В математике , особенно в динамических системах , языки Арнольда (названные в честь Владимира Арнольда ) [1] [2] представляют собой графическое явление, возникающее при визуализации того, как число вращения динамической системы или другое связанное с ней инвариантное свойство изменяется в соответствии с двумя или несколько его параметров. Области постоянного числа вращения наблюдались для некоторых динамических систем, чтобы сформировать геометрические формы , напоминающие языки, и в этом случае они называются языками Арнольда. [3]
Языки Арнольда наблюдаются в большом количестве разнообразных природных явлений, которые связаны с колеблющимися величинами, такими как концентрация ферментов и субстратов в биологических процессах [4] и сердечные электрические волны . Иногда частота колебаний зависит или ограничивается (например, фазовой синхронизацией или синхронизацией мод в некоторых контекстах) на основе некоторой величины, и часто представляет интерес изучить эту связь. Например, начало опухоли вызывает в этой области серию колебаний веществ (в основном белков), которые взаимодействуют друг с другом; Моделирование показывает, что эти взаимодействия вызывают появление языков Арнольда, то есть частота одних колебаний ограничивает другие, и это можно использовать для контроля роста опухоли. [3]
Другие примеры , где Арнольд язычки могут быть найдены включают inharmonicity музыкальных инструментов, орбитального резонанса и синхронное вращение орбитальных спутников, синхронизацией мод в волоконной оптике и петли фазовой автоподстройки и других электронных генераторов , а также в сердечных ритмов , аритмии сердца и клеточный цикл . [5]
Одна из простейших физических моделей, демонстрирующая синхронизацию мод, состоит из двух вращающихся дисков, соединенных слабой пружиной. Один диск может свободно вращаться, а другой приводится в движение двигателем. Синхронизация мод происходит, когда свободно вращающийся диск вращается с частотой, рационально кратной частоте ведомого ротатора.
Простейшей математической моделью, демонстрирующей синхронизацию мод, является круговая карта, которая пытается уловить движение вращающихся дисков через дискретные промежутки времени.
Стандартная круговая карта
Языки Арнольда чаще всего появляются при изучении взаимодействия между осцилляторами , особенно в случае, когда один осциллятор управляет другим. То есть один осциллятор зависит от другого, но не наоборот, поэтому они не влияют друг на друга, как , например, в моделях Курамото . Это частный случай управляемых генераторов с движущей силой, которая имеет периодическое поведение. В качестве практического примера клетки сердца (внешний осциллятор) производят периодические электрические сигналы для стимуляции сердечных сокращений (ведомый осциллятор); здесь может быть полезно определить соотношение между частотой осцилляторов, возможно, для разработки более совершенных искусственных кардиостимуляторов . Семейство круговых карт служит полезной математической моделью этого биологического явления, а также многих других. [6]
Семейство отображений окружности - это функции (или эндоморфизмы ) окружности в себя. Математически проще рассматривать точку в круге как точкув реальной строке, которую следует интерпретировать по модулю , представляющий угол, под которым точка находится в окружности. Когда по модулю берется значение, отличное от, результат по-прежнему представляет собой угол, но его необходимо нормализовать, чтобы весь диапазон могут быть представлены. Имея это в виду, семейство круговых карт определяется следующим образом: [7]
где "собственная" частота осциллятора и - периодическая функция, которая дает влияние, вызванное внешним осциллятором. Обратите внимание, что если частица просто ходит по кругу в единицы за раз; в частности, еслииррационально, отображение сводится к иррациональному вращению .
Конкретная карта окружности, первоначально изученная Арнольдом [8] и полезная даже в наши дни, выглядит так:
где называется силой сцепления , а следует интерпретировать по модулю . Эта карта показывает очень разнообразное поведение в зависимости от параметров. а также ; если мы исправим и варьировать , получается бифуркационная диаграмма вокруг этого абзаца, где мы можем наблюдать периодические орбиты , бифуркации удвоения периода, а также возможное хаотическое поведение .
Получение круговой карты
Другой способ просмотра круговой карты следующий. Рассмотрим функцию который линейно убывает с наклоном . Как только он достигает нуля, его значение сбрасывается до определенного колеблющегося значения, описываемого функцией. Теперь нас интересует последовательность времен при котором y (t) достигает нуля.
Эта модель говорит нам, что в свое время действительно, что . С этого момента затем будет линейно уменьшаться до тех пор, пока , где функция равно нулю, что дает:
и выбрав а также мы получаем карту круга, о которой говорилось ранее:
Glass, L. (2001) утверждает, что эта простая модель применима к некоторым биологическим системам, таким как регулирование концентрации вещества в клетках или крови, с выше, представляя концентрацию определенного вещества.
