Уравнения Озеена

В динамике жидкости , то уравнения Озеены (или Озеен поток ) описывают поток в вязкую и несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса , как она была сформулировано Озейны в 1910 году Озеен потока является улучшенным описание этих потоков, по сравнению с потоком Стокса , с (частичным) учетом конвективного ускорения . ^[1]

Работа Озеена основана на экспериментах Г.Г. Стокса , изучавшего падение шара через вязкую жидкость. Он разработал поправочный член, включающий инерционные факторы, для скорости потока, использованной в расчетах Стокса, для решения проблемы, известной как парадокс Стокса . Его приближение приводит к улучшению расчетов Стокса.

Уравнения [ править ]

Уравнения Озеена в случае объекта, движущегося с постоянной скоростью потока U через жидкость, которая находится в состоянии покоя вдали от объекта, и в системе отсчета, привязанной к объекту: ^[1]

${\ displaystyle {\ begin {align} - \ rho \ mathbf {U} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} & = - \ nabla p \, + \, \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} , \\\ набла \ cdot \ mathbf {u} & = 0, \ end {align}}}$

где

• u - возмущение скорости потока, вызванное движущимся объектом, то есть полная скорость потока в системе отсчета, движущейся вместе с объектом, равна - U + u ,
• p - давление ,
• ρ - плотность жидкости,
• μ - динамическая вязкость ,
• ∇ - оператор градиента , а
• ∇ ² является оператор Лапласа .

Граничные условия для обтекания твердого объекта Озеена:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\mathbf {U} &&{\text{at the object surface}},\\\mathbf {u} &\to 0&&{\text{and}}\quad p\to p_{\infty }\quad {\text{for}}\quad r\to \infty ,\end{aligned}}}$

где r - расстояние от центра объекта, а p _∞ - невозмущенное давление вдали от объекта.

Продольные и поперечные волны ^[2] [ править ]

Фундаментальным свойством уравнения Озеена является то, что общее решение можно разделить на продольные и поперечные волны.

Решение представляет собой продольную волну, если скорость является безвихревой и, следовательно, вязкий член выпадает. Уравнения становятся${\displaystyle \left(\mathbf {u} _{\text{L}},p'\right)}$

${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{L}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{L}}}_{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{L}}=0,\quad \nabla \times \mathbf {u} _{\text{L}}=0}$

В результате

${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{L}}=\nabla \phi ,\quad \nabla ^{2}\phi =0,\quad p'=p-p_{\infty }=-\rho U\mathbf {u} _{\text{L}}}$

Скорость выводится из теории потенциала, а давление - из линеаризованных уравнений Бернулли.

Решением является поперечная волна, если давление тождественно равно нулю, а поле скорости соленоидально. Уравнения${\displaystyle (\mathbf {u} _{\text{T}},0)}$${\displaystyle p'}$

${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{T}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{T}}}_{x}=\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{T}},\quad \nabla \cdot \mathbf {u_{T}} =0.}$

Тогда полное решение Озеена дается формулой

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}}$

теорема о расщеплении Горация Лэмба . ^[3] Расщепление уникально, если заданы условия на бесконечности (скажем ).${\displaystyle \mathbf {u} =0,\ p=p_{\infty }}$

Для некоторых потоков Озеена возможно дальнейшее разделение поперечной волны на безвихревую и вращательную составляющие. Пусть будет скалярная функция, которая удовлетворяет и обращается в нуль на бесконечности, и, наоборот, пусть задана так, что тогда поперечная волна имеет вид${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}.}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle U\chi _{x}=\nu \nabla ^{2}\chi }$${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=(u_{\text{T}},v_{\text{T}})}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }v_{\text{T}}dy=0}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi +\chi \mathbf {i} ,\quad \mathbf {u} _{\text{1}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi ,\quad \mathbf {u} _{\text{2}}=\chi \mathbf {i} .}$

где определяется и - единичный вектор. Ни либо, либо не являются поперечными сами по себе, но являются поперечными. Следовательно,${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi ={\frac {U}{\nu }}\int _{y}^{\infty }v_{T}dy}$${\displaystyle \mathbf {i} }$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$

Единственная вращательная составляющая - это бытие .${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$

Фундаментальные решения ^[2] [ править ]

Фундаментальное решение в связи с особой точкой силы , встроенной в потоке Озеен является Oseenlet . Фундаментальные решения в замкнутой форме для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена, связанных с произвольными нестационарными поступательными и вращательными движениями, были получены для ньютоновской ^[4] и микрополярной ^[5] жидкостей.

