Порядковый номер
В теории множеств порядковое число или порядковый номер представляет собой обобщение порядковых числительных (первое, второе, n -е и т. д.), направленное на расширение нумерации до бесконечных множеств . [1]
Конечное множество можно перечислить, последовательно помечая каждый элемент наименьшим натуральным числом , которое ранее не использовалось. Чтобы распространить этот процесс на различные бесконечные множества , порядковые числа определяются в более общем виде как линейно упорядоченные метки, включающие натуральные числа и обладающие тем свойством, что каждое множество порядковых чисел имеет наименьший элемент (это необходимо для придания значения «наименьшему неиспользуемому элементу»). элемент"). [2] Это более общее определение позволяет нам определить порядковое число (омега), которое больше любого натурального числа, а также порядковые числа , , и т. д., которые даже больше, чем .
Линейный порядок, в котором каждое подмножество имеет наименьший элемент, называется хорошим порядком . Аксиома выбора подразумевает, что каждое множество может быть хорошо упорядочено, и при наличии двух хорошо упорядоченных множеств одно изоморфно начальному сегменту другого. Таким образом, порядковые номера существуют и по существу уникальны.
Порядковые числа отличаются от количественных чисел , которые измеряют размер множеств. Хотя различие между ординалами и кардиналами не всегда очевидно на конечных множествах (от одного можно перейти к другому, просто подсчитывая метки), они сильно различаются в бесконечном случае, когда разные бесконечные ординалы могут соответствовать множествам, имеющим один и тот же кардинал. . Как и другие виды чисел, порядковые числа можно складывать, умножать и возводить в степень , хотя ни одна из этих операций не является коммутативной.
Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году [3] для размещения бесконечных последовательностей и классификации производных множеств , которые он ранее ввел в 1872 году при изучении уникальности тригонометрических рядов . [4]
Натуральное число (которое в данном контексте включает число 0 ) может использоваться для двух целей: для описания размера множества или для описания положения элемента в последовательности. При ограничении конечными множествами эти два понятия совпадают, поскольку все линейные порядки конечного множества изоморфны .