В этой модели фазовая синхронизация будет означать, что сбрасывается точно раз каждый периоды синусоидального . Число вращения, в свою очередь, будет частным. [7]
Характеристики
Рассмотрим общее семейство эндоморфизмов окружности:
где для стандартной окружности мы имеем . Иногда также будет удобно представить карту круга в виде отображения.:
Перейдем к перечислению некоторых интересных свойств этих эндоморфизмов окружности.
P1. монотонно возрастает при , поэтому для этих значений повторяет двигайтесь только вперед по кругу, а не назад. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что производная от является:
что положительно, пока .
P2. При расширении рекуррентного соотношения получаем формулу для:
P3. Предположим, что, поэтому они являются периодическими неподвижными точками периода . Поскольку синус колеблется с частотой 1 Гц, количество колебаний синуса за цикл составляет будет , Таким образом , характеризующая фазовой синхронизации из. [7]
P4. Для любой, правда, что , что, в свою очередь, означает, что . Из-за этого для многих целей не имеет значения, повторяется ли итерация взяты по модулю или нет.
P5 (трансляционная симметрия). [9] [7] Предположим, что для данного Eсть фазовая синхронизация в системе. Тогда для с целым числом , будет фазовая синхронизация. Это также означает, что если периодическая орбита для параметра , то это тоже периодическая орбита для любого .
P6. Для будет фазовая синхронизация всякий раз, когда является рациональным. Кроме того, пусть, то фазовая синхронизация .
и модуль равенства будет держать только тогда, когда является целым числом, а первое это удовлетворяет это . Вследствие этого:
имея в виду фазовая синхронизация.
Для иррационального (что приводит к иррациональному вращению ), необходимо было бы иметь для целых чисел а также , но потом а также рационально, что противоречит исходной гипотезе.Блокировка режима
Для малых и промежуточных значений K (то есть в диапазоне от K = 0 до K = 1) и определенных значений Ω на карте наблюдается явление, называемое синхронизацией мод или фазовой синхронизацией . В области фазовой автоподстройки, значение & thetas ; п заранее , по существу , как рациональное кратное от п , хотя они могут делать это хаотически на малом масштабе.
Ограничивающее поведение в областях с синхронизацией мод определяется числом вращения .
который также иногда называют номером поворота карты .
Области с фазовой синхронизацией, или языки Арнольда, показаны желтым на рисунке справа. Каждая такая V-образная область достигает рационального значения Ω = п/qв пределе K → 0. Все значения ( K , Ω) в одной из этих областей приведут к движению, так что число вращения ω = п/q. Например, все значения ( K , Ω) в большой V-образной области в нижней части рисунка соответствуют числу вращения ω = 1/2. Одна из причин, по которой используется термин «блокировка», состоит в том, что отдельные значения θ n могут быть нарушены довольно большими случайными возмущениями (вплоть до ширины язычка для данного значения K ) без нарушения предельного числа оборотов. То есть последовательность остается «привязанной» к сигналу, несмотря на добавление значительного шума к серии θ n . Эта способность «захватывать» в присутствии шума является центральной для полезности электронной схемы фазовой автоподстройки частоты. [ необходима цитата ]
Для каждого рационального числа существует область с синхронизацией режима. п/q. Иногда говорят, что карта круга отображает рациональные числа, набор нулевой меры при K = 0, в набор ненулевой меры при K ≠ 0. Самые большие языки, упорядоченные по размеру, встречаются в дробях Фарея . Фиксируя K и взяв поперечное сечение через это изображение, так что ω отображается как функция от Ω, дает «лестницу Дьявола», форму, которая в целом похожа на функцию Кантора . Можно показать, что при K <1 отображение окружности является диффеоморфизмом, существует только одно устойчивое решение. Однако, поскольку K> 1, это больше не выполняется, и можно найти области двух перекрывающихся областей блокировки. Для круговой карты можно показать, что в этой области могут перекрываться не более двух областей стабильной синхронизации мод, но неизвестно, существует ли какой-либо предел на количество перекрывающихся языков Арнольда для общих синхронизированных систем. [ необходима цитата ]
Круговая карта также показывает субгармонические пути к хаосу, то есть удвоение периода в форме 3, 6, 12, 24, ....
Стандартная карта Чирикова
Стандартное отображение Чирикова относится к окружности карты, имеющие аналогичные рекуррентные соотношения, которые могут быть записаны в виде
с обеими итерациями, взятыми по модулю 1. По сути, стандартная карта вводит импульс p n, который может динамически изменяться, а не принудительно фиксироваться, как в карте круга. Стандартное отображение изучается в физике с помощью гамильтониана ротора с вылетом .