Используя уравнение Озеена, Гораций Лэмб смог получить улучшенные выражения для вязкого обтекания сферы в 1911 году, улучшив закон Стокса в сторону несколько более высоких чисел Рейнольдса. ^[1] Кроме того, Лэмб впервые получил решение для вязкого обтекания кругового цилиндра. ^[1]

Решение реакции сингулярной силы при отсутствии внешних границ можно записать как${\displaystyle \mathbf {f} }$

${\displaystyle U\mathbf {u} _{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\mathbf {f} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Если , где находится в единственном числе сила , сосредоточенная в точке и произвольная точка и является данный вектор, который дает направление особой силой, то в отсутствие границ, скорость и давление является производным от фундаментального тензора а фундаментальный вектор${\displaystyle \mathbf {f} =\delta (q,q_{o})\mathbf {a} }$${\displaystyle \delta (q,q_{o})}$${\displaystyle q_{o}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \Gamma (q,q_{o})}$${\displaystyle \Pi (q,q_{o})}$

${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\Gamma (q,q_{o})\mathbf {a} ,\quad p'=p-p_{\infty }=\Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {a} }$

Теперь, если - произвольная функция пространства, решение для неограниченной области есть${\displaystyle \mathbf {f} }$

${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\int \Gamma (q,q_{o})\mathbf {f} (q_{o})dq_{o},\quad p'(q)=\int \Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {f} (q_{o})dq_{o}}$

где - бесконечно малый элемент объема / площади вокруг точки .${\displaystyle dq_{o}}$${\displaystyle q_{o}}$

Двумерный [ править ]

Без потери общности взяты у истоков и . Тогда фундаментальный тензор и вектор равны${\displaystyle q_{o}=(0,0)}$${\displaystyle q=(x,y)}$

${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial A}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&-{\frac {\partial A}{\partial x}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2\pi \nu }}e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r){\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \Pi ={\frac {\rho }{2\pi }}\nabla (\ln r)}$

где

${\displaystyle \lambda ={\frac {U}{2\nu }},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2},\quad A=-{\frac {1}{2\pi U}}\left[\ln r+e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r)\right]}$

где - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.${\displaystyle K_{o}(\lambda r)}$

Трехмерный [ править ]

Без потери общности взяты у истоков и . Тогда фундаментальный тензор и вектор равны${\displaystyle q_{o}=(0,0,0)}$${\displaystyle q=(x,y,z)}$

${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial B}{\partial x}}&{\frac {\partial C}{\partial x}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&{\frac {\partial B}{\partial y}}&{\frac {\partial C}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial z}}&{\frac {\partial B}{\partial z}}&{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4\pi \nu }}{\frac {e^{-\lambda (r-x)}}{r}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi =-{\frac {\rho }{4\pi }}\nabla \left({\frac {1}{r}}\right)}$

где

${\displaystyle \lambda ={\frac {U}{2\nu }},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},\quad A={\frac {1}{4\pi U}}{\frac {1-e^{-\lambda (r-x)}}{r}},\quad B=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]y}{r(r-x)}},\quad C=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]z}{r(r-x)}}}$

Расчеты [ править ]

Озеен считал, что сфера неподвижна, а жидкость течет со скоростью потока ( ) на бесконечном расстоянии от сферы. В расчетах Стокса инерционные члены не учитывались. ^[6] Это ограничивающее решение, когда число Рейнольдса стремится к нулю. Когда число Рейнольдса небольшое и конечное, например 0,1, необходима поправка на инерционный член. Озеен подставил следующие значения скорости потока в уравнения Навье-Стокса .${\displaystyle U}$

${\displaystyle u_{1}=u+u_{1}',\qquad u_{2}=u_{2}',\qquad u_{3}=u_{3}'.}$

Вставка их в уравнения Навье-Стокса и пренебрежение квадратичными членами в числах со штрихами приводит к выводу приближения Озеена:

${\displaystyle u{\partial u_{1}' \over \partial x_{1}}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x_{1}}+\nu \nabla ^{2}u_{i}'\qquad \left({i=1,2,3}\right).}$

Поскольку движение симметрично относительно оси и расходимость вектора завихренности всегда равна нулю, получаем:${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{U \over 2v}{\partial \over \partial x}\right)\chi =G(x)=0}$

функция может быть исключена путем добавления к подходящей функции в , является функцией завихренности, а предыдущая функция может быть записана как:${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {U \over v}{\partial u' \over \partial x}=\nabla ^{2}u'}$

