Возможный градиент

В физике , химии и биологии , А градиент потенциала является локальной скоростью изменения этого потенциала по отношению к смещению, т.е. пространственной производной или градиент. Эта величина часто встречается в уравнениях физических процессов, потому что она приводит к некоторой форме потока .

Определение [ править ]

Одно измерение [ править ]

Простейшее определение градиента потенциала F в одном измерении следующее: ^[1]

{\ displaystyle F = {\ frac {\ phi _ {2} - \ phi _ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {\ Delta \ phi} {\ Delta x} } \, \!}

где $ϕ (x)$ - некоторый тип скалярного потенциала, а $x$ - смещение (не расстояние ) в направлении $x$ , нижние индексы обозначают две разные позиции $x 1, x 2$ и потенциалы в этих точках, $ϕ 1 = ϕ (x 1) , ϕ 2 = ϕ (x 2)$ . В пределе бесконечно малых перемещений отношение разностей становится отношением разностей:

{\ displaystyle F = {\ frac {{\ rm {d}} \ phi} {{\ rm {d}} x}}. \, \!}

Направление градиента электрического потенциала - от до . ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$

Три измерения [ править ]

В трех измерениях , декартовы координаты дают понять , что результирующий градиент потенциала является суммой потенциальных градиентов в каждом направлении:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {e} _ {x} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} + \ mathbf {e} _ {y} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y}} + \ mathbf {e} _ {z} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial z}} \, \!}

где $e x, e y, e z$ - единичные векторы в направлениях $x, y, z$ . Это можно компактно записать в терминах оператора градиента $\nabla$ ,

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ набла \ фи. \, \!}

хотя эта окончательная форма сохраняется в любой криволинейной системе координат , а не только в декартовой.

Это выражение представляет собой важную особенность любого консервативного векторного поля $F$ , а именно, $F$ имеет соответствующий потенциал $ϕ$ . ^[2]

Используя теорему Стокса , это эквивалентно формулируется как

{\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {F} = {\ boldsymbol {0}} \, \!}

это означает, что ротор векторного поля, обозначенный ×, обращается в нуль.

Физика [ править ]

Ньютоновская гравитация [ править ]

В случае гравитационного поля $g$ , которое можно показать как консервативное, ^[3] оно равно градиенту гравитационного потенциала $Φ$ :

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ Phi. \, \!}

Между гравитационным полем и потенциалом есть противоположные знаки, потому что градиент потенциала и поле противоположны по направлению: по мере увеличения потенциала напряженность гравитационного поля уменьшается, и наоборот.

Электромагнетизм [ править ]

В электростатики , то электрическое поле $Е$ не зависит от времени $т$ , так что не существует индукция зависимого от времени магнитного поля $B$ по закону индукции Фарадея :

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = {\ boldsymbol {0}} \ ,,}

откуда следует, что $E$ - градиент электрического потенциала $V$ , идентичный классическому гравитационному полю: ^[4]

{\ Displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla V. \, \!}

В электродинамики , то $Е$ поле зависит от времени и вызывает зависимое от времени $B$ поле также (опять же в соответствии с законом Фарадея), так что ротор $Е$ не равен нулю , как и прежде, что подразумевает электрическое поле больше не градиент электрического потенциала. Необходимо добавить термин, зависящий от времени: ^[5]

-\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!

где $A$ - электромагнитный векторный потенциал . Это последнее возможное выражение фактически сводит закон Фарадея к тождеству.

Механика жидкости [ править ]

В механике жидкости , то поле скоростей $v$ описывает движение жидкости. Безвихревым потока означает , что поле скоростей является консервативным, или , что эквивалентно завихренности псевдовектор поля $ω$ равна нулю:

{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}.

Это позволяет определить потенциал скорости просто как:

\mathbf {v} =\nabla \phi

Химия [ править ]

В электрохимической полуячейке , на границе раздела между электролитом ( ионным раствором ) и металлическим электродом , стандартная разность электрических потенциалов составляет: ^[6]

\Delta \phi _{(M,M^{+z})}=\Delta \phi _{(M,M^{+z})}^{\ominus }+{\frac {RT}{zeN_{\text{A}}}}\ln a_{M^{+z}}\,\!

где R = газовая постоянная , T = температура раствора, z = валентность металла, e = элементарный заряд , N _A = постоянная Авогадро , а a _{M ^{+ z}} - активность ионов в растворе. Величины с индексом ⊖ обозначают, что измерение выполнено в стандартных условиях . Градиент потенциала является относительно резким, поскольку существует почти определенная граница между металлом и раствором, отсюда и интерфейсный член. ^{[ требуется уточнение]}

Биология [ править ]

В биологии градиент потенциала - это чистая разница электрического заряда на клеточной мембране .

Неединственность потенциалов [ править ]

Поскольку градиенты в потенциалах соответствуют физическим полям , не имеет значения, добавляется ли константа (она стирается оператором градиента $\nabla,$ который включает частичное дифференцирование ). Это означает, что невозможно сказать, что такое «абсолютное значение» потенциала - нулевое значение потенциала совершенно произвольно и может быть выбрано в любом месте для удобства (даже «на бесконечности»). Эта идея также применима к векторным потенциалам и используется в классической теории поля, а также в теории калибровочного поля .

Абсолютные значения потенциалов физически не наблюдаемы, возможны только градиенты и зависящие от пути разности потенциалов. Тем не менее, эффект Ааронова-Бома является квантово - механическое воздействие , которое показывает , что ненулевые электромагнитные потенциалы вдоль замкнутого контура (даже тогда , когда $E$ и $B$ полей равны нулю всюду в области) приводят к изменениям в фазе волновой функции от электрически заряженная частица в области, поэтому потенциалы, кажется, имеют измеримое значение.

Возможная теория [ править ]

Уравнения поля , такие как законы Гаусса для электричества , магнетизма и гравитации , можно записать в форме:

\nabla \cdot \mathbf {F} =X\rho

где $ρ$ является электрическая плотность заряда , монополь плотности (если они существуют), или плотность массы и $Х$ является константой (с точки зрения физических констант $G$ , & $epsi ; 0$ , $ц 0$ и другие числовые множители).

Скалярные градиенты потенциала приводят к уравнению Пуассона :

\nabla \cdot (\nabla \phi )=X\rho \quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\phi =X\rho

Для решения этого уравнения для потенциала была разработана общая теория потенциалов. Градиент этого решения дает физическое поле, решая уравнение поля.

См. Также [ править ]

Тензоры в криволинейных координатах

Ссылки [ править ]

^ Основные принципы физики, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
^ Векторный анализ (2-е издание), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
^ Динамика и теория относительности, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
^ Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9
^ Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
^ Физическая химия, PW Atkins, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7

[1] Основные принципы физики, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1

[2] Векторный анализ (2-е издание), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[3] Динамика и теория относительности, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8

[4] Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9

[5] Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3

[6] Физическая химия, PW Atkins, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7

[1]