Нелинейное управление

Система управления с обратной связью . Желательно управлять системой (часто называемой установкой ), чтобы ее выход соответствовал желаемому опорному сигналу. Датчик контролирует выход и контроллер вычитают фактический выходной сигнал от требуемого опорного выхода, и подают этот сигнал ошибки в систему , чтобы довести выход ближе к эталонному. В нелинейной системе управления по крайней мере один из блоков, система, датчик или контроллер являются нелинейными.

Теория нелинейного управления - это область теории управления, которая имеет дело с системами, которые являются нелинейными , изменяющимися во времени или и тем и другим. Теория управления - это междисциплинарная отрасль инженерии и математики, которая занимается поведением динамических систем со входами и тем, как изменять выходные данные , изменяя входные данные, используя обратную связь , прямую связь или фильтрацию сигналов . Управляемая система называется « завод ». Один из способов заставить выход системы следовать желаемому опорному сигналу - это сравнить выход установки с желаемым выходом и обеспечить обратную связь.на завод, чтобы изменить выход, чтобы приблизить его к желаемому.

Теория управления делится на две части. Теория линейного управления применяется к системам, состоящим из устройств, которые подчиняются принципу суперпозиции . Они управляются линейными дифференциальными уравнениями . Основным подклассом являются системы, которые, кроме того, имеют параметры, которые не изменяются со временем, называемые системами с линейной инвариантностью во времени (LTI). Эти системы могут быть решены с помощью мощных частотной области математических методов большой общности, таких как преобразование Лапласа , преобразование Фурье , Z преобразования , Бод , корень локус , и устойчивость Найквист критерий.

Теория нелинейного управления охватывает более широкий класс систем, не подчиняющихся принципу суперпозиции. Это применимо к более реальным системам, потому что все реальные системы управления нелинейны. Эти системы часто управляются нелинейными дифференциальными уравнениями . Математические методы, которые были разработаны для их обработки, более строгие и гораздо менее общие, часто применяемые только к узким категориям систем. К ним относятся теория предельного цикла , отображения Пуанкаре , теория устойчивости по Ляпунову и описание функций . Если интерес представляют только решения вблизи устойчивой точки, нелинейные системы часто можно линеаризовать.аппроксимируя их линейной системой, полученной расширением нелинейного решения в ряд , а затем можно использовать линейные методы. ^[1] Нелинейные системы часто анализируются с использованием численных методов на компьютерах , например, путем моделирования их работы с использованием языка моделирования . Даже если объект является линейным, нелинейный контроллер часто может иметь привлекательные особенности, такие как более простая реализация, более высокая скорость, большая точность или пониженная энергия управления, что оправдывает более сложную процедуру проектирования.

Примером нелинейной системы управления является система отопления, управляемая термостатом . Система отопления здания, такая как печь, нелинейно реагирует на изменения температуры; он либо «включен», либо «выключен», у него нет точного управления в зависимости от разницы температур, которое было бы у пропорционального (линейного) устройства. Поэтому печь выключена до тех пор, пока температура не упадет ниже уставки включения термостата, когда он включается. Из-за тепла, добавляемого печью, температура увеличивается до тех пор, пока не достигнет уставки «выключения» термостата, который выключает печь, и цикл повторяется. Этот цикл изменения температуры около желаемой температуры называется предельным циклом , и характерен для нелинейных систем управления.

Свойства нелинейных систем [ править ]

Некоторые свойства нелинейных динамических систем

В них не соблюдается принцип суперпозиции (линейности и однородности).
У них может быть несколько изолированных точек равновесия.
Они могут проявлять такие свойства, как предельный цикл , бифуркация , хаос .
Конечное время ухода: решения нелинейных систем могут существовать не всегда.

Анализ и управление нелинейными системами [ править ]

Существует несколько хорошо разработанных методик анализа нелинейных систем обратной связи:

Описание метода функции
Метод фазовой плоскости
Анализ устойчивости по Ляпунову
Метод сингулярных возмущений
Критерий Попова и критерий круга для абсолютной устойчивости
Теорема о центральном многообразии
Теорема о малом выигрыше
Анализ пассивности

Также существуют методы проектирования управления для нелинейных систем. Их можно подразделить на методы, которые пытаются рассматривать систему как линейную в ограниченном диапазоне операций и используют (хорошо известные) методы линейного проектирования для каждого региона:

Планирование усиления

Те, которые пытаются ввести вспомогательную нелинейную обратную связь таким образом, чтобы систему можно было рассматривать как линейную для целей проектирования управления:

Линеаризация обратной связи

И Ляпунов методы , основанные на :

Редизайн Ляпунова
Функция Control-Ляпунова
Нелинейное затухание
Отступление
Управление скользящим режимом

Нелинейный анализ обратной связи - проблема Лурье [ править ]

Блок-схема задачи Лурье

Ранняя задача анализа нелинейных систем обратной связи была сформулирована А. И. Лурье . Системы управления, описываемые проблемой Лурье, имеют прямой путь, который является линейным и инвариантным во времени, и путь обратной связи, который содержит статическую нелинейность без памяти, возможно, изменяющуюся во времени.