и путем некоторой интеграции решение для :${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle e^{-Ux \over 2v}\chi ={{Ce^{-U\operatorname {Re} \over 2v}} \over \operatorname {Re} }}$

таким образом, позволяя быть "привилегированным направлением", которое он производит:${\displaystyle x}$

${\displaystyle \varphi ={A_{0} \over \operatorname {Re} }+A_{1}{\partial \over \partial x}{1 \over \operatorname {Re} }+A_{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{1 \over \operatorname {Re} }+\ldots }$

тогда, применяя три граничных условия, получаем

${\displaystyle C=-{3 \over 2}Ua,\ A_{0}=-{3 \over 2}va,\ A_{1}={1 \over 4}Ua^{3}\ {\text{, etc.}}}$

новый улучшенный коэффициент лобового сопротивления теперь становится:

${\displaystyle C_{\text{d}}={12 \over \operatorname {Re} }\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right)}$

и, наконец, когда решение Стокса было решено на основе приближения Озеена, оно показало, что результирующая сила сопротивления определяется выражением

${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,au\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right),}$

где:

${\displaystyle \operatorname {Re} =\rho ua/\mu }$- число Рейнольдса, основанное на радиусе сферы,${\displaystyle a}$

${\displaystyle F}$ гидродинамическая сила

${\displaystyle u}$ скорость потока

${\displaystyle \mu \,}$ вязкость жидкости

Сила из уравнения Озеена отличается от силы Стокса в несколько раз.

${\displaystyle 1+{3 \over 8}\operatorname {Re} .}$

Ошибка в решении Стокса [ править ]

Уравнения Навье-Стокса гласят: ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\triangledown u'&~=0\\u\triangledown u'&~=-\triangledown p+\nu \triangledown ^{2}u',\end{aligned}}}$

но когда поле скорости:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{y}&=u\cos \theta \left({1+{a^{3} \over 2r^{3}}-{3a \over 2r}}\right)\\u_{z}&=-u\sin \theta \left({1-{a^{3} \over 4r^{3}}-{3a \over 4r}}\right).\end{aligned}}}$

В дальней зоне ≫ 1 последний член доминирует в вязком напряжении. То есть:${\displaystyle {r \over a}}$

${\displaystyle \triangledown ^{2}u'=O\left({a^{3} \over r^{3}}\right).}$

В термине инерции преобладает термин:

${\displaystyle u{\partial u' \over \partial z_{1}}\sim O\left({a^{2} \over r^{2}}\right).}$

Тогда ошибка выражается соотношением:

${\displaystyle u{{\partial u' \over \partial z_{1}} \over {\nu \triangledown ^{2}u'}}=O\left({r \over a}\right).}$

Это становится неограниченным при 1, поэтому инерцию нельзя игнорировать в дальней зоне. Используя ротор, уравнение Стокса дает. Поскольку тело является источником завихренности , оно станет неограниченным логарифмически при больших значениях. Это определенно нефизично и известно как парадокс Стокса .${\displaystyle {r \over a}}$${\displaystyle \triangledown ^{2}\zeta \,=0.}$${\displaystyle \zeta \,}$${\displaystyle {r \over a}.}$

Решение для движущейся сферы в несжимаемой жидкости [ править ]

Рассмотрим случай твердого шара, движущегося в неподвижной жидкости с постоянной скоростью. Жидкость моделируется как несжимаемая жидкость (т.е. с постоянной плотностью ), и постоянство означает, что ее скорость стремится к нулю по мере того, как расстояние от сферы приближается к бесконечности.

Для реального тела будет временный эффект из-за его ускорения, когда оно начнет свое движение; однако по прошествии достаточного времени она будет стремиться к нулю, так что скорость жидкости повсюду будет приближаться к скорости, полученной в гипотетическом случае, когда тело уже движется в течение бесконечного времени.

