Поверхность Пеано

Модель поверхности Пеано в коллекции Дрездена

В математике поверхность Пеано - это график функции двух переменных

${\ displaystyle f (x, y) = (2x ^ {2} -y) (yx ^ {2}).}$

Он был предложен Джузеппе Пеано в 1899 году как контрпример к предполагаемому критерию существования максимумов и минимумов функций двух переменных. ^{[1] [2]}

Поверхность была названа поверхностью Пеано ( нем . Peanosche Fläche ) Георгом Шефферсом в его книге 1920 года Lehrbuch der darstellenden Geometrie . ^{[1] [3]} Его также называют седлом Пеано . ^{[4] [5]}

Свойства [ править ]

Поверхность Пеано и ее кривые уровня для уровня 0 (параболы, зеленый и фиолетовый)

Функция , график которой представляет собой поверхность, принимает положительные значения между двумя параболами и , и отрицательные значения в другом месте (см. Диаграмму). В начале координат , трехмерной точке на поверхности, которая соответствует точке пересечения двух парабол, поверхность имеет седловую точку . ^[6] Сама поверхность имеет положительную гауссову кривизну в одних частях и отрицательную кривизну в других, разделенных другой параболой, ^{[4] [5],} подразумевая, что ее отображение Гаусса имеет касп Уитни . ^[5]${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle y=2x^{2}}$${\displaystyle (0,0,0)}$

Пересечение поверхности Пеано с вертикальной плоскостью. Кривая пересечения имеет локальный максимум в начале координат справа от изображения и глобальный максимум слева от изображения, неглубоко опускающийся между этими двумя точками.

Хотя поверхность не имеет локального максимума в начале координат, ее пересечение с любой вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат (плоскость с уравнением или ), представляет собой кривую, имеющую локальный максимум в начале координат, ^[1] свойство, описанное Эрлом Рэймондом. Хедрика как «парадоксального». ^[7] Другими словами, если точка начинается в начале координат плоскости и удаляется от начала координат по любой прямой линии, значение будет уменьшаться в начале движения. Тем не менее, это не локальный максимум функции, потому что движение по параболе, такой как (на диаграмме: красный), приведет к увеличению значения функции.${\displaystyle y=mx}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (2x^{2}-y)(y-x^{2})}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle y={\sqrt {2}}\,x^{2}}$

Поверхность Пеано - это поверхность четвертой степени .

В качестве контрпримера [ править ]

В 1886 году Джозеф Альфред Серре опубликовал учебник ^[8] с предложенными критериями экстремальных точек поверхности, заданными формулой${\displaystyle z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)}$

«максимум или минимум имеет место, когда для значений и, для которых и (третий и четвертый члены) обращаются в ноль, (пятый член) постоянно имеет знак - или знак +».${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d^{2}f}$${\displaystyle d^{3}f}$${\displaystyle d^{4}f}$

Здесь предполагается, что линейные члены равны нулю , и ряд Тейлора из имеет вид , где представляет собой квадратичную форму , как , является кубической формы с кубическими точки в и , и является квартика форма с однородной квартике полинома в и . Серре предполагает, что если имеет постоянный знак для всех точек, в которых есть локальный максимум или минимум поверхности .${\displaystyle f}$${\displaystyle z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots }$${\displaystyle Q(h,k)}$${\displaystyle ah^{2}+bhk+ck^{2}}$${\displaystyle C(h,k)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F(h,k)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F(h,k)}$${\displaystyle Q(h,k)=C(h,k)=0}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

В своих примечаниях 1884 года к итальянскому учебнику Анджело Дженокки по исчислению , Calcolo Differenziale e Principii di Calcolo Integrale , Пеано уже предоставил различные правильные условия для функции, которая должна достигать локального минимума или локального максимума. ^{[1] [9]} В немецком переводе 1899 года того же учебника он представил эту поверхность в качестве контрпримера к состоянию Серре. В этой точке выполняются условия Серре, но эта точка является седловой, а не локальным максимумом. ^{[1] [2]} Связанное с заболеванием Серре состояние также подвергалось критике Людвигом Шеффером  [ de ]${\displaystyle (0,0,0)}$, который использовал поверхность Пеано в качестве контрпримера в публикации 1890 года, приписываемой Пеано. ^{[6] [10]}

Модели [ править ]

Модели поверхности Пеано включены в Геттинген Сборник математических моделей и инструментов в Геттингенском университете , ^[11] и в математической модели коллекции из ТУ Дрезден (в двух разных моделях). ^[12] Модель Göttingen была первой новой моделью, добавленной в коллекцию после Первой мировой войны , и одной из последних, добавленных к коллекции в целом. ^[6]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Поверхность Пеано» . MathWorld .