Линейная часть может быть охарактеризована четырьмя матрицами ( A , B , C , D ), а нелинейная часть - это Φ ( y ) с (секторной нелинейностью). ${\ displaystyle {\ frac {\ Phi (y)} {y}} \ in [a, b], \ quad a <b \ quad \ forall y}$

Проблема абсолютной устойчивости [ править ]

Рассмотреть возможность:

( A , B ) управляема, а ( C , A ) наблюдаема
два действительных числа a , b с a < b , определяющие сектор для функции Φ

Задача Лурье (также известная как проблема абсолютной устойчивости) состоит в том, чтобы вывести условия, включающие только передаточную матрицу H ( s ) и { a , b }, такие, что x = 0 является глобально равномерно асимптотически устойчивым равновесием системы.

Есть две хорошо известные ошибочные гипотезы по проблеме абсолютной устойчивости:

Гипотеза Айзермана
Гипотеза Кальмана .

Графически эти гипотезы можно интерпретировать в терминах графических ограничений на график Φ ( y ) x y или также на график d Φ / dy x Φ / y . ^[2] Есть контрпримеры к гипотезам Айзермана и Калмана, такие, что нелинейность принадлежит сектору линейной устойчивости и единственное устойчивое равновесие сосуществует с устойчивым периодическим решением - скрытым колебанием .

Есть две основные теоремы, касающиеся проблемы Лурье, которые дают достаточные условия абсолютной устойчивости:

Критерий круга (расширение критерия устойчивости Найквиста для линейных систем)
Критерий Попов .

Теоретические результаты в нелинейном управлении [ править ]

Теорема Фробениуса [ править ]

Теорема Фробениуса - глубокий результат в дифференциальной геометрии. Применительно к нелинейному управлению он говорит следующее: для данной системы вида

{\ displaystyle {\ dot {x}} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) u_ {i} (t) \,}

где , - векторные поля, принадлежащие распределению, и - управляющие функции, интегральные кривые ограничиваются многообразием размерности, если и является инволютивным распределением. ${\ Displaystyle х \ в R ^ {п}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ Displaystyle и_ {я} (т)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {span} (\ Delta) = m}$ ${\ displaystyle \ Delta}$

См. Также [ править ]

Пассивирование обратной связи
Фазовая автоподстройка частоты
Небольшое свойство управления

Ссылки [ править ]

^ точка обрезки
^ Надери, Т .; Materassi, D .; Innocenti, G .; Дженезио, Р. (2019). «Пересмотр гипотез Калмана и Айзермана с помощью графической интерпретации». IEEE Transactions по автоматическому контролю . 64 (2): 670–682. DOI : 10.1109 / TAC.2018.2849597 . ISSN 0018-9286 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Лурье, AI; Постников, В.Н. (1944). "К теории устойчивости регулируемых систем". Прикладная математика и механика . 8 (3): 246–248.
Видьясагар, М. (1993). Нелинейный системный анализ (2-е изд.). Энглвудские скалы: Прентис-холл. ISBN 978-0-13-623463-0.
Исидори, А. (1995). Нелинейные системы управления (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-19916-8.
Халил, HK (2002). Нелинейные системы (3-е изд.). Река Верхнее Седл: Зал Прентис. ISBN 978-0-13-067389-3.
Brogliato, B .; Lozano, R .; Машке, Б .; Эгеланн, О. (2007). Анализ диссипативных систем и управление (2-е изд.). Лондон: Спрингер.
Леонов Г.А.; Кузнецов Н.В. (2011). "Алгоритмы поиска скрытых колебаний в задачах Айзермана и Калмана" (PDF) . Доклады Математики . 84 (1): 475–481. DOI : 10.1134 / S1064562411040120 .
Брагин В.О .; Вагайцев В.И.; Кузнецов Н.В.; Леонов Г.А. (2011). "Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Гипотезы Айзермана и Калмана и схемы Чуа" (PDF) . Международный журнал компьютерных и системных наук . 50 (5): 511–543. DOI : 10.1134 / S106423071104006X .
Леонов Г.А., Кузнецов Н.В. (2011). Серхио, Биттанти (ред.). «Аналитико-численные методы исследования скрытых колебаний в нелинейных системах управления» (PDF) . Сборники трудов МФБ (IFAC-PapersOnline) . Материалы 18-го Всемирного конгресса МФБ. 18 (1): 2494–2505. DOI : 10.3182 / 20110828-6-IT-1002.03315 . ISBN 9783902661937.

Внешние ссылки [ править ]

Функции языка Wolfram для нелинейных систем управления

[1] точка обрезки

[2] Надери, Т .; Materassi, D .; Innocenti, G .; Дженезио, Р. (2019). «Пересмотр гипотез Калмана и Айзермана с помощью графической интерпретации». IEEE Transactions по автоматическому контролю . 64 (2): 670–682. DOI : 10.1109 / TAC.2018.2849597 . ISSN 0018-9286 .

[1]