Таким образом, мы предполагаем, что сфера радиуса а движется с постоянной скоростью в несжимаемой жидкости, которая покоится на бесконечности. Мы будем работать в координатах, которые движутся вместе со сферой с центром координат, расположенным в центре сферы. У нас есть:${\displaystyle {\vec {U}}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|=a\right)&={\vec {U}}\\{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|\rightarrow \infty \right)&\rightarrow 0\end{aligned}}}$

Поскольку эти граничные условия, а также уравнение движения, инвариантны во времени (т. Е. Они не меняются при сдвиге времени ), когда они выражены в координатах, решение зависит от времени только через эти координаты.${\displaystyle t\rightarrow t+\Delta t}$${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

Уравнения движения - это уравнения Навье-Стокса, определенные в координатах покоящейся системы координат . Хотя пространственные производные равны в обеих системах координат, производная по времени, которая появляется в уравнениях, удовлетворяет:${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}_{m}-{\vec {U}}\cdot t}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)}{\partial t}}=\sum _{i}{{\frac {d{x_{m}}_{i}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}}_{m}\right)}{\partial {x_{m}}_{i}}}}=-\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}_{m}\right){\vec {u}}}$

где производная по движущимся координатам . В дальнейшем мы опускаем индекс m .${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{m}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

Приближение Озеена сводится к пренебрежению термином нелинейный по . Таким образом, несжимаемые уравнения Навье-Стокса становятся:${\displaystyle {\vec {u}}}$

${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}={\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p}$

для жидкости, имеющей плотность ρ и кинематическую вязкость ν = μ / ρ (μ - динамическая вязкость ). p - давление .

Благодаря уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости решение может быть выражено с использованием векторного потенциала . Оказывается, это направлено в направлении, и его величина эквивалентна функции тока, используемой в двумерных задачах. Оказывается:${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$${\displaystyle {\vec {\varphi }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=Ua^{2}\left(-{\frac {a}{4r^{2}}}\sin \theta +3{\frac {1-\cos \theta }{r\sin \theta }}{\frac {1-e^{-{\frac {Rr}{4a}}(1+\cos \theta )}}{R}}\right)\\{\vec {u}}&={\vec {\nabla }}\times (\psi {\hat {\varphi }})={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\psi \sin \theta \right){\hat {r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\psi \right){\hat {\theta }}\end{aligned}}}$

где - число Рейнольдса для потока, близкого к сфере.${\displaystyle R=2aU/\nu }$

Обратите внимание, что в некоторых обозначениях заменяется на, чтобы вывод из был более похож на его вывод из функции тока в двумерном случае (в полярных координатах).${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \Psi =\psi \cdot r\sin \theta }$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle \Psi }$

Разработка [ править ]

${\displaystyle \psi }$ можно выразить следующим образом:

${\displaystyle \psi =\psi _{1}+\psi _{2}-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}}$

где:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&\equiv -{\frac {Ua^{3}}{4r^{2}}}\sin \theta \\\psi _{2}&\equiv {\frac {3Ua^{2}}{Rr}}{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{4a}}}$, так что .${\displaystyle {\frac {U}{2k}}={\frac {2Ua}{R}}=\nu }$

Вектор лапласиана вектора типа гласит :${\displaystyle V(r,\theta ){\hat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left(V(r,\theta ){\hat {\varphi }}\right)={\hat {\varphi }}\cdot \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)V(r,\theta )=\\&{\hat {\varphi }}\cdot \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}V(r,\theta )\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}V(r,\theta )\right)-{\frac {V(r,\theta )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]\end{aligned}}}$.

Таким образом, можно рассчитать, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=0\\\nabla ^{2}\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=0\end{aligned}}}$

Следовательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}{\vec {\psi }}&=-\nabla ^{2}\left(\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)\\&=-\left(\psi _{2}\nabla ^{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}+2{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial r}}e^{-kr(1+\cos \theta )}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}e^{-kr(1+\cos \theta )}\right){\hat {\varphi }}\\&=-{\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\end{aligned}}}$

Таким образом, завихренность равна:

${\displaystyle {\vec {\omega }}\equiv {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=-\nabla ^{2}{\vec {\psi }}={\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}}$

где мы использовали равенство нулю дивергенции от связать вектор Лапласа и двойной завиток .${\displaystyle {\vec {\psi }}}$

Левая часть уравнения движения является ротором следующего:

${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}-\nu {\vec {\omega }}}$

Мы рассчитываем производную отдельно для каждого члена в .${\displaystyle \psi }$

Обратите внимание, что:

${\displaystyle {\vec {U}}=U\left(\cos \theta {\hat {r}}-\sin \theta {\hat {\theta }}\right)}$

А также:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}&=-{\frac {1}{r}}\psi _{2}\\\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}&=\psi _{2}\end{aligned}}}$

Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}=-U{\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )\psi _{2}{\hat {\varphi }}=-{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)&=-e^{-kr(1+\cos \theta )}\left(\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }})+\psi _{2}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-kr(1+\cos \theta \right){\hat {\varphi }}\right)\right)\\&=U\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}\left({\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )+\cos \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}\\&=U\psi _{2}(1+\cos \theta )\left({\frac {1}{r}}+k\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\\&={\frac {U}{2k}}{\vec {\omega }}=\nu {\vec {\omega }}\end{aligned}}}$

Объединяя все термины, мы имеем:

${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta -{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta \right){\hat {\varphi }}}$

Взяв ротор, мы находим выражение, которое равно градиенту следующей функции, которая является давлением:${\displaystyle 1/\rho }$

${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {3\mu Ua}{2r^{2}}}\cos \theta +{\frac {\rho U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)}$

где - давление на бесконечности ,. - полярный угол, возникающий с противоположной стороны от передней точки торможения ( где - передняя точка торможения).${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =\pi }$

Кроме того, скорость вычисляется с помощью ротации :${\displaystyle {\vec {\psi }}}$

${\displaystyle {\vec {u}}=U\left[-{\frac {a^{3}}{2r^{3}}}\cos \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr^{2}}}-{\frac {3a^{2}}{R}}\left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}[1-\cos \theta ]\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {r}}-U\left[{\frac {a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr}}k\sin \theta e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {\theta }}}$

Эти p и u удовлетворяют уравнению движения и, таким образом, составляют решение приближения Озеена.

Модификации приближения Озеена [ править ]

Однако можно задаться вопросом, был ли поправочный член выбран случайно, потому что в системе отсчета, движущейся вместе со сферой, жидкость около сферы почти неподвижна, и в этой области силой инерции можно пренебречь, и уравнение Стокса хорошо оправдано. ^[6] Вдали от сферы скорость потока приближается к u, и приближение Озеена более точное. ^[6] Но уравнение Озеена было получено с применением уравнения для всего поля потока. На этот вопрос ответили Праудмен и Пирсон в 1957 г. ^[8]который решил уравнения Навье-Стокса и дал улучшенное решение Стокса в окрестности сферы и улучшенное решение Озеена в бесконечности и сопоставил два решения в предполагаемой общей области их применимости. Они получили:

${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,aU\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} +{9 \over 40}\operatorname {Re} ^{2}\ln \operatorname {Re} +{\mathcal {O}}\left(\operatorname {Re} ^{2}\right)\right).}$

Приложения [ править ]

Важны метод и формулировка анализа потока при очень низком числе Рейнольдса . Медленное движение мелких частиц в жидкости - обычное дело в биоинженерии . Препарат Oseen может использоваться в сочетании с потоком жидкостей в различных особых условиях, таких как: содержание частиц, осаждение частиц, центрифугирование или ультрацентрифугирование суспензий, коллоидов и крови путем выделения опухолей и антигенов. ^[6] Жидкость даже не обязательно должна быть жидкостью, и частицы не обязательно должны быть твердыми. Его можно использовать в ряде приложений, таких как образование смога и распыление жидкостей.

Кровоток в мелких сосудах, таких как капилляры , характеризуется небольшими числами Рейнольдса и Уомерсли . Судно диаметра 10 мкм с потоком 1 миллиметр / сек , вязкость 0,02 пуаза для крови, плотность от 1 г / см ³ , и частота сердечных сокращений 2 Гц , будет иметь число Рейнольдса 0,005 и число уомерл из 0,0126. При этих малых числах Рейнольдса и Уомерсли вязкое влияние жидкости становится преобладающим. Понимание движения этих частиц необходимо для доставки лекарств и изучения метастазирования раковых опухолей.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Озеен, Карл Вильгельм (1910), "Über die Stokes'sche formel, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik", Arkiv for matematik, astronomi och fysik , vi (29)
• Бэтчелор, Джордж (2000), Введение в динамику жидкости , Кембриджская математическая библиотека (второе издание в мягкой обложке), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66396-0, Руководство по ремонту  1744638
• Фунг, Юань-чэн (1997), Биомеханика: Циркуляция (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Мей, CC (4 апреля 2011 г.), «Улучшение Озеена для медленного обтекания тела» (pdf) , Advanced Environmental Fluid Mechanics , Web.Mit.edu , получено 28 февраля 2013 г.
• Proudman, I .; Пирсон, JRA (1957), "Расширения при малых числах Рейнольдса для потока мимо сферы и кругового цилиндра", Journal of Fluid Mechanics , 2 (3): 237–262, Bibcode : 1957JFM ..... 2 .. 237P , DOI : 10,1017 / S0022112057000105