Приложения
Языки Арнольда применялись для изучения
- Сердечные ритмы - см. Glass, L. et al. (1983) и McGuinness, M. et al. (2004)
- Синхронизация резонансно- туннельных диодных генераторов [11]
Галерея
Смотрите также
- Штурмское слово
Заметки
- ^ Арнольд, VI (1961). «Малые знаменатели. I. Отображение круга на себя» . Известия Российской Академии Наук. Серия Математическая . 25 (1): 21–86. В разделе 12 на странице 78 есть рисунок, показывающий языки Арнольда.
- ^ Перевод статьи Арнольда на английский язык: С. Аджан; В.И. Арнольд; С.П. Демушкин; Ju. С. Гуревич; С.С. Кемхадзе; Н.И. Климов; Ju. В. Линник; А.В. Малышев; П.С. Новиков; Д.А. Супруненко; В.А. Тартаковский; В. Ташбаев. Одиннадцать статей по теории чисел, алгебре и функциям комплексного переменного . 46 . Переводы Американского математического общества, серия 2.
- ^ а б Дженсен, MH; Кришна, С. (2012). «Вызвание фазовой синхронизации и хаоса в клеточных осцилляторах путем модуляции управляющих стимулов». Письма FEBS . 586 (11): 1664–1668. arXiv : 1112.6093 . DOI : 10.1016 / j.febslet.2012.04.044 . PMID 22673576 . S2CID 2959093 .
- ^ Gérard, C .; Гольдбетер, А. (2012). «Клеточный цикл - это предельный цикл» . Математическое моделирование природных явлений . 7 (6): 126–166. DOI : 10.1051 / mmnp / 20127607 .
- ^ Nakao, M .; Энххудулмур, Т.Э .; Katayama, N .; Карашима, А. (2014). Уносимость моделей осцилляторов клеточного цикла с экспоненциальным ростом клеточной массы . Конференция инженерного общества в медицине и биологии. IEEE. С. 6826–6829.
- ^ Гласс, Л. (2001). «Синхронизация и ритмические процессы в физиологии». Природа . 410 (6825): 277–284. Bibcode : 2001Natur.410..277G . DOI : 10.1038 / 35065745 . PMID 11258383 . S2CID 4379463 .
- ^ а б в г Стекло, л .; Перес, Р. (1982). «Тонкая структура фазовой синхронизации». Письма с физическим обзором . 48 (26): 1772. Bibcode : 1982PhRvL..48.1772G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.48.1772 .
- ^ Он изучал это, используя косинус вместо синуса; см. стр. 78 Арнольда VI (1961) .
- ^ Гевара, MR; Гласс, Л. (1982). «Фазовая синхронизация, бифуркации удвоения периода и хаос в математической модели периодически управляемого осциллятора: теория увлечения биологических осцилляторов и генерации сердечных аритмий». Журнал математической биологии . 14 (1): 1-23. DOI : 10.1007 / BF02154750 . PMID 7077182 . S2CID 2273911 .
- ^ Вайсштейн, Эрик. «Число намотки карты» . MathWorld . Проверено 20 июня +2016 .
- ^ Romeira, B .; Фигейредо, Дж. М.; Айронсайд, CN; Незначительный, Т. (2009). «Хаотическая динамика в резонансно-туннельных оптоэлектронных генераторах, управляемых напряжением». Письма IEEE Photonics Technology Letters . 21 (24): 1819–1821. Bibcode : 2009IPTL ... 21.1819R . DOI : 10,1109 / LPT.2009.2034129 . S2CID 41327316 .
Рекомендации
- Вайсштейн, Эрик В. «Круговая карта» . MathWorld .
- Бойленд, PL (1986). «Бифуркации круговых карт: языки Арнольда, бистабильность и интервалы вращения» . Сообщения по математической физике . 106 (3): 353–381. Bibcode : 1986CMaPh.106..353B . DOI : 10.1007 / BF01207252 . S2CID 121088353 .
- Gilmore, R .; Лефранк, М. (2002). Топология хаоса: Алиса в Stretch и Squeezeland . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-40816-6.- Предоставляет краткий обзор основных фактов в разделе 2.12 .
- Стекло, Л .; Гевара, MR; Shrier, A .; Перес, Р. (1983). «Бифуркация и хаос в периодически стимулируемом сердечном осцилляторе». Physica D: нелинейные явления . 7 (1–3): 89–101. Bibcode : 1983PhyD .... 7 ... 89G . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90119-7 .- проводит детальный анализ сердца сердечных ритмов в контексте отображения окружности.
- McGuinness, M .; Hong, Y .; Галлетли, Д .; Ларсен, П. (2004). «Языки Арнольда в кардиореспираторной системе человека». Хаос . 14 (1): 1–6. Bibcode : 2004Chaos..14 .... 1M . DOI : 10.1063 / 1.1620990 . PMID 15003038 .
Внешние ссылки
- Круговая карта с интерактивным Java-апплетом