Физические теории, модифицированные общей теорией относительности

В этой статье будет использоваться соглашение Эйнштейна о суммировании .

Общая теория относительности потребовала адаптации существующих теорий физических, электромагнитных и квантовых эффектов для учета неевклидовой геометрии. Эти физические теории, модифицированные общей теорией относительности , описаны ниже.

Классическая механика и специальная теория относительности [ править ]

Классическая механика и специальная теория относительности здесь объединены, потому что специальная теория относительности во многих отношениях является промежуточным звеном между общей теорией относительности и классической механикой и имеет много общих черт с классической механикой.

В следующем обсуждении широко используется математика общей теории относительности . Кроме того, согласно принципу минимальной связи , физические уравнения специальной теории относительности можно превратить в их аналоги в общей теории относительности, заменив метрику Минковского ( η _ab ) соответствующей метрикой пространства-времени ( g _ab ) и заменив любые частные производные на ковариантные производные. В последующих обсуждениях подразумевается изменение показателей.

Инерция [ править ]

Инерционное движение - это движение, свободное от всех сил . В механике Ньютона, сила F , действующая на частицу с массой т определяется вторым законом Ньютона , , где ускорение задается второй производной позиции г по времени т . Нулевая сила означает, что инерционное движение - это просто движение с нулевым ускорением:${\ Displaystyle F = м {\ ddot {r}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 0}$

Идея та же самая в специальной теории относительности. Используя декартовы координаты , инерционное движение математически описывается как:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=0}$

где координата положения и τ является надлежащее время . (В механике Ньютона τ ≡ t , координатное время).${\displaystyle x^{a}}$

И в механике Ньютона, и в специальной теории относительности пространство, а затем пространство-время считаются плоскими, и мы можем построить глобальную декартову систему координат. В общей теории относительности эти ограничения на форму пространства-времени и на используемую систему координат теряются. Следовательно, требуется другое определение инерционного движения. В теории относительности движение по инерции происходит по времениподобным или нулевым геодезическим, как параметризованное собственным временем. Математически это выражается уравнением геодезии :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}\,{\frac {\mathrm {d} x^{b}}{\mathrm {d} \tau }}\,{\frac {\mathrm {d} x^{c}}{\mathrm {d} \tau }}=0}$

где - символ Кристоффеля . Поскольку общая теория относительности описывает четырехмерное пространство-время, она представляет четыре уравнения, каждое из которых описывает вторую производную координаты по собственному времени. В случае плоского пространства в декартовых координатах мы имеем , поэтому это уравнение сводится к форме специальной теории относительности.${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}}$${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=0}$

Гравитация [ править ]

Для гравитации связь между теорией гравитации Ньютона и общей теорией относительности регулируется принципом соответствия : общая теория относительности должна давать те же результаты, что и гравитация, в случаях, когда было доказано, что физика Ньютона является точной.

Вокруг сферически-симметричного объекта ньютоновская теория гравитации предсказывает, что объекты будут физически ускоряться к центру объекта по правилу

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =GM\mathbf {\hat {r}} /r^{2}}$

где G - гравитационная постоянная Ньютона , M - масса гравитирующего объекта, r - расстояние до гравитационного объекта, и - единичный вектор, определяющий направление на массивный объект.${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

В приближении слабого поля общей теории относительности должно существовать идентичное координатное ускорение. Для решения Шварцшильда (которое представляет собой простейшее возможное пространство-время, окружающее массивный объект), то же ускорение, которое (в физике Ньютона) создается силой тяжести, получается, когда константа интегрирования устанавливается равной 2MG / c ² ). Для получения дополнительной информации см. Получение решения Шварцшильда .

Переход от ньютоновской механики к общей теории относительности [ править ]

Некоторые из основных концепций общей теории относительности могут быть очерчены за пределами релятивистской области. В частности, идея о том, что масса / энергия порождает кривизну в пространстве и что кривизна влияет на движение масс, может быть проиллюстрирована в ньютоновских условиях.

Общая теория относительности обобщает геодезический уравнение и уравнение поля в релятивистской области , в которых траектории в пространстве заменяются Ферми-Уолкера транспорта вдоль мировых линий в пространстве - времени . Уравнения также обобщаются на более сложные кривизны.

Переход от специальной теории относительности к общей теории относительности [ править ]

Базовая структура общей теории относительности, включая уравнение геодезических и уравнение поля Эйнштейна , может быть получена из специальной теории относительности , исследуя кинетику и динамику частицы, движущейся по круговой орбите вокруг Земли. С точки зрения симметрии переход включает замену глобальной лоренцевой ковариации на локальную лоренцеву ковариацию .

Сохранение энергии-импульса [ править ]

В классической механике законы сохранения энергии и импульса рассматриваются отдельно в двух принципах сохранения энергии и сохранения количества движения . С появлением специальной теории относительности эти два принципа сохранения были объединены концепцией эквивалентности массы и энергии .

Математически утверждение общей теории относительности сохранения энергии-импульса таково:

${\displaystyle {T_{a}}^{b}{}_{;b}={T_{a}}^{b}{}_{,b}+{\Gamma ^{b}}_{cb}\,{T_{a}}^{c}-{\Gamma ^{c}}_{ab}\,{T_{c}}^{b}=0}$

где - тензор напряжения-энергии , запятая указывает на частную производную, а точка с запятой указывает на ковариантную производную . Члены, содержащие символы Кристоффеля, отсутствуют в специальной теории относительности закона сохранения энергии-импульса.${\displaystyle {T_{a}}^{b}}$

В отличие от классической механики и специальной теории относительности, обычно невозможно однозначно определить полную энергию и импульс в общей теории относительности, поэтому тензорные законы сохранения являются только локальными утверждениями ( однако см. Энергию ADM ). Это часто вызывает путаницу в зависящих от времени пространствах-временах, которые явно не сохраняют энергию, хотя местный закон всегда выполняется. Точная формулировка сохранения энергии-импульса в произвольной геометрии требует использования неуникального псевдотензора энергии-импульса .

Электромагнетизм [ править ]

Общая теория относительности изменяет описание электромагнитных явлений , используя новую версию уравнений Максвелла . Они отличаются от специальной формы относительности тем, что символы Кристоффеля присутствуют в уравнениях через ковариантную производную.

Исходные уравнения электродинамики в искривленном пространстве-времени (в единицах cgs )

${\displaystyle F^{\,ab}{}_{;b}={4\pi \over c}\,J^{\,a}}$

где F ^ab - тензор электромагнитного поля, представляющий электромагнитное поле, а J ^a - четырехтоковый, представляющий источники электромагнитного поля.

Уравнения без источника такие же, как и их аналоги в специальной теории относительности.

Затем действие электромагнитного поля на заряженный объект изменяется на

${\displaystyle P^{\,a}{}_{\,;\tau }=(q/m)\,F^{\,ab}P_{b}}$,

где q - заряд объекта, m - масса покоя объекта, а P ^a - четырехмерный импульс заряженного объекта. Уравнения Максвелла в плоском пространстве-времени восстанавливаются в прямоугольных координатах путем обращения ковариантных производных к частным производным. Об уравнениях Максвелла в плоском пространстве-времени в криволинейных координатах см. [1] или [2]