучше, чем стратегия избегания. В этом смысле интересно обнаружить, что при вычислении оптимального выбора вознаграждение будет преобладать над играми с нулевой суммой для всех двух игроков в зависимости от того, начинать игру или нет. [5]

Самый распространенный или простой пример из подполя социальной психологии - это концепция « социальных ловушек ». В некоторых случаях преследование индивидуального личного интереса может улучшить коллективное благополучие группы, но в других ситуациях все стороны, преследующие личные интересы, приводят к взаимно деструктивному поведению.

Сложность [ править ]

Роберт Райт теоретизировал в своей книге « Ненулевое значение: логика человеческой судьбы» , что общество становится все более ненулевым по мере того, как оно становится более сложным, специализированным и взаимозависимым.

Расширения [ править ]

В 1944 году Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн доказали, что любая игра с ненулевой суммой для n игроков эквивалентна игре с нулевой суммой с n  + 1 игроком; ( n  + 1) -й игрок, представляющий глобальную прибыль или убыток. [6]

Недоразумения [ править ]

Игры с нулевой суммой и особенно их решения обычно неправильно понимаются критиками теории игр , обычно в отношении независимости и рациональности игроков, а также в отношении интерпретации функций полезности. Кроме того, слово «игра» не означает, что модель действительна только для развлекательных игр . [1]

Политику иногда называют нулевой суммой. [7] [8] [9]

Мышление с нулевой суммой [ править ]

В психологии мышление с нулевой суммой относится к восприятию ситуации, подобной игре с нулевой суммой, в которой выигрыш одного человека является проигрышем другого.

См. Также [ править ]

  • Биматрикс игра
  • Сравнительное преимущество
  • Голландская болезнь
  • Прибыль от торговли
  • Заблуждение о совокупном труде
  • Игра с положительной суммой

Ссылки [ править ]

  1. ^ а б Кен Бинмор (2007). Игра по-настоящему: текст по теории игр . Oxford University Press, США. ISBN 978-0-19-530057-4., главы 1 и 7
  2. Перейти ↑ Bowles, Samuel (2004). Микроэкономика: поведение, институты и эволюция . Издательство Принстонского университета . стр.  33 -36. ISBN 0-691-09163-3.
  3. ^ Вэньлян Ван (2015). Теория пульных игр и государственный пенсионный план. ISBN 978-1507658246 . Глава 1 и Глава 4. 
  4. ^ Илан Адлер (2012) Эквивалентность линейных программ и игр с нулевой суммой. Springer
  5. ^ Вэньлян Ван (2015). Теория пульных игр и государственный пенсионный план. ISBN 978-1507658246 . Глава 4. 
  6. ^ Теория игр и экономического поведения . Издательство Принстонского университета (1953). 25 июня 2005 г. ISBN 9780691130613. Проверено 25 февраля 2018 .
  7. ^ Рубин, Дженнифер (2013-10-04). «Ошибка в политике с нулевой суммой» . Вашингтон Пост . Проверено 8 марта 2017 .
  8. ^ «Лексингтон: политика с нулевой суммой» . Экономист . 2014-02-08 . Проверено 8 марта 2017 .
  9. ^ «Игра с нулевой суммой | Определите игру с нулевой суммой в» . Dictionary.com . Проверено 8 марта 2017 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Искажение концепции игр с нулевой суммой в контексте стратегий профессионального спортивного трейдинга , сериал Pardon the Interruption (2010-09-23) ESPN , созданный Тони Корнхайзером и Майклом Уилбоном , выступление Билла Симмонса
  • Справочник по теории игр - том 2 , глава Игры двух лиц с нулевой суммой , (1994) Elsevier Amsterdam, Raghavan, TES, под редакцией Aumann and Hart, стр. 735–759, ISBN 0-444-89427-6 
  • Power: Its Forms, Bases and Uses (1997) Transaction Publishers, Деннис Ронг [ ISBN отсутствует ]

Внешние ссылки [ править ]

  • Играйте в игры с нулевой суммой онлайн от Элмера Г. Винса.
  • Теория игр и ее приложения - исчерпывающий текст по психологии и теории игр. (Содержание и предисловие ко второму изданию.)
  • Играбельная игра с нулевой суммой и ее смешанная стратегия равновесия по Нэшу.