Тональность бриллиант

Quadrangularis Reversum , инструмент построен Гарри Партч на основе 11-предельному тональность алмаза

В теории музыки и настройки , тональность алмаз является двумерная диаграмма соотношения , в которых один размер является Otonality и один Utonality . ^[1] Таким образом, п-предел тональность алмаз ( «предел» здесь в смысле нечетного предела, не простое предел) представляет собой механизм , в алмазной форме множества рациональных чисел г , таким образом, что нечетная часть и числитель и знаменатель на г , когда уменьшается до младших членов, меньше или равна фиксированной нечетного числа п${\ Displaystyle 1 \ Leq г <2}$ . Эквивалентно, ромб можно рассматривать как набор классов высоты тона , где класс высоты тона - это класс эквивалентности высоты звука при октавной эквивалентности. Тональный ромб часто рассматривается как совокупность созвучий n-предела. Хотя первоначально изобретен Макс Фридрих Майер , ^[2] тональность алмазов в настоящее время большинство связано с Гарри Партч ( «Многие теоретики просто интонацией считают тональность алмазов наибольший вклад Партч к микротональной теории». ^[3] ).

Алмазная композиция [ править ]

Партч расположены элементы тональности алмаза в форме ромба , и подразделяется на (N + 1) ² /4 меньше ромбов. Вдоль верхней левой части ромба помещены нечетные числа от 1 до n, каждое уменьшенное до октавы (деленное на минимальную степень 2, чтобы ). Затем эти интервалы располагаются в порядке возрастания. Вдоль нижней левой части расположены соответствующие обратные числа от 1 до 1 / n, также уменьшенные до октавы (здесь, умноженные на минимальную степень 2, такую, что${\ Displaystyle 1 \ Leq г <2}$${\ Displaystyle 1 \ Leq г <2}$). Они расположены в порядке убывания. Во всех остальных местах помещается произведение диагональных верхних и нижних левых интервалов, уменьшенных до октавы. Это дает все элементы тональности ромба с некоторым повторением. Диагонали, наклоненные в одном направлении, образуют Отональности, а диагонали в другом направлении образуют Утональности. Один из инструментов Партча, алмазная маримба , расположен в соответствии с тональностью алмаза.

Числовая связь [ править ]

Числовой нексус является идентичностью совместно два или более интервальных соотношений в их числителе или знаменателе , с различными идентичностями в других. ^[1] Например, в Otonality знаменатель всегда равен 1, поэтому 1 - это числовая связь:

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccc} {\ frac {1} {1}} & {\ frac {2} {1}} & {\ frac {3} {1}} и {\ frac {4 } {1}} & {\ frac {5} {1}} & \ mathrm {и т. Д.} \\ && ({\ frac {3} {2}}) && ({\ frac {5} {4}} ) \ end {массив}}}$

В Utonality числитель всегда равен 1, а числовая связь также равна 1:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&\mathrm {etc.} \\&&({\frac {4}{3}})&&({\frac {8}{5}})\end{array}}}$

Например, в алмазе тональности, таком как алмаз Гарри Партча с 11 границами, каждое отношение правого наклонного ряда имеет общий числитель, а каждое отношение левого наклонного ряда имеет общий знаменатель. Каждое отношение в верхнем левом ряду имеет знаменатель 7, а каждое отношение в верхнем правом ряду имеет числитель 7 (или 14).

5-лимит [ править ]

Этот алмаз содержит три идентичности (1, 3, 5).

7-предел [ править ]

Этот алмаз содержит четыре идентичности (1, 3, 5, 7).

11-предел [ править ]

Этот алмаз содержит шесть идентичностей (1, 3, 5, 7, 9, 11). Гарри Партч использовал алмаз с предельной тональностью 11, но перевернул его на 90 градусов.

15-лимит [ править ]

Этот алмаз содержит восемь идентичностей (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

Геометрия алмаза тональности [ править ]

Пяти- и семи-предельные алмазы тональности демонстрируют очень регулярную геометрию в модулирующем пространстве , что означает, что все неунисонные элементы алмаза находятся только на одну единицу от унисона. Тогда пятигранный алмаз становится правильным шестиугольником, окружающим унисон, а семигранный алмаз - кубооктаэдром, окружающим унисон. ^{[ необходима цитата ]} . Эрв Уилсон реализовал другие примеры решеток алмазов от триадного до огдоадного алмаза, где каждому интервалу придается собственное уникальное направление. ^[4]

Свойства алмаза тональности [ править ]

Три свойства тонального алмаза и содержащиеся в нем соотношения:

1. Все отношения между соседними отношениями являются суперчастными , с разницей в 1 между числителем и знаменателем . ^[5]
2. Отношения с относительно меньшими числами имеют больше места между ними, чем отношения с более высокими числами. ^[5]
3. Система, включая отношения между соотношениями, симметрична в пределах октавы, если измеряется в центах, а не в соотношениях. ^[5]

Например:

1. Соотношение между ⁶ / ₅ и ⁵ / ₄ (и ⁸ / ₅ и ⁵ / ₃ ) составляет ²⁵ / ₂₄ .
2. Отношения с относительно низким числом ⁴ / ₃ и ³ / ₂ являются 203.91 центов друг от друга, в то время как отношения с относительно высоким числом ⁶ / ₅ и ⁵ / ₄ являются 70,67 центов друг от друга.
3. Соотношение между самым низким и вторым по величине и самым высоким и вторым по величине отношениями одинаково, и так далее.

Размер тонального ромба [ править ]

Если φ ( n ) - функция Эйлера , которая дает количество положительных целых чисел меньше n и взаимно простых с n, то есть подсчитывает целые числа меньше n, которые не имеют общего делителя с n, и если d (n) обозначает размер алмаза с предельной тональностью n, мы имеем формулу

${\displaystyle d(n)=\sum _{m<n\ odd}\phi (m).}$

Из этого можно сделать вывод, что скорость роста тональности алмаза асимптотически равна . Первые несколько значений являются важными, и тот факт, что размер алмаза увеличивается пропорционально квадрату размера нечетного предела, говорит нам, что он становится большим довольно быстро. У алмаза 5 пределов семь, 13 - алмаза предела 7, 19 - алмаза предела 9, 29 - алмаза предела 11, 41 - алмаза предела 13, и 49 - алмаза предела 15. алмаз; этого достаточно для большинства целей.${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2}}}n^{2}}$

Перевод в соотношения длины строки [ править ]

Юрий Landman опубликовала схему otonality и utonality что проясняет связь тональности алмазов Партча к в гармоническом ряде длины и струнной (как Партч также используется в его Kitharas) и Landmans мудсвинджера инструмент. ^[6]

В соотношениях Партча большее число соответствует количеству равных делений колеблющейся струны, а меньшее число соответствует тому, до какого деления сокращается длина струны. ⁵ / ₄ , например , является производным от деления строки на 5 равных частей и сокращение длины к 4 - й части от дна. На диаграмме Ландмана эти числа инвертированы, преобразовывая отношения частот в отношения длины струны.

См. Также [ править ]

• Решетка (музыка)
• Тональность потока

Ссылки [ править ]